Πως υπολογίστηκε η ταχύτητα του φωτός για πρώτη φορά;

Posted on 03/03/2015

1


galileoΟ Γαλιλαίος το 1638 προσπάθησε να μετρήσει την ταχύτητα του φωτός με την μέθοδο που δείχνει η παραπάνω εικόνα. Δύο πειραματιστές που κρατούσαν φανάρια βρίσκονταν σε μια μετρημένη απόσταση μεταξύ τους. Ο πρώτος ξεσκέπαζε το φανάρι του και μόλις ο δεύτερος έβλεπε το φως του πρώτου θα ξεσκέπαζε το δικό του φανάρι. Το ζητούμενο ήταν ο πρώτος πειραματιστής να μετρήσει τον χρόνο από την στιγμή που ξεσκέπασε το φανάρι του μέχρι την στιγμή που θα αντιλαμβανόταν το φως του απέναντι φαναριού. Δυστυχώς η μέθοδος αυτή ήταν αδύνατον να δώσει μια μετρήσιμη χρονική διαφορά και έδειξε ότι ακόμα κι αν το φως δεν διαδίδεται ακαριαία – όπως πίστευαν πολλοί εκείνη την εποχή – η ταχύτητα διάδοσής του ήταν πολύ μεγάλη.

Η πρώτη πειραματική απόδειξη για το ότι η ταχύτητα του φωτός είναι πεπερασμένη δόθηκε το 1676 από τον Δανό αστρονόμο Ole Roemer (1644-1710). [«Touchant le mouvement de la lumiere trouvé par M. Rŏmer de l’Académie Royale des Sciences«, Journal des sçavan: 233–36. 1676].
Ο Roemer παρατηρώντας την Ιώ, τον εσωτερικότερο δορυφόρο του Δία, διαπίστωσε μια μικρή μεταβολή στην περίοδο των εκλείψεων της Ιούς από τον Δία (μια περίοδος περιστροφής της Ιούς γύρω από τον Δία είναι 42,46 ώρες), ανάλογα με το αν η Γη πλησίαζε ή απομακρυνόταν από τον πλανήτη Δία.

Royal-Observatory-Greenwi-010

Ο Δίας και οι δυο από τους 64 δορυφόρους του, η Ιώ και ο Γανυμήδης.

Στο κλασικό βιβλίο Μηχανική (τόμος Ι ), μαθήματα φυσικής Πανεπιστημίου Berkeley (έκδοση 1978) περιγράφεται ένας  – αμφιλεγόμενος για κάποιους  –  τρόπος υπολογισμού της ταχύτητας του φωτός με την μέθοδο του Roemer, ως εξής:romer.jpg.pagespeed.ce.Yvv34-DNqD«Όταν κάποια χρονική στιγμή (η Γη βρισκόταν στη θέση \vec{b} ) ο  Roemer υπολόγιζε τον μετά έξι μήνες ακριβή χρόνο έκλειψης (η Γη στη θέση \vec{a} ), έπεφτε έξω κατά Δt=22 min. Δέχτηκε λοιπόν ότι αυτή η διαφορά πρέπει να είναι ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να διασχίσει την διάμετρο της Γης (την απόσταση D \approx| \vec{a}|-|\vec{b}| ). Η καλύτερη εκτίμηση του Roemer για τη μέση διάμετρο D της τροχιάς της  Γης γύρω από τον Ήλιο ήταν 2,83×1011m και έτσι υπολόγισε ότι η ταχύτητα του φωτός είναι c = D/ \Delta t = 2.14 \times 10^{8} m/s . Για την εποχή που έγινε αυτός ο υπολογισμός η παραπάνω τιμή προσεγγίζει αρκετά καλά την τιμή που δεχόμαστε σήμερα, δηλαδή 3×108 m/s».

Αν και ένας τέτοιος υπολογισμός της ταχύτητας του φωτός δεν αναφέρεται στην προαναφερθείσα εργασία του Roemer (μάλλον έγινε από άλλους αστρονόμους εκείνης της εποχής που χρησιμοποίησαν τα δεδομένα του Roemer), στην πραγματικότητα πίσω από έναν τέτοιο τον υπολογισμό βρίσκεται το φαινόμενο Doppler – παρότι το φαινόμενο αυτό διατυπώθηκε επίσημα για πρώτη φορά το 1842 από τον Christian Doppler.

Στη συνέχεια θα επιχειρήσουμε μια ερμηνεία της παραπάνω προσέγγισης σύμφωνα με το φαινόμενο Doppler.

Μπορούμε να θεωρήσουμε το σύστημα Δία-Ιούς σαν ένα φάρο που αναβοσβήνει. Ο «φάρος» είναι αναμμένος όταν η Ιώ διέρχεται μπροστά από τον Δία, και σβηστός όταν η Ιώ χάνεται πίσω του.

Όταν ένας παρατηρητής απομακρύνεται με ταχύτητα v από μια ακίνητη πηγή που εκπέμπει φωτεινά σήματα με περίοδο T_{S} , τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται μεγαλύτερη περίοδο:

T_{A}=T_{S} \frac{c}{c-v}

(εφόσον η ταχύτητα απομάκρυνσης v  είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός c , χρησιμοποιούμε τον κλασικό τύπο του φαινομένου Doppler και όχι τον σχετικιστικό).
Από την εξίσωση αυτή προκύπτει ότι η διαφορά της περιόδου που αντιλαμβάνεται ο απομακρυνόμενος παρατηρητής είναι:

\Delta T = T_{A} v / c  (1)

Για φωτεινά σήματα, αυτή η χρονική διαφορά είναι δύσκολο να μετρηθεί. Αν όμως o παρατηρητής μετρήσει πόσες φορές Ν αναβοσβήνει η πηγή για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα t_{o} = N T_{A}  , καθώς θα έχει διανύσει μια απόσταση D=v t_{0} , τότε η συνολική χρονική καθυστέρηση \Delta t = N \Delta T καθίσταται μετρήσιμη. Πολλαπλασιάζοντας επί Ν τα δυο μέλη της εξίσωσης (1) προκύπτει:

\Delta t = D / c (2)

και η ταχύτητα διάδοσης του φωτός υπολογίζεται αρκεί γνωρίζουμε την απόσταση D και την χρονική διαφορά \Delta t = N \Delta T .

Τα παραπάνω μπορούν να εφαρμοστούν στην περίπτωση που ο παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα από την πηγή.  Θα κάνουμε μια τέτοια προσέγγιση (εννοείται πολύ χονδρική) για την κίνηση της Γης (παρατηρητής) καθώς απομακρύνεται από το σύστημα Δίας-Ιώ  (πηγή).

Αρχίζουμε να παρατηρούμε τις εκλείψεις της Ιούς από την στιγμή που Γη βρίσκεται στην πλησιέστερη απόσταση σε σχέση με τον Δία:  roemer1Μετά από χρονικό διάστημα 102 περιόδων της Ιούς (6 μήνες περίπου), η Γη βρίσκεται στο αντιδιαμετρικό σημείο της τροχιάς της: roemer3Πολύ χονδρικά, μέσα σε έξι μήνες, η συνολική μετατόπιση της Γης σε σχέση με τον Δία είναι d_{3} - d_{1} \sim D , όπου D η διάμετρος της τροχιάς της Γης γύρω από τον Ήλιο και σύμφωνα με την εξ. (2) η ταχύτητα διάδοσης του φωτός – ακριβώς όπως περιγράφεται στο βιβλίο του Berkeley – θα προσεγγίζεται από την εξίσωση c = D/ \Delta t , όπου \Delta t η συνολικά μετρούμενη χρονική καθυστέρηση στις περιόδους της Ιούς.

Μπορείτε να δείτε ένα σχετικό animation στον ιστότοπο demonstrations.wolfram.com , το οποίο βασίζεται στην εργασία του J. H. Shea: «Ole Rǿmer, the Speed of Light, the Apparent Period of Io, the Doppler Effect, and the Dynamics of Earth and Jupiter» Am. J. Phys., 66(7), 1988 pp. 561–569