Οι περιττοί αριθμοί που έβλεπε ο Γαλιλαίος …

Posted on 11/02/2017

0


… στο νόμο της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης

Τα μαθηματικά την εποχή του Γαλιλαίου δεν επέτρεπαν την διατύπωση μιάς εξίσωσης, όπως απλή σχέση s = \frac{1}{2} a t^{2} , την οποία εφαρμόζουν οι μαθητές στο σχολείο για να υπολογίσουν την απόσταση που διανύει ένα σώμα που ξεκινά από την ηρεμία με σταθερή επιτάχυνση ή που πέφτει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα (θέτοντας αντί για α την επιτάχυνση της βαρύτητας g).

Ας δούμε λοιπόν πως διατύπωσε ο Γαλιλαίος το νόμο της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, ότι δηλαδή “οι αποστάσεις που διανύονται είναι ανάλογες με τα τετράγωνα των χρόνων”.

Αρχικά ο Γαλιλάιος αναπαρέστησε τη ροή του χρόνου πάνω στην ευθεία ΑΒ (βλέπε το παρακάτω σχήμα), στην οποία AD=DE=EF=FQ= … παριστάνουν ίσα χρονικά διαστήματα.%ce%b3%ce%b1%ce%bb%ce%b9%ce%bb%ce%b1%ce%af%ce%bf%cf%821Δεξιά, η ευθεία ΗLΜΝΙ παριστάνει την τροχιά μιας ευθύγραμμης επιταχυνόμενης κίνησης, όπως η ελεύθερη πτώση, έτσι ώστε το ΗL να παριστάνει την απόσταση που διανύεται σε χρόνο ΑD, το ΗΜ η απόσταση που διανύεται σε χρόνο ΑΕ κ.ο.κ. ,
ενώ σύμφωνα με το θεώρημα Merton[i], το οποίο ήταν γνωστό στον Γαλιλαίο, οι οριζόντιες ευθείες (DO), (EP), κ.ο.κ. παριστάνουν τις αντίστοιχες ταχύτητες στις χρονικές στιγμές ΑD , ΑΕ , κ.ο.κ., ενώ οι αποστάσεις που διανύονται είναι:
ΗL=(AD)·(DO)/2 (=εμβαδόν του τριγώνου ΑDΟ)
και
ΗΜ=(ΑΕ)·(ΡΕ)/2 (=εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΡ)
Έτσι, με απλή γεωμετρία προκύπτει εύκολα ότι
ΗΜ/ΗL=(AE/AD)2
Επομένως ο λόγος των αποστάσεων ισούται με το τετράγωνο του λόγου των αντίστοιχων χρόνων.

Στη συνέχεια αναλύει την επιταχυνόμενη κίνηση χρησιμοποιώντας ένα πιο λεπτομερές διάγραμμα ταχύτητας–χρόνου (οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση αντίστοιχα) ως εξής:

%ce%b3%ce%b1%ce%bb%ce%b9%ce%bb%ce%b1%ce%b9%ce%bf%cf%832

Ο λόγος μεταξύ των διαστημάτων που διανύει σε ίσα χρονικά διαστήματα ένα σώμα – που πέφτει ελεύθερα από την ηρεμία – είναι ίσος με τον λόγο μεταξύ των περιττών αριθμών, αρχίζοντας από τον αριθμό ένα.

Η κατακόρυφη ευθεία ΑΟ παριστάνει πάλι το χρόνο, η ευθεία ΑF σχηματίζει μια γωνία προς την ΑΟ και ΑC=CI=IO. Τότε αν το σώμα πέφτει ελεύθερα για το χρονικό διάστημα ΑC, το ΒC θα είναι η μέγιστη ταχύτητα και η απόσταση θα αντιπροσωπεύεται από το ορθογώνιο της σταθερής ταχύτητας που σχηματίζεται με βάση το EC ίση προς CB/2.
Επιπλέον, αν το σώμα συνέχιζε την πτώση του με σταθερή ταχύτητα BC, τότε στο χρονικό διάστημα CI θα κάλυπτε τη διπλάσια απόσταση από αυτή που διέτρεξε σε χρόνο ΑC, ξεκινώντας από την κατάσταση ηρεμίας. Αλλά αφού το σώμα επιταχύνεται ομαλά, η ταχύτητά του σε χρόνο CI θα αυξηθεί κατά μια ποσότητα FG ίση με την βάση του τριγώνου ΒFG, που είναι ίσο με το ΑΒC. Τότε, προσθέτοντας στην ταχύτητα GI (ίση με τη ΒC) το μισό του FG, που είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτήθηκε με την επιτάχυνση, παίρνουμε τη σταθερή ταχύτητα με την οποία το σώμα θα διέτρεχε την ίδια απόσταση στο χρόνο CI. Και εδώ φαίνεται ήδη που πηγαίνει το πράγμα. Τα εμβαδά  των ορθογωνίων που αντιπροσωπεύουν τη διανυόμενη απόσταση αυξάνονται σε διαδοχικά χρονικά διαστήματα «όπως οι περιττοί αριθμοί αρχίζοντας από την μονάδα, 1, 3 , 5, … και γενικά, οι διανυόμενες αποστάσεις είναι μεταξύ τους όπως ο διπλός χρόνος των χρόνων, δηλαδή όπως τα τετράγωνα αυτών των χρόνων».

Τα παραπάνω αντιπροσωπεύουν τις πρώτες ολοκληρώσεις που εφαρμόστηκαν σε μεταβαλλόμενα φυσικά μεγέθη. Για τον Γαλιλαίο η εμφάνιση των περιττών αριθμών στην περιγραφή ενός συνηθισμένου φυσικού φαινομένου είχε βαθύ φιλοσοφικό νόημα: έδειχνε ότι η φύση ήταν κατά μια «έννοια» μαθηματική και ότι τα μαθηματικά εφαρμόζονται με επιτυχία στη φυσική φιλοσοφία.

Σήμερα γράφουμε για το διάστημα που διανύει ένα σώμα που επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση, χωρίς αρχική ταχύτητα, από τη χρονική στιγμή μηδέν μέχρι την χρονική στιγμή t
s = \frac{1}{2} a t^{2}
Ο Γαλιλαίος, αφού πρώτα χώριζε το  χρονικό διάστημα 0 έως t σε n ίσα χρονικά διαστήματα, Δt =t/n, στη συνέχεια υπολόγιζε το συνολικό διάστημα αθροίζοντας τα διαστήματα που διάνυε το σώμα σε κάθε Δt:
s = \Delta s \left[1 + 3 + 5 + \cdots (2n-1)\right]= \Delta s \, n^{2}

%ce%b3%ce%b1%ce%bb%ce%b9%ce%bb%ce%b1%ce%b9%ce%bf%cf%833

1+3+5+7+ … +(2n-1) = n2

Στην ουσία είναι η ίδια σχέση με την σημερινή αφού \Delta s = \frac{1}{2} a (\Delta t)^{2} ,
οπότε: s = \frac{1}{2} a (\Delta t)^{2} n^{2} = \frac{1}{2} a t^{2}

πηγές:
1. The new sciences, by Galileo http://files.libertyfund.org/files/753/0416_Bk.pdf
2. “Στην Κόψη της Αλήθειας” , Charles Coulston Gillispie, Mορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1986

[i] To θεώρημα Merton
Οι κινήσεις των σωμάτων μελετήθηκαν θεωρητικά τον 13o αιώνα, πολύ πριν από την εποχή του Γαλιλαίου (16ος αιώνας), ο οποίος θεωρείται ο θεμελιωτής της Φυσικής Επιστήμης όπως τη γνωρίζουμε εμείς σήμερα. Ένα από τα αποτελέσματα των μελετών της περιόδου αυτής, που χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα στη διδασκαλία της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, είναι το “Θεώρημα της μέσης ταχύτητας”. To θεώρημα αυτό ονομάζεται και θεώρημα Merton, επειδή μελετήθηκε στο αντίστοιχο κολλέγιο της Οξφόρδης. Με σύγχρονη ορολογία, το θεώρημα αναφέρεται σε μία κίνηση που είναι ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ0, διαρκεί χρόνο t και έχει τελική ταχύτητα υ. To θεώρημα ορίζει ότι, το διάστημα που διανύθηκε είναι το ίδιο με αυτό που θα διήνυε στον ίδιο χρόνο άλλο κινητό που θα είχε σταθερή ταχύτητα ίση με τη μέση τιμή των ταχυτήτων υ0, υ. Δηλαδή η απόσταση αυτή είναι: s = (υ + υ0)/2  t
Ενδιαφέρον έχει η ιδιαίτερη μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για την απόδειξη του θεωρήματος από τον Oresme, στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού, στις αρχές του 14ου αιώνα.metron1 O Oresme σκέφτηκε, ότι, εφόσον η ποσότητα υ0t είναι γινόμενο δύο αριθμών, μπορεί να παρασταθεί με το εμβαδόν ορθογώνιου παραλληλόγραμμου με πλευρές υ0, t, όπως το ΟΑΒΓ στην εικόνα. Ομοίως, το υt θα είναι το εμβαδόν ΟΑΔΕ. O Oresme επίσης συμπέρανε, ότι το εμβαδόν ΟΑΔΓ θα παριστάνει το διάστημα που διανύθηκε από το κινητό που έκανε την επιταχυνόμενη κίνηση. Πράγματι, αν συνδεθούν τα μέσα των τμημάτων ΓΕ και ΒΔ με το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ, τα τρίγωνα ΓΛΜ και ΚΔΜ αποδεικνύεται ότι είναι ίσα. Συνεπώς, το εμβαδόν του τραπεζίου ΟΑΔΓ και του ορθογωνίου OAKΛ είναι ίσα. Όμως, το εμβαδόν OAKΛ αντιστοιχεί στο γινόμενο (υ + υ0)/2 ∙ t, διότι η KΛ διέρχεται από τα μέσα των ΒΔ, ΓΕ και ΟΛ = υ0 + (υ – υ0)/2 = υ + υ0/2. Άρα το διάστημα που διανύεται με τη μέση ταχύτητα είναι ίσο με αυτό που διανύεται με ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
πηγή: βιβλίο Φυσικής Α’ Λυκείου