Αρχική › ΜΗΧΑΝΙΚΗ › Ένα πρόβλημα φυσικής για την παραλία

Ένα πρόβλημα φυσικής για την παραλία

By on • ( 10 )

Ένας κατακόρυφος αγώνας ανόδου-καθόδου, με ή χωρίς αντίσταση του αέρα

Πετάμε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω και η μπάλα επιστρέφει στο σημείο εκτόξευσης. Αν Τ είναι ο συνολικός χρόνος κίνησης όταν δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα και Τ’ ο αντίστοιχος χρόνος όταν υπάρχει αντίσταση του αέρα ανάλογη της ταχύτητας (F=-bυ), τότε ισχύει:
(α) Τ<Τ’ (β) Τ =Τ’ (γ) Τ>Τ’

το πρόβλημα τέθηκε ΕΔΩ: https://ylikonet.gr/2025/07/24/%cf%86%cf%85%cf%83%ce%b9%ce%ba%ce%ae-%cf%83%cf%84%ce%b9%cf%82-%ce%b4%ce%b9%ce%b1%ce%ba%ce%bf%cf%80%ce%ad%cf%82/

απάντηση: =========================
==================================
==================================
Θεωρούμε δύο πανομοιότυπα σώματα μάζας που εκτοξεύονται κατακόρυφα προς τα πάνω από το ίδιο σημείο και με την ίδια αρχική ταχύτητα. Το ένα δέχεται δύναμη αντίστασης του αέρα ανάλογη της ταχύτητας: F=-b \, v , ενώ το άλλο δέχεται μόνο την δύναμη του βάρους B=m \, g. Η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ0 των σωμάτων και στις δυο περιπτώσεις θεωρείται αρκετά μικρή ώστε η ένταση του βαρυτικού πεδίου κοντά στην επιφάνεια της Γης g να μπορεί να θεωρηθεί σταθερή.

Μπορεί το σώμα που κινείται χωρίς την αντίσταση του αέρα να κινείται γρηγορότερα σε σχέση με το σώμα που κινείται στον αέρα, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι το κερδίζει τον αγώνα γιατί φτάνει σε υψηλότερο μέγιστο ύψος. Έτσι δεν είναι και τόσο τετριμμένο το να καταλάβουμε διαισθητικά – ειδικά αν βρισκόμαστε στην παραλία – ποιο σώμα θα κερδίσει, δηλαδή θα επιστρέψει γρηγοροτερα στο σημείο εκτόξευσής του.

Η εξίσωση κίνησης του σώματος που υφίσταται την δύναμη αντίστασης του αέρα θα είναι, m\dfrac{dv}{dt}=-mg-b \,v. Θεωρούμε θετική φορά προς τα πάνω. Αν θέσουμε \lambda = \dfrac{b}{m} και v=\dfrac{dy}{dt}, παίρνουμε: \dfrac{dv}{dt}=-g - \lambda \dfrac{dy}{dt}. Ολοκληρώνοντας για τον συνολικό χρόνο κίνησης Τ’ από την εκτόξευση μέχρι την επιστροφή στην αρχική θέση, παίρνουμε: v_{\tau}-v_{0}= -gT'- \lambda (y_{\tau} -y_{0}). Δεδομένου ότι η μπάλα επιστρέφει στη αρχική της θέση, η απόσταση που διανύει κατά την άνοδο ταυτίζεται με την απόσταση που διανύει κατά την κάθοδο, ώστε y_{\tau} =y_{0}, οπότε: v_{\tau}-v_{0}= -gT' και o συνολικός χρόνος κίνησης θα δίνεται από την σχέση: T'=\dfrac{v_{0}-v_{\tau}}{g}. Γράφουμε την τελική ταχύτητα που έχει αντίθετη φορά προς την καθορισθείσα θετική φορά ως: v_{\tau}=-|v_{\tau}|, οπότε: T'=\dfrac{v_{0}+|v_{\tau}|}{g}. Προφανώς από την αρχή διατήρησης της ενέργειας ισχύει: |v_{\tau}|<v_{0}. Όταν δεν έχουμε αντίσταση του αέρα (b=0), το σώμα επιστρέφει με την ίδια ταχύτητα στην αρχική του θέση, δηλαδή |v_{\tau}|=v_{0}. οπότε ο συνολικός χρόνος κίνησης θα είναι T=\dfrac{2v_{0}}{g}>T'=\dfrac{v_{0}+|v_{\tau}|}{g}. Άρα σωστή απάντηση είναι η (γ).

διαβάστε σχετικά:
1. «A vertical race up and back down with and without drag» , Carl E. Mungan,Seth T. Rittenhouse, Trevor C. Lipscombe –https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/89/1/67/1045747/A-vertical-race-up-and-back-down-with-and-without?redirectedFrom=fulltext
2. Για την σύγκριση του χρόνου ανόδου με τον χρόνο καθόδου στην κατακόρυφη βολή προς τα πάνω με αντίσταση του αέρα, δείτε την απάντηση της ερώτησης 9 στο ‘τεστ φυσικής για την παραλία‘.

‹
›

Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: ,

10 replies

  1. Jorge's avatar
    Jorge
    25/07/2025 • 1:02 πμ

    Καλό!
    Καλύτερο είναι τι ακριβώς είναι η αντίσταση του αέρα, τριβή ή συμπίεση;

    Reply ↓
    • George Metaxas's avatar
      George Metaxas
      25/07/2025 • 3:28 μμ

      Προφανώς η ερώτηση αναφέρεται στο τι προκαλεί την αντίσταση του αέρα. Κατά την άποψή μου, στις μικρές-μεσαίες ταχύτητες είναι η διάτμηση (τριβή) του οριακού στρώματος του αέρα επάνω στο σώμα, καθώς και οι δυνάμεις που προκύπτουν για τη δημιουργία στροβίλων πίσω του. Στις πολύ μεγάλες ταχύτητες είναι κυρίως δυνάμεις για την αδιαβατική συμπίεση και θέρμανση του αέρα, εμπρός από το αντικείμενο.

      Reply ↓
  2. George Metaxas's avatar
    George Metaxas
    25/07/2025 • 8:09 μμ

    Μία παραλλαγή του προβλήματος θα ήταν το ερώτημα: εάν κάποιος πυροβολούσε απόλυτα κατακόρυφα, θα κινδύνευε να τραυματιστεί από το βλήμα στην επιστροφή του, αν αμελήσουμε οποιαδήποτε επίδραση αέρα;

    Η απάντηση που προτείνω είναι όχι, επειδή η διάρκεια που το βλήμα βρίσκεται στον αέρα είναι αρκετή, ώστε τα αδρανειακά φαινόμενα να εκτρέψουν το βλήμα αρκετά για να μην τον χτυπήσει. Θα μπορούσαμε να φανταστούμε ότι το άτομο βρίσκεται σε κάποιο σημείο ενός γιγάντιου δίσκου που γυρίζει, οπότε το βλήμα βγαίνοντας κατακόρυφα από την κάνη ακολουθεί ταυτόχρονα και εφαπτομενική πορεία της περιστροφής στο σημείο εκείνο, οπότε επιστρέφει μακρύτερα από το αρχικό σημείο σε σχέση με το κέντρο περιστροφής. Η εξαίρεση είναι αν το σημείο βρίσκεται ακριβώς στον πόλο.

    Reply ↓
  3. Γιάννης's avatar
    Γιάννης
    26/07/2025 • 4:19 μμ

    Μπορεί να βρεθεί μια σχέση που να δίνει το συνολικό χρόνο Τ’;

    Reply ↓

Αφήστε απάντηση στον/στην George Metaxas Ακύρωση απάντησης

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.