H εξίσωση DIRAC

Posted on 26/06/2011

1


Ένας σοβαρός περιορισμός της εξίσωσης Schrödinger έγκειται στο γεγονός στο ότι δεν είναι συμβατή με τη σχετικότητα. Το πρόβλημα αυτό ήρθε να το λύσει η εξίσωση Dirac, η οποία ενοποιεί τις έννοιες της κβαντικής μηχανικής και της ειδικής σχετικότητας, περιγράφοντας τις ιδιότητες σωματιδίων όπως τα ηλεκτρόνια, τα πρωτόνια, τα νετρίνα και τα κουάρκ.
Η ανάλυση της εν λόγω εξίσωσης αφενός εξήγησε κομψά μερικές από τις ιδιόμορφες ιδιότητες των σωματιδίων (όπως το σπιν), αφετέρου προσέφερε στέρεα βάση στη λεγόμενη απαγορευτική αρχή του Pauli, η οποία είναι απαραίτητη για την εξήγηση της ατομικής δομής και του περιοδικού πίνακα. Και το τελευταίο αλλά όχι ήσσονος σημασίας, η εξίσωση προέβλεπε την ύπαρξη αντιύλης: το γεγονός ότι για οποιοδήποτε «είδος» σωματιδίων υπάρχει ένα συναφές είδος με τις ακριβώς αντίθετες ιδιότητες (όπως το φορτίο) αλλά με την ίδια μάζα.

Παρά τις τρομερές της επιτυχίες, η εξίσωση Schrödinger έπασχε από ένα σοβαρό μειονέκτημα: δεν ήταν συμβατή με την ειδική σχετικότητα. Αυτό συνάγεται εύκολα από το γεγονός ότι η εξίσωση δεν περιλαμβάνει τη χωρική και τη χρονική μεταβλητή, x και t, επί ίσοις όροις: περιέχει μια πρώτη παράγωγο ως προς το χρόνο αλλά δεύτερες παραγώγους ως προς τις χωρικές συντεταγμένες…….
Ο Dirac έλυσε το συγκεκριμένο πρόβλημα με την εξίσωση που φέρει το όνομά του.
Η εξίσωση Dirac έχει πολύ περίπλοκη μαθηματική δομή, η οποία κάπως συγκαλύπτεται από τον συμπυκνωμένο συμβολισμό• έτσι, πρέπει να αφιερώσουμε λίγο χρόνο για να σχολιάσουμε τον χρησιμοποιούμενο συμβολισμό. Υπάρχει ένας δείκτης μ που μπορεί να λαμβάνει τιμές 0, 1, 2 ή 3, δηλώνοντας τη χρονική και τις τρεις χωρικές συνιστώσες, οι οποίες όντως εμφανίζονται επί ίσοις όροις. Τα τέσσερα πεδία Αμ, τα οποία ονομάζονται «ηλεκτρομαγνητικά δυναμικά», περιγράφουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο οποίο κινείται, για παράδειγμα, το ηλεκτρόνιο, ενώ με me συμβολίζεται η μάζα του ηλεκτρονίου. Το πεδίο του ηλεκτρονίου περιγράφεται από μια συνάρτηση Ψ τεσσάρων συνιστωσών. Οι λεγόμενοι «πίνακες γ», γμ, είναι τέσσερις αριθμητικοί πίνακες (διατάξεις 4×4 δεδομένων αριθμών), οι οποίοι πολλαπλασιάζονται κατά έναν επιπλέον δείκτη συνιστωσών στην Ψ για να ελαχιστοποιήσουμε κατά το δυνατόν την περιπλοκότητα του συμβολισμού).
Η ανάλυση της εξίσωσης αποκάλυψε το νόημα των τεσσάρων συνιστωσών του πεδίου Dirac. Σε αυτό περιλαμβάνεται η περιγραφή της κάπως μυστηριώδους ιδιότητας που ονομάζεται σπιν, για την οποία ο πλέον ενδεδειγμένος τρόπος να τη σκεφτόμαστε είναι ως κάποιο εσωτερικό στροφικό βαθμό ελευθερίας Θα μπορούσαμε να πούμε ότι το ηλεκτρόνιο αντιπροσωπεύει το κβαντικό ισοδύναμο μιας μικροσκοπικής περιστρεφόμενης σβούρας, που μπορεί να είναι αριστερόστροφο ή δεξιόστροφο.
Είναι αξιοσημείωτο το ότι η εξίσωση αποδείχτηκε πως δεν περιγράφει μόνο τις δυο καταστάσεις του σπιν του ηλεκτρονίου αλλά και τις δυο καταστάσεις του σπιν ενός άλλου σωματιδίου με την ίδια ακριβώς μάζα και αντίθετο (θετικό) φορτίο. Ως εκ τούτου, το συγκεκριμένο σωματίδιο ονομάστηκε ποζιτρόνιο (ή αντιηλεκτρόνιο). Το πρώτο αυτό παράδειγμα «αντισωματιδίου» το ανακάλυψε πειραματικά ο C. D. Anderson το 1932. Σύντομα έγινε σαφές ότι όλα τα σωματίδια στη Φύση έχουν τα αντισωματίδιά τους, με ακριβώς αντίθετες ιδιότητες – κατά τρόπο ώστε, όταν συναντώνται ένα σωματίδιο και ένα αντισωματίδιο, τα μέλη του ζεύγους να εξαφανίζονται (να εξαϋλώνονται) μετατρεπόμενα σε καθαρή ενέργεια υπό τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας – μια δραματική περίπτωση εφαρμογής της εξίσωσης Ε=mc2. Λόγω των ιδιόμορφων ιδιοτήτων του σπιν, το αντικείμενο Ψ με τις τέσσερις συνιστώσες ονομάζεται σπίνορας αντί διάνυσμα.
Η περαιτέρω ανάλυση της εξίσωσης Dirac οδήγησε και στην εξήγηση της απαγορευτικής αρχής του Pauli. Αυτός ο κανόνας, τον οποίο υπακούουν τα ηλεκτρόνια και όλα τα άλλα σωματίδια που περιγράφονται από εξισώσεις τύπου Dirac, ότι δυο ή περισσότερα τέτοια σωματίδια βρίσκονται στην ίδια ακριβώς κατάσταση. Επρόκειτο για ένα κρίσιμο, αλλά ως τότε ad hoc συστατικό της κβαντικής θεωρίας, απαραίτητο για την εξήγηση του περιοδικού πίνακα των ατόμων. Πράγματι, καθώς τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου αδυνατούν να βρεθούν όλα στην ίδια κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, αναγκάζονται να πληρούν συστηματικά τις ανώτερες ενεργειακές στάθμες, με αποτέλεσμα οι διαφορετικοί τύποι ατόμων να εμφανίζουν εντελώς διαφορετική χημική συμπεριφορά.
ΠΗΓΗ: Sander Bais, «Οι εξισώσεις – εικόνες γνώσεις», εκδόσεις Κάτοπτρο

Ετικέτα: