Το μυστήριο του σπιν

Σύμφωνα με τα σχολικά βιβλία «ο κβαντικός αριθμός του σπιν ενός ηλεκτρονίου καθορίζει την ιδιοπεριστροφή του ηλεκτρονίου…. Σε κάθε τροχιακό δε μπορούμε να έχουμε περισσότερα από δύο ηλεκτρόνια και επιπλέον το ένα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του αντίθετα από το άλλο, δηλαδή έχουν αντίθετη ιδιοπεριστροφή (σπιν)…» Και δεδομένου ότι το ηλεκτρόνιο είναι φορτισμένο σωματίδο θα μπορούσε κανείς να φανταστεί ότι η αντίθετη ιδιοπεριστροφή των ηλεκτρονίων δημιουργεί δυο μαγνητάκια που έλκονται μεταξύ τους… Το περίεργο είναι πως αν αποδεχτούμε ότι το ηλεκτρόνιο «ιδιοπεριστρέφεται», αυτή η περιστροφή ουδέποτε επιβραδύνεται, ούτε επιταχύνεται και γιαυτό η τιμή της είναι πάντα ή +1/2 ή -1/2!

Κι όμως, τα ηλεκτρόνια δεν περιστρέφονταιγύρω από τον άξονά τους. Δεν γίνεται να περιστρέφονται. Αν περιστρέφονταν πραγματικά τόσο γρήγορα ώστε να εξηγούν όλη τη συμπεριφορά που εμφανίζουν ως σπιν, τότε οι επιφάνειές τους (αν είχαν) θα κινούνταν πολύ πιο γρήγορα από την ταχύτητα του φωτός!

Το σπιν είναι πολύ σημαντικό για την κατανόηση του κόσμου μας. Αν τα ηλεκτρόνια δεν είχαν σπιν, η καρέκλα σας θα κατέρρεε σε ένα μικρό κλάσμα του μεγέθους της. Θα κατέρρεες κι εσύ – αλλά αυτό θα ήταν το μικρότερο από τα προβλήματά σου. Χωρίς σπιν, ολόκληρος ο περιοδικός πίνακας των στοιχείων θα εξαφανιζόταν και μαζί του όλη η χημεία. Στην πραγματικότητα, δεν θα υπήρχαν καθόλου μόρια.

Η δημοσίευση ενός λάθους

Η έννοια του σπιν των σωματιδίων με την εμφάνισή της προκάλεσε σύγχυση στους φυσικούς. Το 1925, δύο νεαροί Ολλανδοί φυσικοί, οι Samuel Goudsmit και George Uhlenbeck, προβληματίστηκαν από την τελευταία εργασία του διάσημου (και γνωστού για την καυστικότητά του) φυσικού Wolfgang Pauli. Ο Pauli, σε μια προσπάθεια να εξηγήσει τη δομή των ατομικών φασμάτων και του περιοδικού πίνακα, είχε υποθέσει ότι τα ηλεκτρόνια έπρεπε να παίρνουν «δύο τιμές που δεν περιγράφονται κλασικά». Αλλά ο Pauli δεν είχε πει σε ποια φυσική ιδιότητα του ηλεκτρονίου αντιστοιχούσε η νέα του τιμή, και οι Goudsmit και Uhlenbeck αναρωτήθηκαν τι θα μπορούσε να είναι.

Το μόνο που ήξεραν, ήταν αυτό που υποψιαζόντουσαν όλοι οι φυσικοί εκείνη την εποχή – ότι η νέα τιμή του Pauli συνδέθηκε με διακριτά ‘κβάντα’ μιας γνωστής ιδιότητας από την κλασική νευτώνεια φυσική, που ονομάζεται στροφορμή. Οι Goudsmit και Uhlenbeck σκέφτηκαν αν αποδώσουν στο ηλεκτρόνιο την στροφορμή που έχει ένα σώμα που περιστρέφεται γύρω από άξονά του, όπως η ιδιοπεριστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Έτσι, αν τα ηλεκτρόνια μπορούσαν να περιστρέφονται δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα, τότε αυτό θα εξηγούσε τις δυο τιμές που θεωρούσε ο Pauli.

Γεματοι ενθουσιασμό οι Goudsmit και Uhlenbeck έγραψαν παρουσίασαν τη νέα τους ιδέα στον μέντορά τους, Paul Ehrenfest. Ο Ehrenfest, στενός φίλος του Αϊνστάιν και σημαντικός φυσικός από μόνος του, θεώρησε ότι η ιδέα ήταν ενδιαφέρουσα. Ενώ το σκεφτόταν, είπε στους δύο πρόθυμους νεαρούς φυσικούς να συμβουλευτούν τον Hendrik Antoon Lorentz – τον σοφό γέροντα της ολλανδικής φυσικής.

Αλλά ο Lorentz εντυπωσιάστηκε λιγότερο από την ιδέα του σπιν σε σχέση με τον Ehrenfest. Όπως επεσήμανε στον Uhlenbeck, το ηλεκτρόνιο ήταν γνωστό ότι ήταν πολύ μικρό (<10-14m), τουλάχιστον 3.000 φορές μικρότερο από ένα άτομο – και τα άτομα ήταν ήδη γνωστό ότι είχαν διάμετρο περίπου το ένα δέκατο του νανομέτρου, ένα εκατομμύριο φορές μικρότερο από το πάχος ενός φύλλου χαρτιού. Με ένα τόσο μικρό ηλεκτρόνιο και με την ακόμη μικρότερη μάζα του (9×10-31kg) – ένα δισεκατομμυριοστό του δισεκατομμυριοστού του δισεκατομμυριοστού του γραμμαρίου – δεν υπήρχε περίπτωση να περιστρέφεται αρκετά γρήγορα για να εξηγήσει την στροφορμή που αναζητούσαν ο Pauli και άλλοι. Στην πραγματικότητα, όπως είπε ο Lorentz στον Uhlenbeck, η επιφάνεια του ηλεκτρονίου θα έπρεπε να κινείται 10 φορές πιο γρήγορα από την ταχύτητα του φωτός (*), κάτι που είναι αδύνατον.

Απογοητευμένος, ο Uhlenbeck είπε τα νέα στον Ehrenfest και του είπε να προλάβει την δημοσίευση της εργασίας – καθώς ο μέντοράς του την είχε ήδη στείλει για δημοσίευση. «Είστε και οι δύο αρκετά νέοι για να έχετε την πολυτέλεια μιας βλακείας», είπε ο Ehrenfest . Και είχε δίκιο. Παρά το γεγονός ότι το ηλεκτρόνιο δεν μπορούσε να περιστρέφεται, η ιδέα του σπιν έγινε ευρέως αποδεκτή ως σωστή – όχι με τον συνηθισμένο τρόπο. Αντί να περιστρέφεται ένα ηλεκτρόνιο, κάτι που ήταν αδύνατο, οι φυσικοί ερμήνευσαν το εύρημα ότι το ηλεκτρόνιο έφερε μαζί του κάποια εγγενή στροφορμή, σαν να περιστρεφόταν. Η ιδιότητα αυτή εξακολουθούσε να ονομάζεται «σπιν» και οι Goudsmit και Uhlenbeck αναγνωρίστηκαν ως οι πρωτεργάτες της ιδέας.

Σπιν και απαγορευτική αρχή του Pauli

Το σπιν αποδείχθηκε κρίσιμο για την ερμηνεία των θεμελιωδών ιδιοτήτων της ύλης. Στην ίδια δημοσίευση όπου είχε προτείνει τον νέο κβαντικό αριθμό των δύο τιμών, ο Pauli είχε προτείνει επίσης μια «απαγορευτική αρχή», την ιδέα ότι ποτέ δυο ηλεκτρόνια με τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς δεν θα μπορούσαν να καταλάβουν την ίδια ακριβώς κατάσταση. Αν μπορούσαν, τότε όλα τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου θα έπεφταν απλά στην χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση και ουσιαστικά όλα τα στοιχεία θα συμπεριφέρονταν σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, εξαλείφοντας την χημεία που ξέρουμε. Το νερό δεν θα υπήρχε. Η ζωή δεν θα υπήρχε. Το σύμπαν θα ήταν βαρετό και αδιάφορο. Στην πραγματικότητα, όπως έγινε αντιληπτό αργότερα, η στερεά ύλη κάθε είδους θα ήταν ασταθής. Αν και η ιδέα του Pauli ήταν ξεκάθαρα σωστή, δεν ήταν σαφές γιατί τα ηλεκτρόνια δεν μπορούσαν να μοιραστούν καταστάσεις. Η απαγορευτική αρχή του Pauli θα δώσει ερμηνείες για όλα όσα μας συμβαίνουν στην καθημερινή ζωή.

Σύντομα ανακαλύφθηκε ότι το σπιν είναι μια βασική ιδιότητα όλων των στοιχειωδών σωματιδίων, όχι μόνο των ηλεκτρονίων – που τα διαχωρίζει ως προς την συμπεριφορά τους σε δυο μεγάλες κατηγορίες(**) ανοίγοντας την όρεξη για νέες όψεις της Φυσικής.
Το 1940, ο Pauli και ο Ελβετός φυσικός Markus Fierz απέδειξαν ότι όταν συνδυάζονται η κβαντομηχανική και η ειδική σχετικότητα του Αϊνστάιν, οδηγούν αναπόφευκτα σε μια σύνδεση μεταξύ του σπιν και της στατιστικής συμπεριφοράς της κάθε ομάδας. Η απαγορευτική αρχή του Pauli ήταν απλώς μια ειδική περίπτωση αυτού του θεωρήματος της σπιν-στατιστικής, όπως έγινε γνωστό. Το θεώρημα είναι ένα «πανίσχυρο δεδομένο για τον κόσμο», όπως λέει ο φυσικός Michael Berry. «Βρίσκεται στη βάση της χημείας, της υπεραγωγιμότητας, είναι ένα πολύ θεμελιώδες γεγονός». Και όπως τόσες πολλές βασικές έννοιες στη φυσική, το σπιν βρέθηκε να είναι χρήσιμο και τεχνολογικά. Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, το σπιν αξιοποιήθηκε για την ανάπτυξη λέιζερ, την εξήγηση της συμπεριφοράς των υπεραγωγών και στην κατασκευή κβαντικών υπολογιστών.

Μια περιστρεφόμενη σφαίρα που δεν είναι σφαίρα και δεν περιστρέφεται

Αλλά όλες αυτές οι υπέροχες ανακαλύψεις, εφαρμογές και ερμηνείες εξακολουθούν να αφήνουν στο τραπέζι την ερώτηση των Goudsmit και Uhlenbeck: τι είναι το σπιν; Αν τα ηλεκτρόνια πρέπει να έχουν σπιν, αλλά δεν μπορούν να περιστρέφονται, τότε από πού προέρχεται αυτή η στροφορμή; Η τυπική απάντηση είναι ότι αυτή η ορμή είναι απλώς εγγενής στα υποατομικά σωματίδια και δεν αντιστοιχεί σε καμία μακροσκοπική έννοια της περιστροφής.

Ωστόσο, σύμφωνα με το άρθρο του Scientific American με τίτλο «Quantum Particles Aren’t Spinning. So Where Does Their Spin Come From?», αυτή η απάντηση δεν τους ικανοποιεί όλους.
«Ποτέ δεν μου άρεσε η περιγραφή του σπιν που γίνεται σε ένα μάθημα κβαντικής μηχανικής», λέει ο Charles Sebens, ένας φιλόσοφος της φυσικής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια. Αν και στο βάθος ακούγεται η υποχθόνια απάντηση του Feynmann «ε, και;«,
ο Sebens συνεχίζει απτόητος «… τα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν να περιστρέφονται αλλά δεν περιστρέφονται πραγματικά. Εντάξει. Υποθέτω ότι μπορώ να το αποδεχτώ και να μάθω να δουλεύω με αυτό. Αλλά είναι περίεργο».
Πριν από κάποιο καιρό διαπέρασε το μυαλό του Sebens ο εξής συλλογισμός: «Στην κβαντομηχανική, φαίνεται ότι το ηλεκτρόνιο δεν περιστρέφεται. Όμως η κβαντική μηχανική δεν είναι η καλύτερη θεωρία μας για τη φύση. Οπότε ας πάμε στην κβαντική θεωρία πεδίου που είναι μια βαθύτερη και πιο ακριβής θεωρία».

Στην κβαντική θεωρία πεδίου ο κβαντικός κόσμος των υποατομικών σωματιδίων συναντά την πιο διάσημη εξίσωση στον κόσμο: E = mc2, η οποία περικλείει την ανακάλυψη του Αϊνστάιν της ισοδυναμίας ύλης και ενέργειας. Έτσι, όταν τα υποατομικά σωματίδια αλληλεπιδρούν, συχνά δημιουργούνται νέα σωματίδια από την ενέργειά τους και τα υπάρχοντα σωματίδια μπορούν να διασπαστούν σε κάτι άλλο. Η κβαντική θεωρία πεδίου χειρίζεται αυτό το φαινόμενο περιγράφοντας τα σωματίδια που προκύπτουν με πεδία που διαπερνούν όλο τον χωροχρόνο, ακόμη και τον κενό χώρο. Αυτά τα πεδία επιτρέπουν στα σωματίδια να εμφανίζονται και να εξαφανίζονται, όλα σύμφωνα τόσο με τις αυστηρές επιταγές της ειδικής σχετικότητας του Αϊνστάιν όσο και με τους πιθανολογικούς νόμους του κβαντικού κόσμου. Και είναι αυτά τα πεδία, σύμφωνα με τον Sebens, που μπορεί να περιέχουν τη λύση στο παζλ της περιστροφής.

Σύμφωνα με τον Sebens «στην κβαντική θεωρία πεδίου, για κάθε σωματίδιο, υπάρχει ένας τρόπος να το σκεφτούμε ως πεδίο. Συγκεκριμένα, το ηλεκτρόνιο μπορεί να θεωρηθεί ως διέγερση ενός κβαντικού πεδίου γνωστού ως πεδίο Dirac, και ίσως αυτό το πεδίο μπορεί να μεταφέρει το σπιν του ηλεκτρονίου. Υπάρχει μια πραγματική περιστροφή ενέργειας και φορτίου στο πεδίο Dirac». Κι αν εκεί βρίσκεται η στροφορμή, το πρόβλημα ενός ηλεκτρονίου που περιστρέφεται ταχύτερα από την ταχύτητα του φωτός εξαφανίζεται. Η περιοχή του πεδίου που φέρει το σπιν ενός ηλεκτρονίου είναι πολύ μεγαλύτερη από το ίδιο το υποτιθέμενο σημειακό ηλεκτρόνιο. Έτσι, σύμφωνα με τον Sebens, κατά κάποιο τρόπο, ο Pauli και ο Lorentz είχαν κατά το ήμισυ δίκιο: δεν υπάρχει ένα περιστρεφόμενο σωματίδιο. Υπάρχει ένα περιστρεφόμενο πεδίο, κι αυτό το πεδίο είναι που δημιουργεί σωματίδια.

Περισσότερες λεπτομέρειες για τις ιδέες του Charles T. Sebens περιέχονται στο πρόσφατο άρθρο του Adam Becker, στο Scientific American «Quantum Particles Aren’t Spinning. So Where Does Their Spin Come From? A new proposal seeks to solve the paradox of quantum ή στο αρχικό άρθρο του ίδιου του Sebens με τίτλο: ‘How Electrons Spin

Το σπιν μου άλλαξε τη ζωή

Μπορεί η περιγραφή του σπιν των σωματιδίων ως ιδιοπεριστροφή να είναι διδακτικά πρακτική για το σχολικό επίπεδο. ‘Ομως αν θέλουμε να καταλάβουμε τι είναι στην πραγματικότητα το σπιν πρέπει να ακολουθησουμε έναν δρόμο στρωμένο με ωραία μαθηματικά που συνδέει την στροφορμή με την γεννήτρια των απειροστών στροφών και την περιστροφική συμμετρία ενός συστήματος.
Κλείνουμε με ένα σχετικό απόσπασμα από το βιβλίο του νομπελίστα φυσικού Frank Wilczeck «Τα Θεμελιώδη»:
«Αν έχετε παίξει ποτέ με γυροσκόπιο, θα έχετε αποκτήσει ένα καλό προβάδισμα προς την κατανόηση του τι εστί το σπιν των στοιχειωδών σωματιδίων. Η βασική ιδέα είναι ότι τα στοιχειώδη σωματίδια συνιστούν ιδανικά, χωρίς τριβές γυροσκόπια, που ουδέποτε σταματούν.
Το διασκεδαστικό χαρακτηριστικό του γυροσκοπίου είναι η ικανότητά του να κινείται με τρόπους ανοίκειους στην καθημερινή εμπειρία μας. Πιο συγκεκριμένα, ένα γυροσκόπιο ανθίσταται σε κάθε προσπάθεια μεταβολής του άξονα περιστροφής του. Ο προσανατολισμός αυτού του άξονα δεν μεταβάλλεται κατά πολύ, εκτός αν του ασκήσουμε μεγάλη δύναμη. Λέμε ότι το γυροσκόπιο χαρακτηρίζεται από «αδράνεια προσανατολισμού». Το συγκεκριμένο φαινόμενο αξιοποιείται για την καθοδήγηση αεροσκαφών και διαστημοπλοίων, τα οποία φέρουν γυροσκόπια για να διατηρούν τον προασανατολισμό τους. Όσο ταχύτερα περιστρέφεται ένα γυροσκόπιο τόσο αποτελσματικότερα αυτό αντιστέκεται στις προσπάθειες μεταβολής του προσανατολισμού του. Συγκρίνοντας την ασκούμενη δύναμη με την απόκριση του γυροσκοπίου, μπορεί να οριστεί ένα μέγεθος που να εκφράζει την αδράνεια προσανατολισμού. Αυτό δεν είναι άλλο από τη στροφορμή. Τα μεγάλα γυροσκόπια που περιστρέφονται γρήγορα έχουν μεγάλη στροφορμή και η απόκρισή τους στις εφαρμοζόμενες δυνάμεις είναι μικρή.
Τα στοιχειώδη σωματίδια, απεναντίας, είναι μικροσκοπικά γυροσκόπια. Έχουν πολύ μικρή στροφορμή. Όταν η στροφορμή είναι τόσο μικρή όσο εκείνη των στοιχειωδών σωματιδίων, τότε βρισκόμαστε στην επικράτεια της κβαντικής μηχανικής. Συχνά το εν λόγω πεδίο μας αποκαλύπτει ότι μεγέθη τα οποία κάποτε θεωρούσαμε πως μεταβάλλονται κατά συνεχή τρόπο στην πραγματικότητα λαμβάνουν τιμές ίσες με το άθροισμα μικρών διακριτών ποσοτήτων, γνωστών ως κβάντα (Εξ αυτού έλαβε το όνομά της η κβαντική μηχανική.) Σύμφωνα με την κβαντική μηχανική, υπάρχει μαι θεωρητική ελάχιστη τιμή της στροφορμής που μπορεί να φέρει ένα σώμα. Όλες οι δυνατές τιμές της στροφορμής είναι ακέραια πολλαπλάσια της συγκεκριμένης ελάχιστης μονάδας.
Όπως προκύπτει, τα ηλεκτρόνια, τα κουάρκ και άλλα είδη στοιχειωδών σωματιδίων φέρουν ακριβώς τη θεωρητικώς ελάχιστη μονάδα στροφορμής. Οι φυσικοί εκφράζουν το συγκεκριμένο γεγονός λέγοντας ότι τα ηλεκτρόνια φέρουν σπιν 1/2. (Ένας ενδιαφέρων μαθηματικός λόγος κρύβεται πίσω από τη διατύπωση των φυσικών ότι η βασική μονάδα στροφορμής είναι το σπιν 1/2 αντί το σπιν 1, αλλά αυτό ξεπερνά του σκοπούς του παρόντος βιβλίου.)
Προτού ολοκληρώσω τη μικρή εισαγωγή μου περί σπιν, θα ήθελα να προσθέσω ένα προσωπικό στοιχείο. Το σπιν μου άλλαξε τη ζωή. Ανέκαθεν μου άρεσαν τα μαθηματικά και οι γρίφοι, και ως παιδί λάτρευα να παίζω με σβούρες. Το βασικό πεδίο των σπουδών μου ήταν τα μαθηματικά. Κατά το τελευταίο εξάμηνο στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο ο Peter Freund, ένας διάσημος καθηγητής θεωρητικής φυσικής, δίδαξε ένα μάθημα προχωρημένου επιπέδου για τις εφαρμογές της μαθηματικής συμμετρίας στη φυσική… μας έδειξε πως κάποια εξαιρετικής ομορφιάς μαθηματικά, με αφετηρία την ιδέα της συμμετρίας, οδηγούν απευθείας σε συγκεκριμένες και σαφείς προβλέψεις σχετικά με τις παρατηρούμενες φυσικές συμπεριφορές… Το εντυπωσιακότερο παράδειγμα σύνδεσης της μαθηματικής συμμετρίας με την παρατηρούμενη συμπεριφορά φυσικών συστημάτων ήταν – και εξακολουθεί να είναι – κβαντική θεωρία της στροφορμής, την οποία μας ανέπτυξε. Όταν ένα ιδιοπεριστρεφόμενο σωματίδιο διασπάται σε άλλα ιδιοπεριστρεφόμενα σωματίδια (μια πολύ συνηθισμένη κατάσταση στον φυσικό κόσμο), η κβαντική θεωρία της στροφορμής κάνει προβλέψεις όσον αφορά τις σχέσεις μεταξύ των διευθύνσεων επί των οποίων εμφανίζονται τα προϊόντα της διάσπασης και των προσανατολισμό των αξόνων περιστοφής τους. Η μαθηματική μελέτη των προβλέψεων αυτών απαιτεί πολύ σοβαρούς υπολογισμούς και οι προβλεπόμενες συμπεριφορές μόνο προφανείς δεν είναι. Εντούτοις, όσο απίστευτο και αν φαίνεται, λειτουργούν!
Η εμπειρία της βαθιάς αρμονίας μεταξύ δυο διαφορετικών συμπάντων – των όμορφων ιδεών και της φυσικής συμπεριφοράς – αποτέλεσε για εμένα ένα είδος πνευματικής αφύπνισης. Έγινε επάγγεμά μου, και δεν με απογοήτευσε.
«

(*) Το σπιν του ηλεκτρονίου είναι \hbar/2. Από την κλασική σχέση για την στροφορμή μιας σφαίρας που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της: L=I \cdot \omega= \dfrac{2}{5}m_{e}r_{e}^{2} \dfrac{v}{r_{e}}=\dfrac{\hbar}{2} και για \omega=v/r_{e}, προκύπτει ότι η γραμμική ταχύτητα στον «ισημερινό» του σφαιρικού ηλεκτρονίου ισούται με v=\frac{5 \hbar}{4m_{e}r_{e}}. Για h=6,6×10-34m2kg/s, re=10-14m και me=9×10-31kg η εν λόγω ταχύτητα είναι περίπου 10 φορές η ταχύτητα του φωτός.

(**) Οι δύο κατηγορίες των σωματιδίων είναι: (α) αυτά που έχουν ακέραιο κβαντικό αριθμό σπιν (μποζόνια) και (β) αυτά που έχουν ημιακέραιο κβαντικό αριθμό σπιν (φερμιόνια)



Κατηγορίες:ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Ετικέτες: , , , ,

1 reply

  1. Ο λόγος που βγαίνει μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτήν του φωτός, είναι γιατί δε λαμβάνεται υπόψη η σχετικιστικη αύξηση της μάζας λόγω της ταχύτητας

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: