Ο νόμος μετατόπισης του Wien

Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα

Όλα τα σώματα εκπέμπουν θερμική ακτινοβολία εξαιτίας της θερμοκρασίας τους. Και όταν λέμε θερμική ακτινοβολία εννοούμε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Πολλές φορές θεωρείται ότι η θερμική ακτινοβολία είναι μόνον η υπέρυθρη ακτινοβολία, κάτι που είναι εντελώς λάθος.
Η θερμική ακτινοβολία μπορεί να αποτελείται από οποιοδήποτε μήκος κύματος του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, από τα ραδιοφωνικά κύματα μέχρι τις ακτίνες γάμα.

Για την θεωρητική μελέτη της θερμικής ακτινοβολίας οι φυσικοί εισήγαγαν την έννοια του μέλανος σώματος (Διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ: ‘Η ακτινοβολία του μέλανος σώματος). Δύο αξιοσημείωτα χαρακτηριστικά στο φάσμα της ακτινοβολίας των σωμάτων που προσεγγίζουν την συμπεριφορά του μέλανος σώματος είναι ότι: (α) είναι συνεχές – εκπέμπει όλα τα μήκη κύματος του Η/Μ φάσματος και (β) δεν εξαρτάται από την φύση των σωμάτων, αλλά μόνο από την θερμοκρασία τους.

Είναι εμπειρικά γνωστό ότι τα πυρακτωμένα σώματα (ανεξάρτητα από το υλικό τους) αλλάζουν χρώμα από κόκκινο, σε πορτοκαλί ή κίτρινο καθώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία τους. Το 1893 ο Γερμανός Wilhelm Wien (Νόμπελ Φυσικής 1911) απέδειξε χρησιμοποιώντας κλασική θερμοδυναμική, αυτό που είχε ήδη παρατηρήσει ποιοτικά ο Αμερικανός Samuel Langley, ότι το μήκος κύματος «στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ποσότητα ακτινοβολίας ενός θερμού σώματος» είναι αντιστρόφως ανάλογο της θερμοκρασίας του σώματος:

\lambda_{max}T = 3 \times 10^{-3}
max σε m και Τ σε Κelvin)

Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει το νόμο μετατόπισης του Wien.

Η δαρβινική εξέλιξη και η θερμοκρασία του Ήλιου

Mια εντυπωσιακή εφαρμογή του νόμου Wien είναι ο υπολογισμός της επιφανειακής θερμοκρασίας του Ήλιου μας, με την βοήθεια … της δαρβινικής εξέλιξης. Το εύρος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που ανήκει στο ορατό φάσμα εκτείνεται σε μήκη κύματος περίπου από 400nm έως 700nm – μέσος όρος 550nm. Τα μάτια των ανθρώπων (και άλλων ζώων) προσαρμόστηκαν να βλέπουν καλύτερα σ’ εκείνο το μήκος κύματος της ηλιακής ακτινοβολίας στο οποίο αντιστοιχεί η μέγιστη ποσότητα της ηλιακής ακτινοβολίας που φτάνει στη Γη, δηλαδή σε μήκος κύματος γύρω στα 550nm=5,5∙10-7m. Θέτοντας στο νόμο του Wien λmax=5,5∙10-7m, παίρνουμε T≈5500K, πολύ κοντά στην πραγματική τιμή 5778K για την επιφανειακή θερμοκρασία του Ήλιου.

Παρακολουθήστε μια λεπτομερέστερη ανάλυση από το μάθημα «Εισαγωγή στην Κβαντική Φυσική» του Στέφανου Τραχανά στο Mathesis:

To χρώμα των άστρων

Άλλη μια εφαρμογή του νόμου μετατόπισης του Wien είναι ότι συνδέει την θερμοκρασία των άστρων με το χρώμα τους (μήκος κύματος). Κλασικό παράδειγμα αποτελούν δυο από τα σημαντικότερα άστρα στον αστερισμό του Ωρίωνα, Betelgeuse και Rigel.

Κοιτώντας νοτιοδυτικά και χαμηλά στον νυχτερινό ουρανό απόψε, 6/3/2021 γύρω στις 9 μμ, θα διακρίνετε τον αστερισμό του Ωρίωνα. Ξεχωρίζουν τα άστρα Betelgeuse και Rigel.

Αν είχαμε τη δυνατότητα να παρατηρήσουμε τον αστερισμό του Ωρίωνα με ένα καλό τηλεσκόπιο θα βλέπαμε ότι ο Betelgeuse θα φαινόταν κοκκινωπός, ενώ ο Rigel γαλαζωπός. Δεδομένου ότι το κόκκινο αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο μήκος κύματος από το γαλάζιο, χρησιμοποιώντας το νόμο Wien συμπεραίνουμε ότι η θερμοκρασία του Rigel είναι μεγαλύτερη από την θερμοκρασία του Betelgeuse.

… και η συνάρτηση Lambert

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο Wien απέδειξε το νόμο του, χρησιμοποιώντας κλασική θερμοδυναμική. Όμως οι περισσότερες αποδείξεις χρησιμοποιούν το νόμο της ακτινοβολίας μέλανος σώματος που εισήγαγε ο Planck. H ένταση της ακτινοβολίας I(\lambda) ενός μέλανος σώματος, η ισχύς δηλαδή της ακτινοβολίας με μήκη κύματος μεταξύ λ και λ+dλ που εκπέμπεται ανά μονάδα επιφάνειας του σώματος και σε απόλυτη θερμοκρασία Τ υπολογίζεται από μια εξίσωση της μορφής:

I(\lambda) = \frac{\sigma \tau \alpha \theta.}{\lambda^{5} \left( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} -1 \right)}

Το μέγιστο της συνάρτησης αυτής μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση: \frac{dI(\lambda)}{dt}=0. Εκτελώντας την παραγώγιση και θέτοντας x=\frac{hc}{\lambda k T}, παίρνουμε:

xe^x-5e^{x}+5=0     (Ι)

Κι αυτό είναι το πιο εκνευριστικό σημείο της απόδειξης, αφού αυτή η εξίσωση (Ι) ΔΕΝ λύνεται αναλυτικά. Τα βιβλία συνήθως δίνουν έτοιμη την λύση που προκύπτει από την αριθμητική επίλυσή της: x≈4,965…, και αντικαθιστώντας στην εξ. x=\frac{hc}{\lambda k T} μαζί με τις τιμές των σταθερών στο SI, προκύπτει ο νόμος της μετατόπισης του Wien: \lambda_{max} T = 3 \times 10^{-3} . Με  \lambda_{max} συμβολίζουμε την τιμή του μήκους κύματος που μεγιστοποιεί την I(\lambda).

Παρόμοιος, αλλά καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος είναι να γράψουμε την εξίσωση (Ι) στην μορφή 1-\frac{x}{5}=e^{-x}. Η γραφική λύση της εξίσωσης δίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Βλέπουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν δυο κοινά σημεία,
x=0 και x≈5 (αφού e-5≈0,0067). Κάνοντας μερικές δοκιμές με υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε πολύ γρήγορα μια ακριβέστερη τιμή x≈4,96, που θα μας οδηγήσει πάλι στο νόμο του Wien.

Όμως, το ενδιαφέρον στην παραπάνω εικόνα από το πρόγραμμα wolframalpha, εκτός από το ζητούμενο διάγραμμα, είναι η λύση που δίνει:

x=W(-5/e^{5})+5 .

Τι εκφράζει αυτό το αποτέλεσμα; Για να το κατανοήσουμε γράφουμε την εξ. (Ι) στην μορφή (x-5)e^{x-5}=-5e^{-5}. Θέτοντας y=x-5, παίρνουμε ye^{y}=-5e^{-5}.
Στο σημείο αυτό υπεισέρχεται η συνάρτηση Lambert (βλέπε τον ορισμό της ΕΔΩ).

Σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης Lambert η λύση (εκτός από την τετριμμένη y=-5 \rightarrow x=0) θα είναι και η y=W_{0}(-5e^{-5}) ή x=5+W_{0}(-5e^{-5}). Πρόκειται για την λύση που δίνει το πρόγραμμα wolframalpha. Οι τιμές της συνάρτησης Lambert δεν πρέπει να μας προβληματίζουν, εφόσον δεν μας προβληματίζουν οι τιμές των συναρτήσεων π.χ. ημx ή lnx.  Η τιμή W_{0}(-5e^{-5})=-0,0348857 \dots (πατήστε ΕΔΩ), υπολογίζεται με την ίδια ευκολία που θα υπολογίζαμε το \sin(-5e^{-5})=-0,0005879 \dots (πατήστε ΕΔΩ). Έτσι, θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι η x=W_{0}(-5/e^{5})+5=4,9651... είναι η λύση της εξίσωσης (Ι) που προέκυψε αναλυτικά, χωρίς αριθμητικές μεθόδους. Και μας οδηγεί χωρίς εκνευρισμούς – διαμέσου της x=\frac{hc}{\lambda k T} – στo νόμο μετατόπισης του Wien: \lambda_{max} T = \frac{hc}{k[W_{0}(-5/e^{5})+5]}= 3 \times 10^{-3}(λ σε σε m και Τ σε Κelvin)



Κατηγορίες:ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ, ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ, ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: