Αρχική › ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ › Κυκλώματα και μιγαδικοί αριθμοί

Κυκλώματα και μιγαδικοί αριθμοί

By on • ( 5 )

Τα τρία βασικά στοιχεία που εμφανίζονται στα κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος είναι: ο ωμικός αντιστάτης R, ο πυκνωτής χωρητικότητας C και το πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L.
Το καθένα από αυτά τα στοιχεία «δυσκολεύει» με τον δικό του τρόπο τη ροή του εναλλασσομένου ρεύματος, μια δυσκολία που εκφράζεται από την ωμική αντίσταση R των αντιστατών, την χωρητική αντίσταση \dfrac{1}{C \omega} των πυκνωτών και την επαγωγική αντίσταση των πηνίων L \omega, όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος (*)

Μπορούμε να μελετήσουμε πολύπλοκα ηλεκτρικά κυκλώματα εναλλασσομμένου ρεύματος, όπως το κύκλωμα του παραπάνω σχήματος, με διάφορους συνδυασμούς των τριών στοιχείων R, L και C, με το ίδιο τρόπο που θα τα μελετούσαμε αν είχαμε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος με απλούς αντιστάτες. Aρκεί να εφαρμόσουμε την εξής αντιστοιχία όσον αφορά τις «αντιστάσεις» του κυκλώματος: z_{R}=R , z_{L}=i\,L \omega και z_{C}=\dfrac{1}{i\,C \omega}=\dfrac{-i}{C \omega} , όπου i \, (i^{2}=-1) η φανταστική μονάδα:

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τρία παραδείγματα που εμφανίζονται στα σχολικά εγχειρίδια.

Α. Το κλασικό κύκλωμα R-L-C σε σειρά:

Όσον αφορά την συνολική εμπέδηση του κυκλώματος, αφού τα τρία στοιχεία συνδέονται σε σειρά έχουμε: z=z_{R}+z_{L}+z_{C}=R+i \, \left(L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right). Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z μας δίνει την γνωστή μας σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος R-L-C: |z |=\sqrt{R^{2} + \left( L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)^{2}}, απ’ όπου εύκολα προκύπτει η κυκλική συχνότητα \omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} για την οποία η εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται ελάχιστη και το πλάτος του ρεύματος μέγιστο (συντονισμός).

Β. Τα τρία στοιχεία R-L-C συνδέονται παράλληλα:

Εδώ η συνολική εμπέδηση του κυκλώματος θα είναι: \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z_{R}} + \dfrac{1}{z_{L}} + \dfrac{1}{z_{C}} ή σύμφωνα με τις προαναφερθείσες αντιστοιχίες: \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{R} + i \, \left(C \omega - \dfrac{1}{L \omega} \right). Θεωρώντας το μέτρο των μιγαδικών αριθμών παίρνουμε την γνωστή σχέση: \, \, \, \, |z|= \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1}{R^{2}} + \left( L \omega - \dfrac{1}{C \omega} \right)^{2}}}
Στην περίπτωση αυτή όταν η συχνότητα παίρνει την τιμή \omega_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}, η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη και το πλάτος του ρεύματος ελάχιστο.

Γ. Τελευταίο παράδειγμα είναι η παρακάτω παράλληλη σύνδεση:

O αντιστάτης και το πηνίο συνδέονται σε σειρά, οπότε z_{RL}=z_{R}+z_{L}=R+iL \omega. Η συνολική εμπέδηση θα είναι: \dfrac{1}{z}= \dfrac{1}{z_{RL}} + \dfrac{1}{z_{C}}=\dfrac{1}{R+iL \omega} + iC \omega ή \dfrac{1}{z}=\dfrac{R}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} +i \left( C \omega - \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} \right). Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z θα μας δώσει την οικεία σχέση για την εμπέδηση του κυκλώματος: |z|=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{R^{2}}{(R^{2}+L^{2} \omega^{2})^{2}}+ \left(C \omega - \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}} \right)^{2}}}. Παρατηρούμε ότι η ολική εμπέδηση του κυκλώματος γίνεται μέγιστη όταν C \omega = \dfrac{L \omega}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}. Από την σχέση αυτή παίρνουμε την συχνότητα (αντι)συντονισμού για την οποία το πλάτος του ρεύματος γίνεται ελάχιστο ή την απαιτούμενη τιμή της χωρητικότητας για αυτόν τον συντονισμό: C=\dfrac{L}{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}

(*) άσκηση: Εξηγείστε ποιοτικά γιατί σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος: (α) η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι ανάλογη του συντελεστή αυτεπαγωγής του, ενώ η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της χωρητικότητάς του
και (β) γιατί η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι ανάλογη της κυκλικής συχνότητας του εναλλασσομένου ρεύματος, ενώ η χωρητική αντίσταση αντιστρόφως ανάλογη του ω.

‹
›

Κατηγορίες:ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: , ,

5 replies

  1. Βασίλης
    20/12/2022 • 6:37 μμ

    «Αντιστάτης» και «Εμπέδηση»: Δύο νέοι όροι για τους παλιούς. Ξέραμε «Αντίσταση» (με δύο έννοιες, την ωμική και το φυσικό σώμα-φορέα (σύρματος, ή άνθρακος συνήθως). ‘Οσο για την χωρητική και την επαγωγική τις αποκαλούσαμε σύνθετη αντίσταση (αυτό που στην Αγγλική λέγεται impedance) και για τις δύο μορφές. Ασφαλώς και η γλώσσα και η ορολογία εξελίσσονται, αλλά εμάς μας ξενίζουν οι νέοι όροι!

    Reply ↓
    • physicsgg
      21/12/2022 • 9:45 πμ

      εμάς μας ξενίζουν οι συζητήσεις για τις γλωσσικές ταμπέλες (αντιστάτης ή αντίσταση; σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση; κλπ) που δεν έχουν σχέση με την φυσική αλλά με την φιλολογία

      Reply ↓
      • Γιάννης Κυριακόπουλος
        23/12/2022 • 8:12 μμ

        Είναι όμως λογική η αντίδραση του Βασίλη.
        Ονομάζουμε λογικό κάτι που συνήθως ενστερνιζόμαστε και μη λογικό ότι άλλοι ενστερνίζονται.
        Πέραν του ότι είμαστε Φυσικοί είμαστε και άτομα που μιλούν όπως μιλούν και ενδιαφέρονται για τη γλώσσα περισσότερο ή λιγότερο.
        Κάποιοι (σχεδόν) ενοχλούνται όταν αλλάζει κάτι που είχαν συνηθίσει (Γουδί->Γουδί, ασκοί του Αιόλου->ασκός του Αιόλου, αντίσταση-> αντιστάτης). Η τελευταία αλλαγή ίσως οφείλεται και στο ότι επιβλήθηκε να μιλάμε Ελληνικά από μετάφραση.
        Δεν είναι μακριά η μετονομασία των «καταχωρητών» σε «καταχωριστές».

        Reply ↓
        • dockworker
          26/12/2022 • 3:28 μμ

          Ως άτομα που ενδιαφέρεστε για τη λογική, και κατανοείτε τη γλώσσα που γράφουμε και μιλάμε, αλλά κυρίως ως Φυσικοί, μπορείτε να μου εξηγήσετε
          γιατί ένας (άνεργος) Φυσικός ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ να διδάξει σε μαθητές επαγγελματικών λυκείων
          όχι μόνο τα κυκλώματα που αναλύονται στο άρθρο, αλλά και τα παρακάτω κεφάλαια διδακτέας ύλης μαθήματος απλού ηλεκτρομαγνητισμού:
          «Το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο-δομή της ύλης-Αρχή διατήρησης του φορτίου-Νόμος του Κουλόμπ-Ηλεκτρικό Ρεύμα–Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος-Ηλεκτρική τάση–
          Ηλεκτρεγερτική δύναμη-Ηλεκτρική Αντίσταση – Νόμος του Ωμ – Ηλεκτρική Αγωγιμότητα-Κανόνες και επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων-Ηλεκτρική ενέργεια και Ισχύς-Μαγνητισμός – Ηλεκτρομαγνητισμός-Το ηλεκτρικό ρεύμα και το μαγνητικό πεδίο-Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή-Το ηλεκτρικό ρεύμα σε μαγνητικό πεδίο-
          Το ηλεκτρικό πεδίο-Πυκνωτές-Εναλλασσόμενο ρεύμα (A.C)-Μεταβαλλόμενα και Εναλλασσόμενα ρεύματα-Εναλλασσόμενο ρεύμα και χαρακτηριστικά μεγέθη του-
          Εναλλασσόμενη τάση και χαρακτηριστικά μεγέθη της-Ενεργός ένταση και ενεργός τάση-Βασικά κυκλώματα στο εναλλασσόμενο ρεύμα-Σύνθετα κυκλώματα
          – Σύνθετη αντίσταση-Κύκλωμα RL σε σειρά-Κύκλωμα RC σε σειρά-Κύκλωμα RLC σε σειρά-Κύκλωμα RLC παράλληλα-Ισχύς και Ενέργεια στο εναλλασσόμενο ρεύμα-
          Συντονισμός κυκλώματος-Ανόρθωση του εναλλασσόμενου ρεύματος»
          http://ebooks.edu.gr/ebooks/handle/8547/3875 ..
          κι αυτό είναι ένα παράδειγμα μαθήματος Φυσικής Επαλ που απαγορεύεται να διδάξει Φυσικός

          Βέβαια, όταν μας ενοχλεί μόνο το αν θα λέμε επαγωγική αντίσταση ή αντίδραση
          τότε δεν έχουν νόημα διαμαρτυρίες του στυλ:
          Η διδασκαλία της Φυσικής, χωρίς τους Φυσικούς
          http://www.sfkritis.gr/%ce%b1%ce%bd%ce%bf%ce%b9%ce%ba%cf%84%ce%ae-%ce%b5%cf%80%ce%b9%cf%83%cf%84%ce%bf%ce%bb%ce%ae-%ce%b7-%ce%b4%ce%b9%ce%b4%ce%b1%cf%83%ce%ba%ce%b1%ce%bb%ce%af%ce%b1-%cf%84%ce%b7%cf%82-%cf%86%cf%85%cf%83/
          ή Ταφόπλακα στο μάθημα της Φυσικής https://physicsgg.me/2022/07/17/%cf%84%ce%b1%cf%86%cf%8c%cf%80%ce%bb%ce%b1%ce%ba%ce%b1-%cf%83%cf%84%ce%bf-%ce%bc%ce%ac%ce%b8%ce%b7%ce%bc%ce%b1-%cf%84%ce%b7%cf%82-%cf%86%cf%85%cf%83%ce%b9%ce%ba%ce%ae%cf%82/

          Reply ↓
    • matthew
      21/12/2022 • 1:36 μμ

      Για την ιστορία, ο όρος impedance επινοήθηκε από τον Oliver Heaviside το 1886. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε μιγαδική μορφή της εμπέδησης ήταν ο Arthur Kennelly το 1893.
      Στην Ελλάδα το 1972 ο Καίσαρ Αλεξόπουλος (καθηγητής φυσικής στο
      Πανεπιστήμιο Αθηνών) αλλάζει τον όρο σύνθετη αντίσταση που χρησιμοποιούνταν μέχρι τότε και εισάγει τον όρο εμπέδηση, προσπαθώντας να αποδώσει στα Ελληνικά τον Αγγλικό όρο impedance. Από τότε μέχρι σήμερα, η χρήση του όρου εμπέδηση γενικεύτηκε, κυρίως με την βοήθεια των σχολικών βιβλίων. Η αλλαγή όμως αυτή δεν έλυσε το πρόβλημα της μετάφρασης των όρων γιατί δεν επεκτάθηκε και σε άλλες έννοιες, όπως π.χ. η σύνθετη αγωγιμότητα (admittance). Η Μόνιμη Ομάδα Τηλεπικοινωνιακής Ορολογίας όμως ασχολήθηκε με το θέμα από το 1994 και επανάφερε τον όρο σύνθετη αντίσταση, που αποδίδει μάλλον ορθότερα την έννοια αυτή.

      Reply ↓

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.