Το πρόβλημα της ακρίδας

Posted on 18/01/2018

3


«Μια ακρίδα προσγειώνεται στο (επίπεδο) γκαζόν, το οποίο μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα – όχι απαραίτητα συνεχές. Το γκαζόν έχει εμβαδόν 1. Η ακρίδα προσγειώνεται σε ένα τυχαίο σημείο και στη συνέχεια πηδάει μια φορά κατά d=0.3, προς μια τυχαία κατεύθυνση.
Ποιο πρέπει να είναι το σχήμα του γκαζόν ώστε η ακρίδα να έχει τις περισσότερες πιθανότητες να προσγειωθεί μετά το άλμα της πάλι μέσα στο γκαζόν;
»

Πρόκειται για ένα πρόβλημα που μπορεί εύκολα να διατυπωθεί, αλλά είναι πολύ δύσκολο να επιλυθεί. Το πρόβλημα αναδεικνύουν οι Olga Goulko και Adrian Kent στην εργασία τους «The grasshopper problem» . Προέκυψε έμμεσα κατά την ανάλυση των ανισοτήτων Bell – οι ανισότητες που χρησιμοποιούνται συνήθως για να αναδείξουν την πραγματικότητα της κβαντικής συμπεριφοράς.

Οι Goulko και Kent δεν κατάφεραν να βρουν μια πλήρη λύση. Όμως, μεταφέροντας το πρόβλημα σε ένα φυσικό σύστημα και κάνοντας προσομοιώσεις σε υπολογιστή δίνουν ακριβείς εκτιμήσεις και υπολογίζουν τα όρια του προβλήματος.

Απάντηση (για d=0.3): Εφόσον d<1/√π≈0.56, το βέλτιστο σχήμα είναι κάτι σαν οδοντωτός τροχός με n προεξοχές, όπου ο αριθμός n προσεγγίζει την τιμή π/arcsin(√πd/2). Για d=0.3, προκύπτει n=11.67≈12

Στο βίντεο που ακολουθεί βλέπουμε παραδείγματα βέλτιστων σχημάτων για τις διάφορες τιμές του d:

πηγή: backreaction.blogspot.gr