Αρχική › ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ › Κινηματικές εξισώσεις από την σειρά Taylor

Κινηματικές εξισώσεις από την σειρά Taylor

By on • ( 0 )

Χρησιμοποιώντας την σειρά Taylor,
f(x)=f(x_{0})+\dfrac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\dfrac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+ \dots +\dfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+ \cdots
θέτοντας x \rightarrow t και f(x) \rightarrow x(t), προκύπτει ότι η εξίσωση της θέσης x(t) ενός κινητού, στην πιο γενική μορφή ευθύγραμμης επιταχυνόμενης κίνησης, είναι:
x(t)=x(0)+\dfrac{x'(0)}{1!}t+\dfrac{x''(0)}{2!}t^{2}+\dfrac{x'''(0)}{3!}t^{3}+ \dots +\dfrac{x^{(n)}(0)}{n!}t^{n}+ \cdots
Εισάγοντας τους συμβολισμούς της αρχικής ταχύτητας υ0, της αρχικής επιτάχυνσης α0 και των μεγεθών «jerk», «snap», «crackle» και «pop» έχουμε:
x(t)=x(0)+v_{0}t+ \dfrac{1}{2}a_{0}t^{2} + \dfrac{1}{3!}j_{0}t^{3} + \dfrac{1}{4!}s_{0}t^{4} + \dfrac{1}{5!}c_{0}t^{5} + \dfrac{1}{6!}p_{0}t^{6} + \cdots
Eίναι φανερό πως όταν η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, δηλαδή x''(0)=a_{0}=a=\sigma \tau a \theta. , τότε για n \geq 3 ισχύει dx^{n}(0)/dt=0 , και προκύπτει η γνωστή μας σχέση: x-x_{0}=v_{0}t+ \frac{1}{2}at^{2}
Χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor μπορούμε να «αποδείξουμε» κι άλλες κινηματικές εξισώσεις και να εξασκηθούμε στις παραγώγους. Για παράδειγμα την εξίσωση: v^{2}=v_{0}^{2} + 2a (x-x_{0})
Αρκεί στη σειρά Taylor να θεωρήσουμε f(x) = v^{2}(x) και \dfrac{d(v^{2})}{dx} = \dfrac{d(v^{2})}{dt} \dfrac{dt}{dx} = 2v \dfrac{dv}{dt} \dfrac{1}{v}=2a.

… δείτε αναλυτικά τις πράξεις ΕΔΩ

‹
›

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: , ,

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.