Ντοστογιέφσκι και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες

Posted on 08/08/2015

1


Η Ευκλείδεια Γεωμετρία που μάθατε στο σχολείο ήταν πιθανώς μια μοντέρνα έκδοση του περίφημου βιβλίου «Στοιχεία» που έγραψε γύρω στο 300 π.Χ. ο Ευκλείδης. Λέγεται ότι αυτό το βιβλίο είναι το πιο πολυδιαβασμένο μετά τη βίβλο και θεωρείται ως το αρχέτυπο ενός αυστηρού συμπερασματικού συστήματος. Στο πρώτο από τα δεκατρία «κεφάλαια» των Στοιχείων διατυπώνoνται εκτός από τους ορισμούς και 5 Αιτήματα (ή Αξιώματα) για την Γεωμετρία:


Τα 5 Αιτήματα του Ευκλείδη

1ο Αίτημα: Μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή από οποιοδήποτε σημείο προς οποιοδήποτε σημείο
2ο Αίτημα: Κάθε πεπερασμένη ευθεία μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως.
3ο Αίτημα: Μπορούμε να γράψουμε έναν κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα.
4ο Αίτημα: Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες.
5ο Αίτημα: Αν μια ευθεία που τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές σχηματίζει εντός και επί τα αυτά γωνίες συνολικά λιγότερες από δυο ορθές, οι εν λόγω ευθείες, προεκτεινόμενες απεριόριστα, συναντώνται σε εκείνη την μεριά όπου σχηματίζονται οι γωνίες που είναι λιγότερες από δυο ορθές.

Το 5ο Αίτημα φαίνεται να είναι απόλυτα συμβατό με τη διαίσθησή μας. Αλλά σε πολλούς μαθηματικούς (και όχι μόνο) στους επόμενους 21 αιώνες που ακολούθησαν μετά τον Ευκλείδη, υπήρχε η αίσθηση ότι πρόκειται για κάτι πιο πολύπλοκο για να ονομαστεί αίτημα και μάλλον θα έπρεπε να αποδειχθεί ως πρόταση.

Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες

Πέμπτο Αίτημα: Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες

Πολλοί μαθηματικοί, που έμεναν ανικανοποίητοι από το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη προσπάθησαν να αποδείξουν ότι είναι εξαρτημένο, ότι δηλαδή μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα. Πολλοί πίστεψαν ότι το είχαν πετύχει, πάντοτε όμως χρησιμοποιούσαν κάποια επιπλέον υπόθεση που είχε διαφύγει της προσοχής τους. Άλλοι μαθηματικοί διατύπωσαν την άποψη ότι θα έπρεπε να αντικατασταθεί από κάποιο πιο ευλογοφανές αίτημα.

Οδηγήθηκαν έτσι σε αξιώματα ισοδύναμα προς το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη, θεωρώντας ότι το νέο τους αξίωμα ήταν και απλούστερο στη διατύπωση και προφανέστερο στη διαίσθηση.

Για παράδειγμα οι επόμενες διατυπώσεις: «από ένα σημείο εκτός δοθείσας ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλη ευθεία ως προς την δοθείσα»
και
«το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180ο»
αποδεικνύονται ισοδύναμες με το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη.

O Giovanni Girolamo Saccheri (1667 – 1733), ένας ισουίτης ιερέας και καθηγητής των μαθηματικών, στην προσπάθειά του να αποδείξει ότι το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη ήταν εξαρτημένο από τα άλλα τέσσερα, οδηγήθηκε σχεδόν στην ανακάλυψη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας εκατό χρόνια πριν την τελική της ανακάλυψη. Σύμφωνα με τον J. L. Heath “o Saccheri υπήρξε θύμα της προκατάληψης της εποχής του ότι η μόνη δυνατή γεωμετρία ήταν η Ευκλείδεια, και παρουσιάζει το περίεργο θέαμα ενός ανθρώπου που ανεγείρει ένα οικοδόμημα πάνω σε καινούργια θεμέλια με σπουδή και εργατικότητα, σκοπεύοντας να το γκρεμίσει αμέσως μετά».

Ο Gauss (1777 – 1855) υπήρξε πιθανότατα ο πρώτος που αντιλήφθηκε ότι η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι εξίσου έγκυρη με την Ευκλείδεια, και ως λογικό σύστημα και ως περιγραφή του σύμπαντος. Ενώ οι Nikolai Lobachevsky και János Bolyai είχαν δημοσιεύσει τις ανακαλύψεις τους σχετικά με την μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, το 1829 και 1832, αντίστοιχα, ο Gauss κατείχε την αλήθεια ήδη από το 1813. Δεν του αναγνωρίστηκε η ανακάλυψη, διότι δεν δημοσίευσε τα ευρήματά του.

hyberb

Στην Υπερβολική Γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερη από 180 μοίρες

Σύμφωνα με την νέα αυτή γεωμετρία (Υπερβολική Γεωμετρία), από ένα σημείο εκτός δοθείσης ευθείας άγονται τουλάχιστον δυο διαφορετικές παράλληλες προς την δοθείσα ευθεία. Και σαν να μην έφτανε αυτό, το 1854, εμφανίζεται Bernhard Riemann για να προτείνει μια ακόμη διαφορετική γεωμετρία (Σφαιρική Γεωμετρία) στην οποία δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες! Όλες οι ευθείες τέμνονται ανά δυο σε δυο σημεία. Παρότι η Υπερβολική και η Σφαιρική Γεωμετρία έρχονταν σε αντίθεση με την ανθρώπινη διαίσθηση, φαίνονταν να είναι εξίσου συνεπείς με την Ευκλείδειο Γεωμετρία.

Στην Σφαιρική Γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες

Στην Σφαιρική Γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες

Η σπουδαιότητα της ανακάλυψης αυτής ήταν ανυπολόγιστη, διότι για περισσότερο από δυο χιλιάδες χρόνια κυριαρχούσε η αίσθηση ότι η ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν απαραίτητα η γεωμετρία του χώρου. Τα Μαθηματικά και η Φυσική συνυφαίνονταν τόσους αιώνες με το νήμα αυτής της πίστης. Οι νέες Γεωμετρίες έδειξαν ότι υπάρχουν και άλλες περιγραφές του χώρου προσιτές στην ανθρώπινη νόηση.

Μέχρι τότε επικρατούσαν οι απόψεις του μεγάλου φιλόσοφου Immanuel Kant (1724 – 1804) που είχε διατυπώσει στην «Κριτική του Καθαρού Λόγου». Σύμφωνα με τον Kant η Γεωμετρία είναι η μελέτη του χώρου, και η γνώση μας για τον χώρο δεν είναι εμπειρική αλλά μάλλον συνέπεια του τρόπου με τον οποίο είναι δομημένο το μυαλό μας. Μάλιστα η δομή του μυαλού μας είναι τέτοια ώστε η Ευκλείδεια Γεωμετρία να αποτελεί τη μόνη Γεωμετρία που αυτό μπορεί να συλλάβει. Κατά συνέπεια, ο λόγος που κάνει κάποιον να αισθάνεται μια φυσική ροπή στην κατεύθυνση της αποδοχής του Ευκλείδειου 5ου Αιτήματος δεν οφείλεται σε πειραματικές παρατηρήσεις αλλά στη δομή του εγκεφάλου μας.

Αυτή η θεωρία μετέτρεψε τις διατυπώσεις της Γεωμετρίας (αιτήματα και προτάσεις) σε κάτι σπάνιο και πολύτιμο – σε a priori συνθετικές κρίσεις. «A priori» σημαίνει ότι προηγούνται της εμπειρίας, ότι η επαλήθευσή τους δεν απαιτεί την εμπειρία (κάτι καλό, αφού η εμπειρία ενέχει τον κίνδυνο του λάθους). «Συνθετικές» σημαίνει ότι η επαλήθευσή τους απαιτεί κάτι περισσότερο από τη σημασία των λέξεων (άρα δεν είναι τετριμμένη). Στην περίπτωση της Γεωμετρίας, αυτό το «κάτι» είναι η δομή του εγκεφάλου, η οποία τον υποχρεώνει να τη δει ως Ευκλείδεια. Βέβαια η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία έδειξε ότι οι ισχυρισμοί του Kant δεν ήταν ορθοί.

Το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη και οι νέες Γεωμετρίες ξέφυγαν από τα στενά όρια της μαθηματικής κοινότητας του 19ου αιώνα και έγιναν θέματα διαφωνιών και συζήτησης στα ευρωπαϊκά σαλόνια.

Αυτό αποδεικνύεται στο παρακάτω απόσπασμα από τους «Αδελφούς Καραμαζώφ» του Φιόντορ Ντοστογιέφσκι (1821 – 1881), που έγραψε στην διετία 1879-1880. Ο σκοτεινός ήρωας του μυθιστορήματος, Ιβάν Καραμαζώφ, επιχειρηματολογεί υπέρ της Καντιανής άποψης για την Ευκλείδεια Γεωμετρία συνδέοντάς την με την ύπαρξη ή όχι του Θεού:

«… Ωστόσο, να τι πρέπει να σημειώσω: αν ο Θεός υπάρχει κι αν πράγματι δημιούργησε τη γη, τότε, όπως μας είναι γνωστό, τη δημιούργησε κατά την ευκλείδεια γεωμετρία, και τον ανθρώπινο νου με τη δυνατότητα κατανόησης μόνο των τριών διαστάσεων του χώρου.

Παρ’ όλα αυτά, υπήρξαν και υπάρχουν ακόμα και σήμερα γεωμέτρες και φιλόσοφοι, και μάλιστα από τους πιο αξιόλογους, που αμφιβάλλουν ότι όλη οι οικουμένη ή, ευρύτερα, όλο το σύμπαν δημιουργήθηκε μόνον κατά την ευκλείδεια γεωμετρία, τολμούν μάλιστα να σκέφτονται ότι δυο παράλληλες ευθείες, οι οποίες κατά τον Ευκλείδη δεν μπορούν με τίποτα να συναντηθούν στη Γη, ίσως και να συναντιούνταν κάπου στο άπειρο.

Εγώ, αγαπητέ μου, κατέληξα στο ότι, αν δεν μπορώ να το καταλάβω αυτό, πως μπορώ να καταλάβω τα σχετικά με το Θεό; Παραδέχομαι ταπεινά ότι δεν διαθέτω τις ικανότητες να λύσω τέτοια ζητήματα, το μυαλό μου είναι ευκλείδειο, γήινο, άρα πως θα λύσω κάτι που δεν είναι του κόσμου αυτού; Μα κι εσένα σε συμβουλεύω να μην το σκέφτεσαι ποτέ αυτό φίλε μου Αλιόσα, και περισσότερο σχετικά με το Θεό: υπάρχει ή δεν υπάρχει; Όλα αυτά είναι θέματα απολύτως δυσανάλογα ενός νου που έχει φτιαχτεί  για να κατανοεί μόνον τρεις διαστάσεις.

Έτσι, δέχομαι το Θεό, κι όχι μόνο με προθυμία, μα ακόμα περισσότερο, δέχομαι και τη σοφία του, και το σκοπό του, που μας είναι παντελώς άγνωστα, πιστεύω στην τάξη, στο νόημα της ζωής, πιστεύω στην αιώνια αρμονία, στην οποία θα ενσωματωθούμε, λέει, όλοι, πιστεύω στο Λόγο, προς τον οποίο τείνει η οικουμένη και ο οποίος «ήν προς τον Θεόν», και είναι ο ίδιος ο Θεός, και τα λοιπά και τα λοιπά, και ούτω καθεξής επ’ άπειρον. Λόγια έχουν ειπωθεί πολλά σχετικά με αυτό. Μου φαίνεται ότι είμαι σε καλό δρόμο ε;

Ε, λοιπόν, να φανταστείς ότι σε τελική ανάλυση αυτόν τον θεϊκό κόσμο δεν τον αποδέχομαι, και παρότι ξέρω ότι υπάρχει, δεν τον αποδέχομαι καθόλου. Δεν είναι ο Θεός που δεν αποδέχομαι, αλλά τον κόσμο που έχει δημιουργήσει, τον κόσμο του Θεού δεν αποδέχομαι και δεν μπορώ να συμφωνήσω να τον αποδεχτώ.

Εξηγούμαι: είμαι πεπεισμένος, σαν νεογέννητο, ότι οι οδύνες θα καταλαγιάσουν, ότι η προσβλητική κωμικότητα των ανθρώπινων αντιθέσεων θα εξαφανιστεί, σαν θλιβερός αντικατοπτρισμός, σαν αρρωστημένη επινόηση ενός αδύναμου και τόσο μικρού όσο το άτομο ενός ανθρώπινου ευκλείδειου νου, ότι, τέλος, στο φινάλε του κόσμου, τη στιγμή της αιώνιας αρμονίας, θα υπάρξει και θα εμφανιστεί κάτι τόσο πολύτιμο, που είναι αρκετό για όλες τις καρδιές, για τον κατευνασμό όλων των παρεξηγήσεων, την εξαγορά όλων των κακουργημάτων των ανθρώπων, όλου του αίματός τους που χύθηκε εξαιτίας τους, αρκετό και να δικαιολογήσει όλα όσα συνέβησαν με τους ανθρώπους … μα ακόμα, ακόμα κι αν υπάρξει και εμφανιστεί, εγώ δεν το αποδέχομαι και δεν θέλω να το αποδεχτώ! Ακόμα κι αν οι παράλληλες ευθείες συναντηθούν και το δω με τα μάτια μου, το δω και πω ότι συναντήθηκαν, παρ’ όλα αυτά, δεν θα το αποδεχτώ. Αυτή είναι η δική μου ουσία, Αλιόσα, αυτή είναι η θέση μου.»

Πηγές:
1. Η φύση και η δύναμη των Μαθηματικών, Donald M. Davis, μετάφραση Δ. Καραγιαννάκης, Μ. Μαγειρόπουλος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2001
2. ΑΔΕΛΦΟΙ ΚΑΡΑΜΑΖΩΦ, ΦΙΟΝΤΟΡ ΝΤΟΣΤΟΓΙΕΦΣΚΙ, μετάφραση Ελένη Μπακοπούλου, εκδόσεις ΙΝΔΙΚΤΟΣ, 2011
3. Μια ανάρτηση που μπορεί να ενδιαφέρει ένα το πολύ … δυο άτομα