Πόσο χρόνο μπορεί να σταθεί στη μύτη του ένα μολύβι;

Posted on 08/06/2014

0


ένα μολύβι στην θέση ασταθούς ισορροπίας

Μολύβι σε θέση ασταθούς ισορροπίας

Κάποιοι ισχυρίζονται ότι ένα μολύβι δεν μπορεί να ισορροπήσει κατακόρυφα στηριζόμενο στην λεπτή μύτη του, εξαιτίας της μακροσκοπικής εκδήλωσης κβαντομηχανικών φαινομένων.

Και για την πλήρη κατανόηση του φαινομένου προτείνουν την μελέτη του … ως άσκηση φυσικής, π.χ. βλέπε Balancing a pencil: ΕΔΩ.

Έστω ότι το μολύβι, του οποίου η μάζα m είναι συγκεντρωμένη στο πάνω άκρο αβαρούς ράβδου μήκους ℓ, τοποθετείται κατακόρυφα με τη μύτη στο οριζόντιο επίπεδο. Όταν το μολύβι σχηματίζει μια μικρή γωνία θ με την κατακόρυφη διεύθυνση, ασκείται στη μάζα m δύναμη

F=mg \sin\theta \approx mg\theta

που θα επιταχύνει την πτώση του μολυβιού σύμφωνα με την εξίσωση:

mg\theta= m \ell \ddot{\theta}

pencil1Η λύση της τελευταίας εξίσωσης θα δώσει

\theta(t) \approx \frac{1}{2} (\Delta \theta + \Delta \omega \sqrt{\frac{\ell}{g}})e^{\sqrt{\frac{g}{\ell}}t}   (1)

όπου Δθ και Δω οι αρχικές συνθήκες, η αρχική απόκλιση από την κατακόρυφη διεύθυνση και η αρχική γωνιακή ταχύτητα της μάζας m. Η παραπάνω ανάλυση χρησιμοποιεί κλασική φυσική.

Η κβαντομηχανική υπεισέρχεται με την αρχή της αβεβαιότητας, σύμφωνα με την οποία οι αβεβαιότητες θέσης και ορμής πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση:

\Delta p \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}

ή δεδομένου ότι Δx= ℓ Δθ και Δp=m Δω ℓ,

m \Delta \omega \, \ell^{2} \Delta \theta \geq \frac{\hbar}{2}              (2)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1) και (2) … μετά από μια όχι και τόσο πειστική ανάλυση (βλέπε ΕΔΩ) … για ℓ=0,1m, g=10m/s2 και m=0,01kg προκύπτει ότι το μολύβι δεν μπορεί να σταθεί στην κατακόρυφη θέση πάνω από 3,5 δευτερόλεπτα!

(επιχειρήματα εναντίον αυτής της προσέγγισης μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ: Τhe quantum mechanical tipping pencil—a caution for physics teachers).

Με λίγα λόγια, σύμφωνα με την κβαντομηχανική όσο κι αν προσπαθήσουμε είναι αδύνατο να ισορροπήσουμε κατακόρυφα ένα μολύβι, που στηρίζεται στη μύτη του, για χρονικό διάστημα μεγαλύτερο των 4 δευτερολέπτων.

Είναι απαραίτητη η κβαντομηχανική για να καταλήξει κανείς στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα;

Όχι σύμφωνα με τον Peter Lynch [The Not-so-simple Pendulum: Balancing a Pencil on its Point], που χρησιμοποιεί μόνο κλασική φυσική για να πάρει ίδιας τάξης μεγέθους αποτέλεσμα.

Ο Lynch θεωρεί ότι το μολύβι ισοδυναμεί με ανεστραμμένο απλό εκκρεμές, με μια μάζα m στο άκρο της αβαρούς ράβδου μήκους ℓ=0,1m, που σχηματίζει γωνία 180o (ή π rad) με την κατακόρυφη διεύθυνση. Η περίοδος του εκκρεμούς εξαρτάται από την γωνία απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του. Και στην περίπτωση του ανεστραμμένου εκκρεμούς η γωνία αυτή είναι π rad.

Έστω λοιπόν ότι καταφέραμε να ισορροπήσουμε στη θέση αυτή το εκκρεμές (ή ισοδύναμα το μολύβι να ισορροπεί κατακόρυφα στη μύτη του). Η παραμικρή διαταραχή θα εκτρέψει το εκκρεμές από αυτή τη θέση της ασταθούς ισορροπίας.

Η εξίσωση που δίνει την περίοδο του απλού εκκρεμούς συναρτήσει της γωνίας εκτροπής  θαπό την κατώτερη θέση της ευσταθούς ισορροπίας είναι:

T=4 \sqrt{\ell/g} \, K(k^{2})

όπου

k=\sin \frac{\theta_{0}}{2}

και

K(k^{2})=\int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}u}}

είναι ένα πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους.

Για αρχική γωνία εκτροπής από την κατώτερη θέση ισορροπίας θ0 = π rad, ο χρόνος που απαιτείται για να επιστρέψει το εκκρεμές στην αρχική του θέση είναι:

T/4 = \sqrt{\ell/g}K(k^{2}) = \infty

Δηλαδή δεν επιστρέφει ποτέ, αφού βρίσκεται ακριβώς στη θέση ασταθούς ισορροπίας.

Όμως η θέση αυτή είναι δύσκολο να επιτευχθεί. Ακόμη και για μια απειροελάχιστη απόσταση από τη θέση ασταθούς ισορροπίας το μολύβι εκτρέπεται προς τα κάτω.

Θεωρώντας αυτή την απειροελάχιστη απόσταση όσο το μέγεθος ενός ατόμου (!), τότε η γωνία εκτροπής από την κατώτερη θέση της ευσταθούς ισορροπίας είναι:

θ0 = π – 10-11 rad, και προκύπτει ότι το μολύβι επιστρέφει στο οριζόντιο επίπεδο σε χρόνο T/4 = 0.1K(k^{2}) = 2,74 s

(ο Lynch με προσεγγιστικούς τύπους βρίσκει 2.51 s)

Έτσι, χρησιμοποιώντας μόνο κλασική φυσική, για μια απόκλιση της τάξης μεγέθους ενός ατόμου από τη θέση ασταθούς ισορροπίας, χωρίς τους κβαντικούς περιορισμούς στην θέση και την ορμή, προκύπτει ότι το μολύβι επιστρέφει στο έδαφος μετά από χρόνο μερικών δευτερολέπτων. Όπως και στην περίπτωση που χρησιμοποιήθηκε η αρχή της αβεβαιότητας….

Τελικά, το ότι υπάρχει ένα όριο μερικών δευτερολέπτων στην κατακόρυφη ισορροπία ενός μολυβιού με την μύτη του, εξαιτίας της μακροσκοπικής εκδήλωσης κβαντικών φαινομένων, αποτελεί έναν μύθο της φυσικής που μάλλον διατηρείται διαμέσου των ασκήσεων που δίνονται στους φοιτητές.

Διαβάστε περισσότερα: http://arxiv.org/abs/1406.1125 – http://iopscience.iop.org/0143-0807/28/6/007