H ενέργεια στην εξαναγκασμένη ταλάντωση

Στην κλασική περίπτωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης εκτός από την δύναμη επαναφοράς F = - Dx, την δύναμη απόσβεσης ασκείται (η οποία θεωρείται ανάλογη της ταχύτητας F_{b} = -b \,v ), εμφανίζεται και μια εξωτερική δύναμη F_{\epsilon \xi} = F_{\epsilon \xi}(t) , η διεγείρουσα δύναμη, μέσω της οποίας αναπληρώνεται η ενέργεια που χάνεται ως θερμότητα. Το γιατί η μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται σχεδόν πάντα για εξωτερική δύναμη της μορφής F_{\epsilon \xi} = F_{0} \sin \omega_{\epsilon \xi} t ή F_{0} \cos \omega_{\epsilon \xi} t , μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ: Η διαφορική εξίσωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Εκεί βλέπουμε πως η διαφορική εξίσωση της κίνησης προκύπτει εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Newton:
m x''(t) = -D x(t) -b x'(t) + F_{0} \sin \omega _{\epsilon \xi} t
ή θέτοντας \frac{b}{m} = 2 \gamma , \frac{D}{m} = \omega^{2}_{0} και \frac{F_{0}}{m} = f

x''(t) + 2 \gamma x'(t) + \omega^{2}_{0}x(t)= f \sin \omega_{\epsilon \xi} t \, \, \,

Για αρχικές συνθήκες x(0)=0 και υ(0)=0, η γενική λύση της εξίσωσης είναι της μορφής:

x(t)=-e^{-\gamma t} \frac{A \omega_{\epsilon \xi}}{\omega}\sin(\omega t-\phi_{1}) +A \sin (\omega_{\epsilon \xi} t-\phi)

όπου A = \frac{f}{\sqrt{(\omega_{0}^{2} - \omega_{\epsilon \xi}^{2})^{2}+4\gamma^{2} \omega_{\epsilon \xi}^{2}}} και \omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}

Μετά από αρκετό χρόνο ολοκληρώνονται τα μεταβατικά φαινόμενα και ο πρώτος όρος μηδενίζεται (διότι e-γt→0), η ταλάντωση περνάει στο στάδιο της μόνιμης κατάστασης και περιγράφεται από τον δεύτερο όρο:

x(t)=A \sin (\omega_{\epsilon \xi} t-\phi)

όπου η τιμή του φ μπορεί να επιλεχθεί αυθαίρετα ανάλογα με την χρονική στιγμή που θα επιλέξουμε ως t=0.

Η ταχύτητα προκύπτει με παραγώγιση της απομάκρυνσης: v(t)=A\omega_{\epsilon \xi} \cos (\omega_{\epsilon \xi} t-\phi)

Oι ενέργειες στην μόνιμη κατάσταση

H δυναμική ενέργεια συναρτήσει του χρόνου είναι: U(t)=\frac{1}{2}Dx^{2}(t)=\frac{1}{2} m \omega_{0}^{2}A^{2} \sin^{2}(\omega_{\epsilon \xi}t-\phi),
η κινητική ενέργεια:
K(t)=\frac{1}{2}mv^{2}(t)=\frac{1}{2} m \omega_{\epsilon \xi}^{2} A^{2} \cos^{2}(\omega_{\epsilon \xi}t-\phi)
και η συνολική ενέργεια ταλάντωσης:

E(t)=\frac{1}{2} m A^{2} \left[\omega_{0}^{2} \sin^{2}(\omega_{\epsilon \xi}t-\phi) +\omega_{\epsilon \xi}^{2}  \cos^{2}(\omega_{\epsilon \xi}t-\phi) \right] 

ή αντικαθιστώντας το πλάτος A = \frac{f}{\sqrt{(\omega_{0}^{2} - \omega_{\epsilon \xi}^{2})^{2}+4\gamma^{2} \omega_{\epsilon \xi}^{2}}}

E(t)=\frac{mf^{2}\left[\omega_{0}^{2} \sin^{2}(\omega_{\epsilon \xi}t-\phi) +\omega_{\epsilon \xi}^{2}  \cos^{2}(\omega_{\epsilon \xi}t-\phi) \right]}{2(\omega_{0}^{2} - \omega_{\epsilon \xi}^{2})^{2}+8\gamma^{2} \omega_{\epsilon \xi}^{2}}          (1)

Παρατηρείστε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή ΔΕΝ παραμένει σταθερή στη διάρκεια μιας περιόδου. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση ωεξ0 (συντονισμός), όπου η ενέργεια του ταλαντωτή ισούται με E(t)=\frac{1}{2} m \omega_{0}^{2}A^{2} σε κάθε χρονική στιγμή, όπως στην περίπτωση της αμείωτης ελεύθερης ταλάντωσης.

Με βάση την εξίσωση (1) μπορούμε να κατασκευάσουμε το διάγραμμα της ενέργειας εξαναγκασμένης ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου.

Στο διάγραμμα που ακολουθεί βλέπουμε την δυναμική ενέργεια (πράσινη καμπύλη), την κινητική ενέργεια (μπλε καμπύλη) και την ολική ενέργεια (κόκκινη καμπύλη) συναρτήσει του χρόνου, όταν η συχνότητα του εξωτερικού διεγέρτη ωεξ είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω0 (εδώ ισχύει ωεξ0/2 και ω0=8γ):

Η μπλε καμπύλη παριστάνει την κινητική ενέργεια, η πράσινη την δυναμική και η κόκκινη την ολική ενέργεια του ταλαντωτή

Η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών μεγίστων (ή ελαχίστων) της μέγιστης ενέργειας εκφράζει το χρονικό διάστημα μιας περιόδου, T=2π/ωεξ. Παρατηρείστε ότι η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι μικρότερη από την μέγιστη δυναμική.

Αν αλλάξει η συχνότητα του εξωτερικού διεγέρτη ωεξ και γίνει μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω0 (π.χ. ωεξ=1,25ω0), τότε προκύπτει ένα αρκετά διαφορετικό διάγραμμα, με την μέγιστη κινητική ενέργεια να είναι μεγαλύτερη από την μέγιστη κινητική:

Σημειώστε πως η περίοδος τώρα είναι μικρότερη, ενώ η μέγιστη ενέργεια της ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη (διπλάσια και πλέον στην περίπτωσή μας) από τη μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης του προηγούμενου διαγράμματος.

Πότε η μέγιστη ενέργεια γίνεται μέγιστη;

Βλέπουμε λοιπόν ότι η ολική ενέργεια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεταβάλλεται περιοδικά. Ένα ερώτημα που τίθεται είναι: για ποια τιμή της κυκλικής συχνότητας ωεξ του εξωτερικού διεγέρτη οι μέγιστες τιμές της ολικής ενέργειας της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνονται … μέγιστες;

Μια πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό μας είναι όταν ωεξ0 , όταν δηλαδή έχουμε το γνωστό φαινόμενο του συντονισμού. Κι όμως, για την συχνότητα αυτή το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης δεν παίρνει την μέγιστη τιμή (είναι το πλάτος της ταχύτητας που γίνεται μέγιστο σ’ αυτή τη συχνότητα). Μπορείτε να δείξετε (παραγωγίζοντας) ότι το πλάτος γίνεται μέγιστο (οπότε γίνονται μέγιστες … και οι μέγιστες τιμές της ολικής ενέργειας) όταν \omega_{\epsilon \xi} = \sqrt{\omega^{2} - \gamma^{2}} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - 2\gamma^{2}} .

Στο διάγραμμα που ακολουθεί η πράσινη καμπύλη παριστάνει την δυναμική ενέργεια, η μπλε την κινητική ενέργεια και η κόκκινη την ολική ενέργεια, όταν \omega_{\epsilon \xi} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - 2\gamma^{2}} : Η μαύρη ευθεία στο παραπάνω διάγραμμα παριστάνει την ολική ενέργεια ταλάντωσης όταν ωεξ0 (η μόνη περίπτωση που ολική ενέργεια παραμένει σταθερή, όπως στην απλή αρμονική ταλάντωση).

μουσική επένδυση: «Hier encore» – Charles Aznavour



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΜΟΥΣΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: , ,

2 replies

  1. Δυο παρατηρήσεις.
    Πρώτον, η γωνία φ στη σχέση της απομάκρυνσης δεν έχει σχέση με τις αρχικές συνθήκες, αλλά με τη διαφορά φάσης ως προς την εξωτερική διέγερση. Άλλωστε η συνάρτηση ισχύει για μετά την εξαφάνιση του φθίνοντος όρου.

    Δεύτερον (αν κάνουμε τους υπολογισμούς που δεν είναι και λίγοι) καμπύλη συντονισμού εμφανίζει και η μέση τιμή της ολικής ενέργειας (για b<ριζα3 επί μάζα επί ιδιοσυχνότητα) και μάλιστα η μεγιστοποίηση της μέσης τιμής της ολικής ενέργειας συμβαίνει για μια συχνότητα μεγαλύτερη της συχνότητας συντονισμού απομάκρυνσης και μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα με απόσβεση χωρίς εξωτερική διέγερση του συστήματος (μάζα – ελατήριο). Για μεγαλύτερες τιμές της b δεν υπάρχει συντονισμός και η ενέργεια καθ΄ ολοκληρίαν είναι φθίνουσα συνάρτηση της εξωτερικής συχνότητας.
    Φιλικά

    • (νεώτερη ενημέρωση)
      Η γωνία φ1 στην εξίσωση x(t)=-e^{-\gamma t} \frac{A \omega_{\epsilon \xi}}{\omega}\sin(\omega t-\phi_{1}) +A \sin (\omega_{\epsilon \xi} t-\phi) εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες.
      Η γωνία φ στην παραπάνω εξίσωση έχει συγκεκριμένη τιμή \tan\phi =\frac{2\gamma \omega_{\epsilon \xi}}{\omega_{0} -\omega_{\epsilon \xi}} και όντως δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες.
      Όμως, μετά από πάρα πολύ χρόνο αφού ολοκληρωθούν τα μεταβατικά φαινόμενα, η γωνία φ στην εξίσωση x(t)=A \sin (\omega_{\epsilon \xi} t-\phi)
      θα μπορούσε να επιλεχθεί αυθαίρετα ανάλογα με την χρονική στιγμή που θα επιλέξουμε ως νέα αρχή του χρόνου.
      Όσον αφορά την μέση τιμή της ολικής ενέργειας (στην οποία δεν αναφέρεται η ανάρτηση) νομίζω πως γίνεται μέγιστη στην συχνότητα
      \omega_{\epsilon \xi}=\sqrt{\omega_{0}(2 \omega - \omega_{0})}, η οποία είναι πράγματι μεγαλύτερη της συχνότητας συντονισμού απομάκρυνσης.
      Έτσι ή αλλιώς … ευχαριστώ για το σχόλιό σας.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε <span>%d</span> bloggers: