Γιατί η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας;

Γιατί η κινητική ενέργεια ενός σώματος δεν αυξάνεται γραμμικά συναρτήσει του μέτρου της ταχύτητας; Γιατί χρειάζεται περισσότερη ενέργεια για να αυξήσουμε την ταχύτητα ενός σώματος από 1m/s σε 2m/s, απ’ ότι για να την αυξήσουμε από  0m/s σε 1m/s; Μπορούμε να αποδείξουμε τον τύπο της κινητικής ενέργειας K=\frac{1}{2}m\,v^{2} χωρίς να αναφερθούμε στο έργο δύναμης; Aς κάνουμε μια προσπάθεια.

Υποθέτουμε ότι για κάθε σώμα μάζας m και ταχύτητας v υπάρχει μια συνάρτηση κινητικής ενέργειας K, η οποία εξαρτάται από τα m και v με άγνωστο προς το παρόν τρόπο: K=K(m,v).

Θεωρούμε μια μικρή μπάλα από πηλό μάζας m που προσπίπτει με ταχύτητα v σε έναν τοίχο και ακινητοποιείται. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας όλη η κινητική της ενέργεια μετρατράπηκε σε θερμική (αγνοώντας πιθανή ζημιά στον τοίχο, την παραγωγή ηχητικού κύματος κ.λ.π.). Επομένως K(m,v)=Q. Μπορούμε να διαπιστώσουμε πειραματικά ότι η παραγόμενη θερμότητα είναι ανάλογη της μάζας της μπάλας, οπότε θα ισχύει: K(m,v)=Q=mK(v) ή K \sim m  . Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει χωρίς καμία αναφορά στην κίνηση, αφήνοντας απλά μπάλες από πηλό με διαφορετικές μάζες από το ίδιο ύψος και χρησιμοποιώντας ένα θερμόμετρο.

Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε δύο πανομοιότυπες μπάλες από πηλό που συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά έχοντας το ίδιο μέτρο ταχύτητας v λίγο πριν την κρούση. Έστω δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς, ένα ακίνητο Σ και ένα κινούμενο Σ’ με ταχύτητα v, στην ίδια κατεύθυνση με μία από τις δύο μπάλες. Και στα δυο συστήματα μετά την κρούση προκύπτει συσσωμάτωμα και η παραγόμενη θερμική ενέργεια πρέπει να είναι η ίδια:

Η πλαστική κρούση μεταξύ δυο σωμάτων όπως την βλέπουν δυο παρατηρητές από διαφορετικά συστήματα αναφοράς

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας για το ακίνητο σύστημα αναφοράς Σ δίνει: 2mK(v)=Q, ενώ για το κινούμενο σύσημα Σ’, mK(2v)=2mK(v)+Q. Από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύπτει ότι: K(2v)=4K(v), το οποίο ισχύει μόνο όταν η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, K \sim v^{2}  . Και δεδομένου ότι παραπάνω αποδείχθηκε πως K \sim m , προκύπτει η σχέση για την κινητική ενέργεια:

K \sim mv^{2}

Εντάξει μπορεί να λείπει το 1/2, αλλά κανείς δεν είναι τέλειος!

Διαβάστε σχετικά:

1. Why does kinetic energy increase quadratically, not linearly, with speed?

2. Energy conservation as the basis of relativistic mechanics, II (Ehlers, Rindler και Penrose). Εδώ χρησιμοποιώντας Γαλιλαιϊκή κινηματική αποδεικνύεται για σωματίδια (χωρίς αναφορά σε μπάλες από πηλό) ότι K=\frac{1}{2}m \, v^{2} + K_{0}, όπου Κ0 μια σταθερά ανεξάρτητη της ταχύτητας (Κ0=m0c2;!)



Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: ,

9 replies

  1. Ωραία ερώτηση! Την έκανα πρόσφατα σε μαθητές μου στη β’ γυμνασίου, με την υπόσχεση «να την απαντήσουμε στο λύκειο»!…
    Πάντως, σε σχέση με την παραπάνω προσπάθεια απόδειξης, νομίζω η μέθοδος της ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ δίνει πιο εύκολη και πιο κατανοητή απάντηση, τουλάχιστον όσο αφορά τους μαθητές.

    • Πολύ σωστά. Όμως, η διαστατική ανάλυση προϋποθέτει τον ορισμό του Joule διαμέσου του έργου ή άλλου είδους ενέργειας. Κάτι που θέλουμε να αποφύγουμε.

      • Να μην ξεχνάμε και την επιχειρηματολογία στην μηχανική των Landau-Lifshitz όπου εξετάζεται η Λαγκρανζιανή του ελεύθερου σωματιδίου σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στη σελίδα 5 γράφουν: ..η ομογένεια του χώρου και του χρόνου συνεπάγεται ότι η Λαγκρανζιανή δεν μπορεί να περιέχει εκπεφρασμένα oύτε το διάνυσμα \vec{r} ούτε το χρόνο t. H Lagrangian πρέπει να είναι συνάρτηση μόνο της ταχύτητας \vec{v}. Και αφού ο χώρος είναι ισοτροπικός, η Λαγκαρανζιανή πρέπει να είναι επίσης ανεξάρτητη της κατεύθυνσης της \vec{v}, επομένως θα είναι μια συνάρτηση του \vec{v}^{2}=v^{2}, δηλ. L=L(v^{2})… Και στη σελίδα 7 καταλήγουν σε Λαγκρανζιανή της μορφής L=\frac{1}{2}mv^{2}: https://physicsgg.files.wordpress.com/2022/05/landau-lifshitz-lagrangian-for-free-particle.pdf

        • Νομίζω ότι ο Λαντάου τα λέει καλύτερα.
          Γιατί τόσο η μέθοδος που παρουσιάζει το άρθρο, όσο και η διαστατική ανάλυση απλώς αποδεικνύουν το τετράγωνο. Όμως ο Λαντάου μας βάζει πιο πολύ στην ουσία· δείχνει ότι όχι απλώς ισχύει το ~υ^2 αλλά και έτσι θα έπρεπε! Απαντά στο «γιατί» του τίτλου του άρθρου.
          Τουλάχιστον έτσι το κατάλαβα εγώ…

          • η διαστατική ανάλυση δεν αποδεικνύει θεμελιακά την εξάρτηση της Κ από το τετράγωνο της υ. Απλά το επιβεβαιώνει, αφού προϋποθέτει την γνώση ότι ενέργεια=έργο=δύναμη επί μετατόπιση.

            • Αφήνω λίγο Landau και Ε=mc^2 στην άκρη. Ζητούμενο (για μένα τουλάχιστον) είναι πώς μπορούμε να εξηγήσουμε το υ^2 της κινητικής ενέργειας σε μαθητές γυμνασίου/λυκείου.

              Αρχίζοντας π.χ. με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια, νομίζω, ένας μαθητής μπορεί εύκολα να πειστεί ότι αυτή πρέπει -είναι λογικό- να είναι ανάλογη της μάζας του σώματος (m), της βαρύτητας του πλανήτη (g) και του ύψους από το έδαφος (h). Χρησιμοποιώντας, λοιπόν, τη βαρυτική δυναμική ενέργεια μπορούμε να ορίσουμε τη μονάδα ενέργειας, το Joule. Και να απαιτήσουμε, στη συνέχεια, η κινητική ενέργεια, όντας ενέργεια κι αυτή, να έχει την ίδια μονάδα/τις ίδιες διαστάσεις.

              Φαντάζομαι, εδώ μπορεί να υπάρξει και η εξής ένσταση: «και γιατί (πώς δικαιολογούμε ότι) η δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του ύψους κι όχι πχ. του τετραγώνου του ύψους;!…» Ναι, ίσως είναι λίγο φαύλος κύκλος, αλλά σίγουρα ο τύπος για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια, με τη γραμμικότητά του, είναι διαισθητικά πιο προβλέψιμος απ’ ό,τι ο τύπος της κινητικής.

  2. H απόδειξη του Λαντάου δεν με πείθει για δυο λόγους: α) γιατί επιλέγει (λόγω ισοτροπίας χώρου) το τετράγωνο της ταχύτητας και όχι το μέτρο της ταχύτητας υψωμένο σε οποιαδήποτε δύναμη; και β) δεν βλέπω να αποδεικνύει ότι η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της μάζας.
    Ο Αινστάιν τα είπε όλα με την εξίσωση Ε=mc^2, ακόμα και το 1/2

    • μάλλον έχεις δίκιο και για την επιχειρηματολογία των Landau-Lifshitz και κυρίως για το … 1/2, αφού:
      E=mc^{2}=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}, η ποία για υ<<c δίνει: E\cong m_{0}c^{2} \left(1+ \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} \right)= m_{0}c^{2} +\frac{1}{2}m_{0}v^{2}

  3. Ανατρέχουμε στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ των Landau-Lifchitz.

    Η ισοτροπία του χώρου επιβάλλει η Λαγκρανζιανή να μην εξαρτάται από την ταχύτητα v ως διάνυσμα, αλλά από το μέτρο της ταχύτητας, δηλαδή από το v2.

    Η αρχή σχετικότητας του Γαλιλαίου (όλα τα συστήματα αναφοράς που κινούνται με σταθερή ταχύτητα περιγράφονται από τις ίδιες εξισώσεις κινήσεις) μας οδηγεί σε γραμμική εξάρτηση από το v2
    L = (1/2) m v2

    Το (1/2) είναι εκεί, έτσι ώστε μέσω της εξίσωσης κίνησης να πάρουμε τον γνωστό νόμο του Νεύτωνα.

    Αργύρης Νικολαΐδης

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: