Σημαντική πρόοδος σε πρόβλημα 100 ετών με χρήση Ευκλείδειας γεωμετρίας

Posted on 17/11/2018

1


Εκτελώντας ακριβείς γεωμετρικούς υπολογισμούς, ο Philip Gibbs βρήκε το σχήμα με το μικρότερο εμβαδόν που μπορεί να καλύψει ένα πλήθος διαφόρων σχημάτων, τα οποία έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό.

Ο Philip Gibbs κατέχει το ρεκόρ του ελάχιστου εμβαδού καθολικής επικάλυψης

Ο Philip Gibbs δεν είναι ένας επαγγελματίας μαθηματικός. Κι όμως με μια εργασία του που ολοκληρώθηκε φέτος, ο Gibbs έκανε μια σημαντική πρόοδο σε ένα πρόβλημα 100 ετών το οποίο εξαρτάται από την δυνατότητα μέτρησης εμβαδού σε κλίμακα μικρότερη της ατομικής.

Το πρόβλημα τέθηκε για πρώτη το 1914 από τον Γάλλο μαθηματικό Henri Lebesgue σε μια επιστολή του προς τον φίλο του Julius Pál. Ο Lebesgue ρωτούσε: Ποιο είναι το σχήμα με το ελάχιστο εμβαδόν που μπορεί να καλύψει ένα πλήθος διαφόρων σχημάτων (τα οποία έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό) ;

Το παράδειγμα που ακολουθεί είναι αρκετά διαφωτιστικό σχετικά με το πρόβλημα καθολικής επικάλυψης του Lebesgue. Στην παρακάτω εικόνα υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά σχήματα. Σε κάθε σχήμα δεν υπάρχουν δυο σημεία που να απέχουν απόσταση μεγαλύτερη από τη μονάδα. Ο κύκλος είναι το πιο προφανές σχήμα με «διάμετρο 1», αλλά υπάρχουν άπειρα τέτοια σχήματα, όπως το ισόπλευρο τρίγωνο, το κανονικό πεντάγωνο και το τρίγωνο Reuleaux. Αυτή η ποικιλία σχημάτων κάνει πολύ δύσκολη την εύρεση του ελάχιστου εμβαδού που θα τα επικάλυπτε όλα.

Μετά τη λήψη της επιστολής Lebesgue, ο Pál συνειδητοποίησε ότι το κανονικό εξάγωνο είναι ένα σχήμα της καθολικής επικάλυψης. Αλλά έκανε κάτι καλύτερο. Παρατήρησε πως μπορούσε να «περικόψει» δυο μη συνεχόμενες γωνίες του εξαγώνου. Έτσι, το σχήμα που προέκυπτε είχε λιγότερο εμβαδόν αλλά εξακολουθούσε να επικαλύπτει όλα τα σχήματα – των οποίων η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων τους είναι ίση με 1.

Κατά τη διάρκεια των επόμενων 80 ετών δυο μαθηματικοί βελτίωσαν κάπως το εμβαδόν του Pál.  Το 1936 ο Roland Sprague αφαίρεσε ένα τμήμα κοντά σε μία από τις γωνίες και το 1992 ο H. C. Hansen έβγαλε δύο πάρα πολύ μικρά τριγωνικά τμήματα από την κάτω δεξιά και αριστερή γωνία. Το εμβαδόν των περιοχών που αφαίρεσε ο  Hansen είναι 0,00000000004 μονάδες.

Το πρόβλημα της καθολικής επικάλυψης του Lebesgue έβγαλε από την αφάνεια το 2013 ο μαθηματικός John Baez,από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, όταν έγραψε γι αυτό στο ιστολόγιό του. «Το ενδιαφέρον μου για αυτό το πρόβλημα είναι μάλλον νοσηρό», έγραψε ο Baez. «Δεν ξέρω κανένα λόγο γιατί είναι σημαντικό. Δεν το βλέπω να συνδέεται με άλλα όμορφα μαθηματικά. Απλά φαίνεται εκπληκτικά δύσκολο σε σύγκριση με αυτό που αρχικά σκεφτόσαστε. Θαυμάζω τους ανθρώπους που εργάζονται σε αυτό με τον ίδιο τρόπο που θαυμάζω τους ανθρώπους που αποφασίζουν να διασχίσουν με σκι ολόκληρη την Ανταρκτική ».

Ο Philip Gibbs δεν είχε πάει ποτέ στην Ανταρκτική, αλλά όταν διάβασε στο ιστολόγιο του Baez για το πρόβλημα του Lebesgue, σκέφτηκε: «Αυτό ακριβώς είναι το είδος του προβλήματος που έψαχνα». Ο Gibbs σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ και έκανε διδακτορικό στη θεωρητική φυσική στο Πανεπιστήμιο της Γλασκόβης. Όμως στην διαδρομή έχασε το ενδιαφέρον του για την ακαδημαϊκή έρευνα και αντ΄ αυτού έγινε μηχανικός λογισμικού. Εργάστηκε σε συστήματα σχεδιασμού πλοίων, ελέγχου εναέριας κυκλοφορίας και οικονομικών, πριν αποσυρθεί το 2006. Ο  Gibbs δεν έχασε ποτέ το ενδιαφέρον του για τα ακαδημαϊκά ερωτήματα, αλλά δεν μπορούσε να κάνει πολλά ως μη επαγγελματίας ερευνητής. Σύμφωνα με τον ίδιο: «ως ανεξάρτητος επιστήμονας είναι δύσκολο να έχεις πλεονέκτημα σε όλα όσα συμβαίνουν. Όμως αν βρεις ένα εξειδικευμένο θέμα που σου ταιριάζει μπορείς να καταλήξεις σε χρήσιμα και πρωτότυπα αποτελέσματα».

Το εν λόγω πρόβλημα Lebesgue ήταν ακριβώς ένα τέτοιο θέμα. Δεν είχε προσελκύσει ποτέ μεγάλη προσοχή από τους μαθηματικούς και γι αυτό υπέθεσε πως θα μπορούσε να σημειώσει πρόοδο. Συνειδητοποίησε επίσης ότι το υπόβαθρό του στον προγραμματισμό θα του έδινε ένα πλεονέκτημα, αν και ήταν πάντα επιφυλακτικός όσον αφορά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων με χρήση υπολογιστών.

Το 2014 ο Gibbs έτρεξε προσομοιώσεις σε 200 τυχαία παραγόμενα σχήματα με διάμετρο 1. Αυτές οι προσομοιώσεις έδειξαν ότι μπορεί να αφαιρέσει κάποια περιοχή γύρω από την άνω κορυφή της τελευταίας ελάχιστης επικάλυψης. Αυτό τον οδήγησε σε μια απόδειξη ότι το νέο «κόψιμο» ισχύει για όλα τα πιθανά σχήματα διαμέτρου 1.

Ο Gibbs έστειλε την απόδειξη στον Baez, ο οποίος συνεργάστηκε με την προπτυχιακή φοιτήτρια Karine Bagdasaryan, για να βοηθήσει τον Gibbs να ξαναγράψει την απόδειξη με ένα πιο επίσημο μαθηματικό ύφος. Οι τρεις τους δημοσίευσαν την εργασία τους με τίτλο «The Lebesgue Universal Covering Problem» τον Φεβρουάριο του 2015. Μείωσαν την περιοχή της ελάχιστης γενικής επικάλυψης από 0,8441377 σε 0,8441153 μονάδες. Η «εξοικονόμηση» – μόλις 0.0000224 μονάδων- ήταν σχεδόν ένα εκατομμύριο φορές μεγαλύτερη από την μείωση που έκανε ο Hansenτο 1992.

Ο Gibbs ήταν σίγουρος ότι θα μπορούσε να μειώσει το εμβαδόν της μικρότερης επικάλυψης περισσότερο. Σε ένα άρθρο που δημοσιεύτηκε τον Οκτώβριο με τίτλο «An Upper Bound for Lebesgue’s Covering Problem», έκοψε κι άλλο, σχετικά μεγάλο τμήμα, από την καθολική επικάλυψη, μειώνοντας το εμβαδόν της μέχρι τις 0,84409359 μονάδες. Η στρατηγική του ήταν να μετατοπίσει όλα τα σχήματα με  διάμετρο 1 σε μια γωνία της καθολικής επικάλυψης που είχε βρει πριν από λίγα χρόνια, και στη συνέχεια να αφαιρέσει εμβαδόν από την αντίθετη γωνία.

Ωστόσο, η ακριβής μέτρηση του εμβαδού που αφαιρέθηκε αποδείχθηκε απαιτητική. Οι τεχνικές που χρησιμοποίησε ο Gibbs προέρχονται όλες από την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά η εκτέλεσή τους απαιτεί τέτοια λεπτομέρεια που θα προκαλούσε ζάλη σε οποιονδήποτε μαθητή λυκείου. Προς το παρόν, ο Gibbs συνεχίζει να κατέχει το στέμμα για το ελάχιστο εμβαδόν της καθολικής επικάλυψης, αλλά η βασιλεία του δεν είναι ασφαλής. Ο Gibbs πιστεύει ότι υπάρχει ακόμη χώρος για επιπλέον μείωση.

Από την πλευρά του ο Baez ελπίζει ότι η αναζωπύρωση του ενδιαφέροντος από τον Gibbs για το πρόβλημα του Lebesgue, θα ενισχύσει το ενδιαφέρον κι άλλων μαθηματικών, που επιπλέον θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν πιο σύγχρονες μαθηματικές τεχνικές. Και καταλήγει: «είναι πιθανό πως ο σωστός τρόπος για την επίλυση αυτού του προβλήματος να περιλαμβάνει πολύ διαφορετικές ιδέες, αν και δεν έχω ιδέα ποιες θα είναι αυτές οι ιδέες».

Διαβάστε περισσότερα: https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/http://vixra.org/pdf/1801.0292v1.pdf