Μια ράβδος σε λείο επίπεδο και το όριο Gauss

Posted on 23/03/2019

0


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg και μήκους ℓ=4m. Σε μια στιγμή t0=0 ασκείται στο σημείο Α της ράβδου, το οποίο απέχει 0,5m από το άκρο της, μια σταθερή οριζόντια δύναμη , μέτρου F=3Ν, με διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Σε ποια χρονική στιγμή η ράβδος θα έχει περιστραφεί κατά 90° ;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας της, Ι=Μℓ2/12.

Η  απάντηση (από τον Γιάννη Κυριακόπουλο) βρίσκεται ΕΔΩ …………….. (Η άσκηση του Διονύση Μάργαρη – με ερωτήματα που μπορούν να απαντηθούν και από μαθητές Λυκείου βρίσκεται ΕΔΩ: ylikonet.gr).

Για να βρεθεί ο ζητούμενος χρόνος πρέπει να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

I= \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin x}}           (1)

Το πρόγραμμα Wolfram Alpha εκτός του ότι προσεγγίζει αμέσως την τιμή του ολοκληρώματος I \cong 2,62206 , μας λέει ταυτόχρονα ότι το ολοκλήρωμα αυτό ισούται ακριβώς με \sqrt{2} K(1/2), όπου

K(1/2)= \int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{\sqrt{1-0,5 \sin^{2} u}}       (2)

είναι τo πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους

K(k^{2})= \int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{\sqrt{1-k^{2} \sin^{2} u}} , με k^{2}= 1/2

Πράγματι, αν στο αρχικό ολοκλήρωμα (1) θέσουμε sinx=sin2ψ, και στη συνέχεια u=π/2-ψ, τότε μετά από μερικές πράξεις θα οδηγηθούμε στο ελλειπτικό ολοκλήρωμα της εξ. (2).

Το ενδιαφέρον είναι ότι τα ελλειπτικά ολοκληρώματα πρώτου είδους μπορούμε να τα υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας ένα κομπιουτεράκι τσέπης!

Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα (2) ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:

βήμα 1ο : Ξεκινάμε από τον αριθμό a0=\sqrt{1-k^{2}}=1/\sqrt{2}

βήμα 2ο : Υπολογίζουμε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 1 και a0. Έτσι προκύπτουν οι αριθμοί:

βήμα 3ο : Υπολογίζουμε πάλι τον αριθμητικό και γεωμετρικό μέσο των αριθμών a1 και b1 οπότε προκύπτουν δυο νέοι αριθμοί

βήμα 4ο : Κάνουμε το ίδιο για τους a2 και b2 , οπότε

 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί συμπίπτουν και δεν έχει νόημα να επαναλάβουμε την διαδικασία (εφόσον θέλουμε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων).

Τελευταίο βήμα: Διαιρούμε το π/2=1,57079 με τον αριθμό που βρήκαμε (μ=0,847213) και παίρνουμε  Κ(1/2)=1,85407, μια ακριβέστατη προσέγγιση του ελλειπτικού ολοκληρώματος!

Γιατί ισχύουν τα παραπάνω βήματα; Πρόκειται για μια ιδιότητα των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων που πρώτος απέδειξε ο μεγάλος μαθηματικός Κ. F. Gauss:


Ας σημειωθεί ότι το ίδιο ελλειπτικό ολοκλήρωμα εμφανίζεται και στον υπολογισμό της περιόδου του απλού εκκρεμούς !