Το ασυνείδητο ως επιφάνεια Riemann

Posted on 11/08/2014

0


Οι επιφάνειες Riemann στην υπηρεσία της Ψυχανάλυσης

Η επιφάνεια Riemann της συνάρτησης sin−1(z)

Η επιφάνεια Riemann της συνάρτησης sin−1(z) (wolfram.com)

Μια επιφάνεια Riemann είναι η γενίκευση του μιγαδικού επιπέδου σε μια επιφάνεια που αποτελείται από περισσότερα του ενός «φύλλα», τέτοια ώστε μια πλειονότιμη συνάρτηση να έχει μια μόνο τιμή αντίστοιχη σε κάθε σημείο της επιφάνειας.

Η πλειονότιμη συνάρτηση από την οποία προκύπτει μια τέτοια επιφάνεια διαιρεμένη σε φύλλα, γίνεται πλέον μονότιμη πάνω στην επιφάνεια αυτή, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη θεωρία των μονότιμων συναρτήσεων.
Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε την συνάρτηση f(z) = z^{1/2}
circle_complex_plane
Έστω ότι το z κάνει μια πλήρη περιφορά γύρω από την αρχή Ο ξεκινώντας από το σημείο Α. Τότε δεδομένου ότι z=re^{i \theta} και f(z) = \sqrt{r}e^{i \theta/2} ,
το z θα φτάσει ξανά στο σημείο Α μετά από μια πλήρη περιστροφή, και τότε η συνάρτηση παίρνει διαφορετική τιμή από την αρχική:
f(z) = \sqrt{r}e^{i (\theta+2\pi)/2} =-\sqrt{r}e^{i \theta/2}
Αν συνεχίσουμε και ολοκληρώσουμε μια δεύτερη περιστροφή φθάνοντας πάλι στο σημείο Α θα έχουμε:
f(z) = \sqrt{r}e^{i (\theta+4\pi)/2} = \sqrt{r}e^{i \theta/2}
Παίρνουμε δηλαδή ξανά την αρχική τιμή.

Έτσι για 2π>θ≥0 λέμε ότι προκύπτει ο ένας κλάδος της πλειονότιμης συνάρτησης f(z) = z^{1/2} και για 4π>θ≥2π τον δεύτερο κλάδο της.
Κάθε κλάδος της συνάρτησης είναι μονότιμη συνάρτηση.

Η επιφάνεια Riemann της συνάρτησης αυτής κατασκευάζεται ως εξής: φανταζόμαστε ότι το επίπεδο των μιγαδικών αριθμών z αποτελείται από δυο φύλλα, το ένα πάνω στο άλλο. Κόβουμε τα δυο φύλλα κατά μήκος του η ημιάξονα Οx και ενώνουμε την κάτω τομή του (από πάνω) φύλλου με την άνω τομή του (από κάτω) φύλλου.
Και το «δύσκολο» – ενώνουμε και τις δυο τομές που απέμειναν μεταξύ τους. Έτσι αν αρχίσουμε να εκτελούμε κύκλους γύρω από την αρχή των αξόνων, ξεκινώντας από το κάτω φύλλο, μετά από μια πλήρη περιστροφή περνάμε στο δεύτερο φύλλο και συνεχίζοντας μετά από μια ακόμη πλήρη περιστροφή επιστρέφουμε στο κάτω φύλλο κ.ο.κ.
Αυτά τα δυο φύλλα λέμε ότι σχηματίζουν την επιφάνεια Riemmann της συνάρτησης f(z) = z^{1/2} που βλέπουμε στο σχήμα που ακολουθεί:

Riemann_surface_sqrt

Οι επιφάνειες Riemann έχουν το πλεονέκτημα ότι καθώς τις διαγράφουμε παίρνουμε όλες τις τιμές της πλειότιμης συνάρτησης με συνεχή τρόπο (wikipedia)

Αλλά τι σχέση έχουν όλα αυτά με την ψυχανάλυση και το ασυνείδητο;

Ας πάρουμε μια γεύση διαβάζοντας ένα απόσπασμα από το βιβλίο του ψυχαναλυτή – ψυχιάτρου Jean David Nasio, «Πέντε παραδόσεις πάνω στη θεωρία του Jacques Lacan», εκδόσεις Πατάκη, 2010:
«… Επομένως, εκκινώντας από αυτή την αμφισβήτηση της αναπαράστασης ως διαιρέτη του υποκειμένου, μου φαίνεται δυνατό, αντί να διαιρέσουμε το υποκείμενο οριζόντια, να προσπαθήσουμε να το πολλαπλασιάσουμε κάθετα τόσες φορές όσα και τα σημαίνοντα που συνθέτουν μια αλυσίδα.
Ένα υποκείμενο διαστρωμένο, φυλλώδες εν τέλει. Αυτή η χωρική αντίληψη του υποκειμένου μας προέκυψε χάρη στη θεώρηση μιας κατηγορίας τοπολογικής επιφάνειας του Rienann, η οποία ορίζεται από μια αναλυτική συνάρτηση. Ο Riemann, επιστήμονας και μαθηματικός του 19ου αιώνα, έλυσε με ιδιοφυή τρόπο – στο πεδίο της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής – τη μη κανονική περίπτωση μιας πολύμορφης συνάρτησης. Είναι η περίπτωση – απλά το αναφέρω – μιας μεταβλητής (σχετικής με έναν μιγαδικό αριθμό, παραδείγματος χάρη με την τετραγωνική ρίζα του z) στην οποία αντιστοιχούν περισσότερες από μια συναρτήσεις. Προκειμένου να άρει το εμπόδιο μιας ενοχλητικής ανωμαλίας για άλλους λογισμούς (ακέραιος λογισμός), ο Riemann βγαίνει, σα να λέμε, από το καθαρό πεδίο των αλγεβρικών συναρτήσεων και καταφεύγει στον γεωμετρικό χώρο, και μάλιστα στο φαντασιακό του χώρου. Έτσι, προβαίνει σε έναν πολλαπλασιασμό της μεταβλητής σε τόσες τιμές όσες και οι συναρτήσεις. Αντί λοιπόν να προσπαθήσει να μειώσει τον αριθμό των συναρτήσεων και να ταιριάξει μια συνάρτηση σε μια μεταβλητή, βρίσκει αυτή τη συμφωνία (μεταξύ της συνάρτησης και μεταβλητής) τέμνοντας την τιμή της μεταβλητής. Εν ολίγοις, αντί να μειώσει τις συναρτήσεις, υποδιαιρεί την μεταβλητή. Όμως αυτός ο πολλαπλασιασμός θα έχει, τουλάχιστον στο εγχείρημα του Riemann (αυτό έχει τροποποιηθεί από τότε), ένα χωρικό, τοπολογικό στήριγμα. Ο Riemann υψώνει ένα οικοδόμημα που συντίθεται από φύλλα που επικαλύπτονται, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε μια τιμή και το σύνολο των οποίων καλύπτει9 το πεδίο των μιγαδικών αριθμών. Ο αριθμός των ορόφων ή φύλλων μπορεί σύμφωνα με το είδος της επιφάνειας, να φτάσει στο άπειρο. Ακριβώς αυτή τη δομή ονομάζουμε επιφάνεια επικάλυψης ή επιφάνεια Riemann….»arcsin1
Η επεξήγηση συμπληρώνεται με το παραπάνω σχήμα, που περιγράφεται ως:
«Επιφάνεια του Riemann της καμπύλης αναλυτικής συνάρτησης ημίτονο (; – μάλλον τόξο ημιτόνου [sin−1(z)] θέλει να πει!). Μεταξύ των διαφορετικών επιφανειών του Riemann, αυτή – με τον άπειρο αριθμό των προστιθέμενων φυλλωμάτων – απεικονίζει με τον καλύτερο τρόπο τη θέση μας ενός φυλλώδους υποκειμένου του ασυνείδητου».

Να λοιπόν μια περιγραφή των επιφανειών Riemann, εκεί που ίσως κανείς δεν θα περίμενε, μέσα σ’ ένα εγχειρίδιο ψυχανάλυσης. Pas mal!