Aπό την εξίσωση του αρμονικού κύματος στην εξίσωση Dirac

Posted on 21/02/2013

2


Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation.svg1. Η εξίσωση του αρμονικού κύματος

Η εξίσωση του αρμονικού κύματος σε μια διάσταση (πασίγνωστη σε μαθητές Λυκείου) είναι
y=A \sin 2 \pi(\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T})
ή
y=A \cos 2 \pi(\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T})
Δεδομένου ότι k=\frac{2\pi}{\lambda} και \omega=\frac{2\pi}{T} έχουμε:
y=A \sin(kx-\omega t)= A \sin\theta ή y=Acos(kx-\omega t)= Acos\theta
Eφόσον e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta
η εξίσωση του αρμονικού κύματος μπορεί να γραφεί και ως
y=Ae^{i(kx-\omega t)}
Παραγωγίζοντας την παραπάνω εξίσωση δυο φορές ως προς x και δυο φορές ως προς το χρόνο προκύπτει αντίστοιχα:
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=k^2 \psi
και
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=\omega^2 \psi
Διαιρώντας κατά μέλη τις δυο τελευταίες εξισώσεις και χρησιμοποιώντας την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής c=\lambda f = \frac{\omega}{k}
παίρνουμε την κυματική εξίσωση:
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}

2. Ο κυματοσωματιδιακός δυϊσμος του de Broglie

Αν η εξίσωση της ενέργειας ενός φωτονίου E=hf=\frac{hc}{\lambda} συνδυαστεί με την εξίσωση ισοδυναμίας μάζας – ενέργειας E=mc^2 προκύπτει για το μήκος κύματος του φωτονίου
\lambda=\frac{h}{mc}=\frac{h}{p}
όπου p=mc η ορμή του φωτονίου.
Ο de Broglie επέκτεινε τη σχέση μήκους κύματος – ορμής και στα σωματίδια, θεωρώντας την κίνηση σωματιδίου ισοδύναμη με “κύμα” μήκους κύματος \lambda=\frac{h}{p} οπότε p=\frac{h}{\frac{2\pi}{k}} \Rightarrow p=\hbar k \Rightarrow k=\frac{p}{\hbar}
και συχνότητας f=\frac{E}{h}
οπότε E=\frac{h\omega}{2\pi} \Rightarrow E=\hbar \omega \Rightarrow \omega=\frac{E}{\hbar}
Έτσι η εξίσωση που θα περιγράφει το κύμα ενός ελεύθερου σωματιδίου μπορεί να προκύψει από την εξίσωση του αρμονικού κύματος
y\thicksim e^{i(kx-\omega t)}
Θέτοντας k=\frac{p}{\hbar} και \omega=\frac{E}{\hbar} παίρνουμε
y\thicksim e^{\frac{i(px-Et)}{\hbar}}

3. Η εξίσωση Schrödinger

Aντικαθιστώντας την εξίσωση του αρμονικού κύματος y=Ae^{i(kx-\omega t)} στην κλασική κυματική εξίσωση, \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} αναπαράγεται η σχέση κυκλικής συχνότητας – κυματαριθμού: c=\lambda f = \frac{\omega}{k}
H εξίσωση (Schrödinger) που θα ικανοποιείται από την έκφραση y\thicksim e^{\frac{i(px-Et)}{\hbar}}
θα πρέπει αντίστοιχα να αναπαράγει τη σχέση ενέργειας – ορμής του ελεύθερου σωματιδίου: E=\frac{p^2}{2m}
Δοκιμάζουμε τις παρακάτω παραγωγίσεις:
\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}Ey \Rightarrow -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial y}{\partial t} = Ey \Rightarrow i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = Ey
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar}y \Rightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -\frac{p^2}{\hbar^2}y \Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -\frac{p^2}{2m}y
Συνεπώς η εξίσωση Schrödinger που αναπαράγει τη σχέση ενέργειας – ορμής είναι:
i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ιδωθεί σε τελεστική μορφή ως:
\widehat{E}y = \frac{\widehat{p}^2}{2m}y
όπου \widehat{E} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial t} και \widehat{p} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \Rightarrow \widehat{p}^2 \equiv -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}
Θεωρώντας σύστημα μονάδων με \hbar=c=1 η εξίσωση Schrödinger γράφεται:
i \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{1}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

4. H χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger

H μόνη γενική μέθοδος ακριβούς λύσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι ο χωρισμός των μεταβλητών. Για παράδειγμα η κυματική εξίσωση
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}
επιλύεται θεωρώντας ότι: y(x,t)=X(x)T(t)
Αντικαθιστώντας στην κυματική εξίσωση , μετά από απλές πράξεις έχουμε
\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}\frac{\ddot{T}}{T}=-\lambda
με λ>0.
Έτσι προκύπτουν οι X''(x)+\lambda X(x) =0 και \ddot{T}(t)+\lambda T(t) =0
Mε παρόμοιο τρόπο γίνεται ο χωρισμός μεταβλητών στην εξίσωση Schrödinger i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
Γράφουμε
y(x,t)=\psi(x)T(t)
οπότε
\frac{\partial y}{\partial t}= \psi(x) \dot{T}(t) , \frac{\partial y}{\partial x}= \psi'(x) T(t) και \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}= \psi''(x) T(t)
Αντικαθιστώντας στην εξ. Schrödinger παίρνουμε
i\hbar \frac{\dot{T}}{T}=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\psi''}{\psi}=E
όπου Ε μια θετική σταθερά.
Έτσι
i\hbar \frac{\dot{T}}{T}=E \Rightarrow T(t)=e^{-\frac{iEt}{\hbar}}
και
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\psi''}{\psi}=E \Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} = E\psi(x)
H τελευταία εξίσωση είναι η χρονοανεξάρτητη εξ. Schrödinger και μπορεί να γραφεί σε τελεστική μορφή ως
\widehat{H} \psi(x) =E\psi(x) όπου \widehat{H}\equiv -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}
Eπίσης θα ισχύει:
y(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iEt}{\hbar}}

5. H εξίσωση Klein – Gordon

Θέλουμε να αντικαταστήσουμε την εξίσωση Schrödinger με μια εξίσωση που θα αναπαράγει τη σχέση ενέργειας – ορμής του ελεύθερου σωματιδίου σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας: E=\sqrt{c^2p^2 + m^2c^4}
H εξ. Schrödinger σε τελεστική μορφή γράφεται ως:
\widehat{E}y = \frac{\widehat{p}^2}{2m}y
όπου \widehat{E} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial t} και \widehat{p}^2 \equiv -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}
H τετραγωνική ρίζα στην εξίσωση ενέργειας – ορμής της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας δυσκολεύει τα πράγματα. Αν όμως γραφεί ως
E^2=c^2p^2 + m^2c^4
μπορεί να μας οδηγήσει εύκολα σε μια εξίσωση με τελεστική μορφή:
\widehat{E}^2 y = (c^2 \widehat{p}^2 + m^2c^4)y
και χρησιμοποιώντας τις διαφορικές εκφράσεις των τελεστών παίρνουμε την εξ. Klein-Gordon:
-\hbar^2 \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -c^2 \hbar^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + m^2c^4 y
Θεωρώντας σύστημα μονάδων \hbar=c=1
-\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + m^2 y
Η λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι η επιθυμητή, δηλαδή
y\thicksim e^{i(px-Et)}
και αναπαράγει την σχετικιστική σχέση ενέργειας – ορμής E^2=c^2p^2 + m^2c^4
Εκτός των άλλων, το κυρίως πρόβλημα της εξ. Klein-Gordon είναι ότι είναι 2ης τάξης ως προς το χρόνο. Έτσι, για να επιλυθεί χρειάζονται οι αρχικές συνθήκες y(t=0) και της πρώτης παραγώγου y'(t=0).
Δίνει επίσης στάσιμες λύσεις πχ y(x,t) =\psi(x) \cos(Et) , που για κάποιες χρονικές στιγμές πρέπει να είναι παντού y(x,t)=0.

6. H εξίσωση Dirac

Το ζητούμενο είναι από τη σχέση E=\sqrt{c^2p^2 + m^2c^4} ή στο απλοποιημένο σύστημα μονάδων E=\sqrt{p^2 + m^2}
να προκύψει μια τελεστική εξίσωση χωρίς να υψώσουμε στο τετράγωνο, όπως στην εξ. Klein-Gordon. Η εξίσωση Dirac είναι μια εξίσωση πρώτης τάξης ως προς το χρόνο
i\frac{\partial y}{\partial t} = \widehat{H}y
με
\widehat{H}=\sqrt{\widehat{p}^2+m^2}=\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}
Μόνο που εδώ ο τελεστής \widehat{H} δεν έχει νόημα. Μπορούμε όμως να τον αναζητήσουμε απαιτώντας:
\widehat{H}^2=\widehat{p}^2+m^2
ψάχνοντας δηλαδή μια έκφραση για την “τετραγωνική ρίζα” ενός τελεστή!…

συνεχίζεται …….