Ένα λάθος του Feynman σχετικά με τον κλωβό του Faraday

Posted on 02/08/2016

0


Ο κλωβός του Faraday

Σχεδόν όλοι έχουμε ακούσει για το φαινόμενο του κλωβού Faraday, σύμφωνα με το οποίο ένα μεταλλικό πλέγμα θωρακίζει τον χώρο από ηλεκτρικά πεδία και ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

Faraday_cage

Η παραπάνω εικόνα δείχνει πως λειτουργεί ο κλωβός του Faraday (το ορθογώνιο πλαίσιο).  Όταν εφαρμόζεται ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο (βέλη) τα ηλεκτρόνια (οι μικρότεροι κύκλοι) μετακινούνται στο μεταλλικό πλαίσιο του κλωβού, δημιουργώντας έτσι συσσώρευση αρνητικού φορτίου προς τα αριστερά και αντίστοιχη συσσώρευση θετικού φορτίου δεξιά. Αυτά τα επαγόμενα ηλεκτρικά φορτία δημιουργούν μέσα στον κλωβό ένα αντίθετο ηλεκτρικό πεδίο που εξουδετερώνει το εξωτερικό.

Ο κλωβός αναφέρθηκε για πρώτη φορά στα πειράματα του Michael Faraday τo 1836, ενώ η απουσία πεδίου στο εσωτερικό μεταλλικού φλοιού είχε παρατηρηθεί για πρώτη φορά από τον Benjamin Franklin το 1755. Οι ηλεκτρολόγοι και οι φυσικοί χρησιμοποιούν τέτοιου είδους μεταλλικές θωρακίσεις για να απομονώσουν κυκλώματα και συστήματα από εξωτερικά ηλεκτρικά πεδία. Ένα γνωστό παράδειγμα κλωβού είναι η πόρτα ενός φούρνου μικροκυμάτων που περιέχει μεταλλικό πλέγμα. Αυτό εμποδίζει τα μικροκύματα να εξέλθουν από τη συσκευή, επιτρέπουν όμως την διέλευση του ορατού φωτός που έχει μικρότερο μήκος κύματος.
Στο βίντεο που ακολουθεί βλέπουμε μια επίδειξη του κλωβού Faraday, από τα μαθήματα ηλεκτρομαγνητισμού στο MIT του Walter Lewin (από το 45′ και μετά):

Τον κλωβό του Faraday μας θύμισε ο Lloyd N. Trefethen, στο άρθρο του με τίτλο «Surprises of the Faraday Cage«. Εκεί υποστηρίζει πως η ανάλυση του Richard Feynman όσον αφορά το φαινόμενο του κλωβού Faraday, είναι εντελώς λάθος. Συγκεκριμένα αναφέρεται στον 2ο τόμο των διαλέξεων φυσικής του Feynman, στην ενότητα 7.5 με τίτλο «The electrostatic field of a grid» όπου περιγράφεται ένας προσεγγιστικός υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν παράλληλες ευθύγραμμες κατανομές φορτίου.

Ας αφιερώσουμε όμως λίγο χρόνο για να παρακολουθήσουμε τον συλλογισμό του μεγάλου φυσικού:

Το ηλεκτροστατικό πεδίο ενός πλέγματος

«Σαν ένα τελευταίο παράδειγμα θα περιγράψουμε μια άλλη ενδιαφέρουσα ιδιότητα των ηλεκτρικών πεδίων, για μια ιδιότητα που χρησιμοποιείται στη σχεδίαση ηλεκτρικών συσκευών, την κατασκευή σωλήνων κενού κ.ά. Πρόκειται για το είδος του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται κοντά σε ένα πλέγμα φορτισμένων ευθυγράμμων λεπτών αγωγών.
Για να γίνει το πρόβλημα όσο το δυνατόν πιο απλό, ας θεωρήσουμε μια διάταξη παράλληλων λεπτών συρμάτων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τα σύρματα να έχουν άπειρο μήκος και η μεταξύ τους απόσταση να είναι σταθερή.
Αν μελετήσουμε το πεδίο σε μεγάλες αποστάσεις πάνω από το συρμάτινο πλέγμα, θα βρούμε ένα σταθερό ηλεκτρικό πεδίο παρόμοιο με αυτό που δημιουργεί ένα ομοιόμορφα φορτισμένο επίπεδο.
Καθώς όμως προσεγγίζουμε το συρμάτινο πλέγμα, το πεδίο αρχίζει να αποκλίνει από το ομογενές πεδίο που συναντάμε σε μεγάλες αποστάσεις από το πλέγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε πόσο κοντά στο πλέγμα θα πρέπει να πλησιάσουμε έτσι ώστε να διαπιστώσουμε σημαντικές μεταβολές στο δυναμικό.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει προσεγγιστικά τις ισοδυναμικές επιφάνειες σε διάφορες αποστάσεις από το πλέγμα.

Οι ισοδυναμικές επιφάνειες πάνω από ένα ομοιόμορφο πλέγμα φορτισμένων λεπτών συρμάτων

Οι ισοδυναμικές επιφάνειες πάνω από ένα ομοιόμορφο πλέγμα φορτισμένων λεπτών συρμάτων

Όσο πιο πολύ πλησιάζουμε το πλέγμα, τόσο πιο μεγάλες είναι αυτές οι μεταβολές. Όταν κινούμαστε παράλληλα προς το πλέγμα, παρατηρούμε ότι οι διακυμάνσεις του πεδίου λαμβάνουν χώρα με περιοδικό τρόπο.
Γνωρίζουμε ότι κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων (θεώρημα Fourier). Ας δούμε αν μπορούμε να βρούμε μια κατάλληλη αρμονική συνάρτηση που να ικανοποιεί τις εξισώσεις του πεδίου μας.
Αν τα σύρματα βρίσκονται στο επίπεδο xy και είναι παράλληλα προς τον άξονα y, τότε μπορούμε να δοκιμάσουμε όρους όπως ο

\phi (x,z) = F_{n} \cos (2 \pi n x / \alpha)     (1)

όπου α  η απόσταση μεταξύ των συρμάτων και n η τάξη της αρμονικής. (Έχουμε υποθέσει ότι το μήκος των συρμάτων είναι πολύ μεγάλο μήκος, έτσι ώστε να μην υπάρχει μεταβολή ως προς τον άξονα y). Μια πλήρης λύση θα μπορούσε να προκύψει από ένα άθροισμα τέτοιων όρων για n=1, 2, 3, …
Αν αυτό είναι το σωστό δυναμικό, τότε θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace στην περιοχή πάνω από τα σύρματα (όπου δεν υπάρχουν φορτία). Δηλαδή:

\partial^2 \phi / \partial x^2 + \partial^2 \phi / \partial z^2 = 0 

Χρησιμοποιώντας αυτή την εξίσωση για το δυναμικό φ της εξίσωσης (1), βρίσκουμε ότι:

d^2 F_{n} / d z^{2} = 4 \pi^{2} n^{2}/ \alpha^{2} F_{n}    (2)

Έτσι θα έχουμε:

F_{n} = A_{n} e^{-z / z_{0}}      (3)

όπου z_{0} = \alpha / 2 \pi n  
Βρήκαμε λοιπόν ότι αν υπάρχει μια συνιστώσα Fourier του πεδίου με τάξη αρμονικής n, αυτή η συνιστώσα θα ελαττώνεται εκθετικά ως προς μία χαρακτηριστική απόσταση

z_{0} = \alpha / 2 \pi n .

Για την πρώτη αρμονική (n=1), το πλάτος ελαττώνεται κατά έναν παράγοντα e-2π (μια μεγάλη μείωση) κάθε φορά που αυξάνουμε το z κατά την απόσταση α των συρμάτων του πλέγματος. Οι άλλες αρμονικές θα ελαττώνονται ακόμα πιο γρήγορα, καθώς απομακρυνόμαστε από το πλέγμα.
Βλέπουμε λοιπόν ότι ακόμη και αν βρισκόμαστε λίγες φορές την απόσταση α μακριά από το πλέγμα, το πεδίο είναι σχεδόν ομογενές, δηλαδή, οι περιοδικοί όροι έχουν πολύ μικρό πλάτος. Βέβαια πάντα θα παραμένει και το πεδίο της «μηδενικής αρμονικής»

\phi_{0} = -E_{0} z  

που δίνει το ομογενές πεδίο για μεγάλα z. Για μια πλήρη λύση, θα πρέπει να συνδυάσουμε αυτόν τον όρο, με ένα άθροισμα όρων σαν αυτούς της εξίσωσης (1), όπου η συνάρτηση Fn δίνεται από την εξίσωση (3). Οι συντελεστές An θα πρέπει να προσαρμοστούν, έτσι ώστε το συνολικό άθροισμα, όταν διαφοριστεί, να δώσει ένα ηλεκτρικό πεδίο που να ταιριάζει με την γραμμική πυκνότητα φορτίου λ των αγωγών του πλέγματος.

Η μέθοδος που μόλις αναπτύχθηκε, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει το λόγο για τον οποίο η ηλεκτροστατική θωράκιση με τη βοήθεια ενός πλέγματος είναι συχνά το ίδιο καλή με αυτή που επιτυγχάνεται με ένα στερεό μεταλλικό φύλλο. Εάν εξαιρέσουμε μία απόσταση από το πλέγμα – λίγες φορές η απόσταση μεταξύ των συρμάτων του πλέγματος -, το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό ενός κλειστού πλέγματος είναι ίσο με το μηδέν. Βλέπουμε λοιπόν γιατί ένα χάλκινο πλέγμα – που είναι πιο ελαφρότερο και πιο φθηνό από ένα αντίστοιχο χάλκινο φύλλο – χρησιμοποιείται συχνά για να θωρακίσει κάποια ευαίσθητη ηλεκτρική διάταξη από τα ενοχλητικά εξωτερικά πεδία

Που λοιπόν βρίσκεται το λάθος στην παραπάνω προσέγγιση;

Διαβάζοντας το παραπάνω απόσπασμα διαπιστώνουμε πως ο Feynman δεν ασχολείται με τον κλωβό Faraday, αλλά με κάτι εντελώς διαφορετικό: μας δίνει έναν προσεγγιστικό τρόπο υπολογισμού του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν παράλληλες μονοδιάστατες κατανομές φορτίου.

Ο Trefethen, επισημαίνει ότι το λάθος βρίσκεται στις τελευταίες (υπογραμμισμένες) γραμμές του αποσπάσματος από το βιβλίο του Feynman. Θεωρεί ότι η διαισθητική προέκταση που επιχειρεί ο Feynman – από την ανάλυση του ηλεκτρικού πεδίου παράλληλων φορτισμένων συρμάτων στην ηλεκτροστατική θωράκιση – δεν είναι σωστή και οδηγεί σε παρανοήσεις. Είναι λάθος οι οριακές συνθήκες. Πρέπει να χρησιμοποιηθούν υπολογισμοί που να θεωρούν ότι οι ευθύγραμμοι αγωγοί έχουν σταθερό δυναμικό και όχι σταθερό φορτίο.

faraday_feynman

O Michael Faraday (αριστερά), στον οποίο οφείλεται η ονομασία του φαινομένου του κλωβού Faraday. Σύμφωνα με τον Lloyd N. Trefethen, o Richard Feynman (δεξιά) έκανε λάθος στην ανάλυση του φαινομένου.

Επιπλέον, στην ανάλυση του Feynman θεωρούνται ευθύγραμμες μονοδιάστατες κατανομές φορτίου – σύρματα μηδενικής ακτίνας. Το σημειακό φορτίο σε κάποιο σημείο μπορεί να έχει νόημα στην ηλεκτροστατική, το δυναμικό όμως στο ίδιο σημείο δεν έχει. Επειδή οι σωστές οριακές συνθήκες δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε σημεία, ο Trefethen υποθέτει πως o Feynman παραπλανήθηκε από την διαίσθησή του καταλήγοντας σε λάθος συμπέρασμα.
O υπολογισμός του Feynman είναι αριθμητικά σωστός: μια άπειρη διάταξη παράλληλων φορτισμένων συρμάτων δημιουργούν ένα πεδίο που εκθετικά με την απόσταση γίνεται ομογενές.
Ωστόσο αυτό δεν είναι το ζητούμενο στον κλωβό του Faraday.
Έτσι ο Trefethen μαζί με τους Chapman και Hewett το 2015 δημοσίευσαν την εργασία με τίτλο «Mathematics of the Faraday cage», όπου επιχειρούν μια λεπτομερέστερη ανάλυση του φαινομένου του κλωβού Faraday. Αποδεικνύουν ότι η θωράκιση είναι γραμμική, κι όχι εκθετική, ως προς την απόσταση α των συρμάτων, και ότι η ακτίνα των ευθύγραμμων αγωγών παίζει σημαντικό ρόλο. Μάλιστα, όταν η ακτίνα τείνει στο μηδέν τότε η θωράκιση εξαφανίζεται.

Faraday_figure3

Ισοδυναμικές γραμμές σε κλωβό του Farafay. Όταν η ακτίνα των αγωγών είναι μεγάλη η θωράκιση είναι καλή (αριστερά). Όταν οι αγωγοί είναι λεπτοί η θωράκιση είναι ασθενής (μέσον). Όταν η απόσταση μεταξύ των αγωγών μειώνεται (δεξιά), τότε η θωράκιση βελτιώνεται γραμμικά κι όχι εκθετικά.

Ο Trefethen επισημαίνει ότι το πρόβλημα με μια άπειρη διάταξη παράλληλων αγωγών είχε μελετήσει το 1870 ο ίδιος ο Maxwell. Και αναρωτιέται μεταξύ άλλων, πως είναι δυνατόν ένα τόσο γνωστό φαινόμενο παρέμενε χωρίς λεπτομερή ανάλυση εδώ και 180 χρόνια; Και πως είναι δυνατόν η παρανόηση στο πιο διάσημο βιβλίο φυσικής στον κόσμο, που δημοσιεύθηκε το 1964, να μην έχει διορθωθεί ακόμα;

Όποιος ενδιαφέρεται για περισσότερες μαθηματικές λεπτομέρειες σχετικά με το ζήτημα μπορεί να διαβάσει το άρθρο των Chapman, S.J, Hewett, D.P., & Trefethen, L.N.: «Mathematics of the Faraday cage»