Ο αριθμός π και η συνάρτηση γάμα

Posted on 17/09/2016

0


Η πιο γνωστή προσέγγιση του αριθμού π είναι το κλάσμα 22/7=3.14 , με ακρίβεια έως το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο.
Λιγότερο πιο γνωστή προσέγγιση είναι το κλάσμα 355/113= 3.141592 – ακρίβεια μέχρι το έκτο δεκαδικό ψηφίο (ένας εύκολος τρόπος για να θυμάται κανείς τον λόγο 355/113 είναι η ευκολομνημόνευτη αλληλουχία των αριθμών 113355, την σπάμε στην μέση 113_355 και σχηματίζουμε το κλάσμα 355/113).

Μπορείτε βέβαια να βρείτε καλύτερες και ακριβέστερες προσεγγίσεις του αριθμού π ή απειροσειρές που τον προσδιορίζουν ακριβώς, π.χ. εδώ: https://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Μια αναπάντεχη εμφάνιση του αριθμού π γίνεται στo βίντεο που ακολουθεί, με τίτλο «Ποια είναι η τιμή του παραγοντικού (1/2)! ; αναπάντεχα (1/2)! = √π/2»

Αρχικά το βίντεο μας παρουσιάζει την παραγοντική συνάρτηση Π(x)=x! , οι τιμές της οποίας υπολογίζονται πολύ εύκολα όταν το x είναι θετικός ακέραιος:
2! = 1∙2 =2
3! = 1∙2∙3 = 6
4! = 1∙2∙3∙4 = 24 κ.ο.κ.

Και τι γίνεται όταν η μεταβλητή x παίρνει μη ακέραιες τιμές;

Δοκιμάζοντας τον υπολογισμό του (1/2)! σε ένα κομπιουτεράκι (ή γκουκλάροντάς το) παίρνουμε το αποτέλεσμα: (0.5)!=0.88622692545…
factorial0_5Το νούμερο αυτό αν το πολλαπλασιάσουμε επί 2 και στην συνέχεια υψώσουμε στο τετράγωνο θα πάρουμε τον αριθμό π:

\left[2 \cdot \left(\frac{1}{2})! \right) \right]^{2} = \pi = 3.14159265359... 

Κι όταν η μεταβλητή x είναι αρνητική;

Αν δοκιμάσει κανείς να υπολογίσει σε κομπιουτεράκι (ή στο google) το παραγοντικό (-1/2)! , τότε θα πάρει το αποτέλεσμα: (-0.5)!= 1.77245385091 …
Υψώνοντας τον αριθμό αυτόν στο τετράγωνο παίρνουμε πάλι τον αριθμό π:

\left[\left(-\frac{1}{2})! \right)\right]^{2} = \pi

Από τα παραπάνω είναι φανερό πως η παραγοντική συνάρτηση γενικεύεται και σε μη ακέραιους αριθμούς, μια γενίκευση που συνδέεται άμεσα με την συνάρτηση γάμα που ορίζεται ως εξής:

\Pi(x-1) = \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt

Η συνάρτηση γάμα έχει πολλές εφαρμογές στην κβαντομηχανική (και γενικότερα στην μαθηματική φυσική), την θεωρία αριθμών κ.λπ.

Στο ένθετο που ακολουθεί περιέχονται όλες οι μαθηματικές ιδιότητες της συνάρτησης γάμμα, από το «Hanbook of Mathematical Functions» , των Milton Abramowitz και Irene A. Stegun:

Δεδομένου ότι \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \left(-\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\pi} και \Gamma (x+1) = x\Gamma(x) = x! είναι φανερό ότι ο αριθμός π συνδέεται άμεσα με διάφορες τιμές της συνάρτησης γάμα.

Αυτά όμως δεν είναι παρά μια πρώτη γεύση. Μπορείτε να διαβάστε πολύ περισσότερα στο παραπάνω ένθετο ή εδώ: Gamma Function (και στην βιβλιογραφία που δίνεται στο τέλος του άρθρου).