To λάθος του Έντγκαρ Άλαν Πόε …

Posted on 20/09/2013

6


… ή όταν το μήκος ενός εκκρεμούς αυξάνεται κατά την διάρκεια των ταλαντώσεών του

Όσα περιγράφονται παρακάτω θα μπορούσαν να είναι η συνέχεια της παλαιότερης ανάρτησης «Το εκκρεμές του τρόμου«,  που αναφέρεται στο διήγημα του Αμερικανού συγγραφέα Edgar Allan Poe με τίτλο «Το πηγάδι και το εκκρεμές».

Στην ιστορία αυτή ο πρωταγωνιστής ενώ βρίσκεται δεμένος σε ένα κρεβάτι, από πάνω του ταλαντώνεται ένα μεγάλο εκκρεμές. Στο κάτω άκρο του εκκρεμούς υπάρχει μια αιχμηρή μεταλλική λεπίδα, που σιγά – σιγά κατεβαίνει πλησιάζοντας το ανήμπορο θύμα.
Η φονική λεπίδα πλησιάζει όλο και περισσότερο τον πρωταγωνιστή και καθώς το μήκος του εκκρεμούς αυξάνεται, το πλάτος και η ταχύτητα των ταλαντώσεων συνεχώς αυξάνονται.

Pit and the Pendulum 15

Άραγε, όταν το μήκος ενός απλού εκκρεμούς αυξάνεται, τότε αυξάνεται και το πλάτος των ταλαντώσεών του, όπως συμβαίνει με το εκκρεμές του Poe;

Σ’ αυτό το ερώτημα θα απαντήσουμε στη συνέχεια αναλυτικά.pendulum3

Καταρχήν ας βρούμε την διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση ενός απλού εκκρεμούς, με σταθερό μήκος, χρησιμοποιώντας (έτσι για … να σπάσουμε τη μονοτονία) την Λαγκρανζιανή του συστήματος (Kινητική ενέργεια μείον Δυναμική ενέργεια):

L = T-V = \frac{1}{2} m v^2 - m g \ell (1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} m \ell^{2} \dot{\theta}^2 - m g \ell (1 - \cos \theta)

Από την εξίσωση Lagrange

\frac{d}{dt} ( \partial L / \partial \dot{\theta} ) - \partial L / \partial \theta = 0

προκύπτει η διαφορική εξίσωση

\ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell} \sin \theta(t) = 0

Η εξίσωση αυτή, παρότι περιγράφει την κίνηση ενός απλού εκκρεμούς (χωρίς τριβές) δεν είναι και τόσο εύκολο να λυθεί. Μόνο στην περίπτωση που θεωρήσουμε ταλαντώσεις με πολύ μικρές γωνίες \sin \theta \sim \theta τότε προκύπτει η διαφορική εξίσωση του απλού αρμονικού ταλαντωτή:

\ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell} \theta(t) = 0 με τον γνωστό τύπο περιόδου T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

Στην περίπτωση που προβληματίζεστε για το ποια είναι η μορφή της ακριβούς λύσης του απλού εκκρεμούς δείτε στην παράγραφο 8.3.4 (σελίδες 213 και 214) στο ένθετο που ακολουθεί (ενώ για το πως προκύπτει ο ακριβής τύπος που δίνει την περίοδο δείτε από την σελίδα 166 και μετά):

Mελετώντας κανείς το πρόβλημα του εκκρεμούς του Έντγκαρ Άλαν Πόε θα μπορούσε να σκεφτεί ως εξής:
Η διαφορική εξίσωση της κίνησης του εκκρεμούς είναι \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell} \sin \theta(t) = 0
Εφόσον το μήκος του εκκρεμούς \ell = \ell(t)  αυξάνεται αργά συναρτήσει του χρόνου, η εξίσωση που περιγράφει την κίνηση γίνεται ακόμη πιο δύσκολη

\ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell(t)} \sin \theta(t) = 0

Για να πάρουμε μια ιδέα του πως εξελίσσεται η ταλάντωση καθώς αυξάνεται το μήκος, θεωρούμε ένα εύλογο αριθμητικό παράδειγμα θέτοντας: \ell(t)=0,1 t + 10 (και g=10 )
Έτσι προκύπτει
\ddot{\theta}(t) + \frac{10}{0,1 t + 10} \sin \theta(t) = 0
Η τελευταία εξίσωση επιλύεται αριθμητικά χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Mathematica, και η λύση της συμφωνεί σίγουρα  με αυτό που περιγράφει η ιστορία του Poe.
Το γωνιακό πλάτος των ταλαντώσεων αυξάνεται καθώς αυξάνεται το μήκος του εκκρεμούς:

pendulum_poe1

Γραφική παράσταση της αριθμητικής λύσης που δίνει το πρόγραμμα Mathematica

Κι όμως η παραπάνω προσέγγιση είναι εντελώς λανθασμένη! 

Είχε κάνει το ίδιο λάθος και ο Poe; (Ο Poe μάλλον δεν αναφέρεται στο γωνιακό πλάτος των ταλαντώσεων, αλλά στο πλάτος του μήκους τόξου που διαγράφει το εκκρεμές.
Το δεύτερο υπολογίζεται από την εξίσωση s = \theta \ell , και ενώ το μήκος του εκκρεμούς αυξάνεται, η γωνία των ταλαντώσεων, όπως θα δείξουμε στη συνέχεια, μειώνεται).

Το λάθος οφείλεται στην λάθος κατάστρωση της διαφορικής εξίσωση της κίνησης.

Όταν μεταβάλλεται και το μήκος του εκκρεμούς, τότε, δεδομένου ότι τώρα θα υπάρχει και μια ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας
v(t) = \sqrt{v^{2}_r + v_{\theta}^2} = \sqrt{\dot{\ell}^{2}(t) + \dot{\theta}^{2}(t) \ell^{2}(t)} , η Λαγκαρανζιανή του συστήματος γίνεται:

L = T-V = \frac{1}{2} m \dot{\ell}^2 + \frac{1}{2} m \ell^{2} \dot{\theta}^2 - m g \ell (1 - \cos \theta)

και η εξίσωση Lagrange δίνει

\frac{d}{dt} ( \partial L / \partial \dot{\theta} ) - \partial L / \partial \theta = 0 \Rightarrow \ell(t) \ddot{\theta}(t) + 2 \dot{\ell}(t) \dot{\theta}(t) + g \sin \theta(t) = 0

Θεωρώντας όπως και πριν: \ell(t)=0,1 t + 10 και g=10 , παίρνουμε τελικά

(0,1 t + 10) \ddot{\theta} + 0,2 \dot{\theta} + 10 \sin \theta = 0

H λύση \theta = \theta(t) (με χρήση του Mathematica) φαίνεται στο επόμενο διάγραμμα:

pendulum_Poe

Η απομάκρυνση θ=θ(t) συναρτήσει του χρόνου

Στο επόμενο διάγραμμα βλέπουμε την γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου, \omega = \dot{\theta} = \dot{\theta}(t)

pendulum_omega_Poe

Η γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου

Tα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι καθώς το μήκος του εκκρεμούς αυξάνεται, το γωνιακό πλάτος των ταλαντώσεων μικραίνει, όπως επίσης και το πλάτος της γωνιακής ταχύτητας. Επιπλέον η περίοδος των ταλαντώσεων αυξάνεται.

Τα παραπάνω εξετάζονται επίσης και στην εργασία με τίτλο «Radial Forcing and Edgar Allan Poe’s Lengthening Pendulum» των Matthew McMillan, David Blasing και Heather M. Whitney. Στην εργασία αυτή υπολογίζεται η λύση \theta = \theta(t) , που βλέπουμε στο επόμενο σχήμα , χρησιμοποιώντας το MATLAB (ταυτόσημο με το παραπάνω διάγραμμα του mathematica)
pendulum2
Το επόμενο σχήμα δείχνει την τροχιά του εκκρεμούς (καθώς αυξάνεται το μήκος του)
pendulum_poe
H τροχιά δεν συμφωνεί με τον δραματικό τρόπο που περιγράφεται το φαινόμενο στην ιστορία του Έντγκαρ Άλαν Πόε και στη συνέχεια της εργασίας τους οι συγγραφείς προσπαθούν να εξηγήσουν την κίνηση του εκκρεμούς με κάποιου είδους εξαναγκασμένης ταλάντωση…

Μπορεί οι παραπάνω προβληματισμοί για το εκκρεμές του Poe να προσφέρονται κυρίως για «φιλολογικού» τύπου συζητήσεις σαλονιών,
αποτελούν όμως και μια πρώτης τάξης ευκαιρία για εξάσκηση στην απλή φυσική. Και αυτός ήταν ο σκοπός της παρούσας ανάρτησης.