Ζούμε ακόμα σε έναν Ευκλείδειο κόσμο

Η γεωμετρία της αρχαίας Ελλάδας αντέχει για περισσότερες από δύο χιλιετίες, ακόμη και μετά τη σχετικότητα και την κβαντομηχανική

Ο Ευκλείδης έγραψε το διάσημο εγχειρίδιο γεωμετρίας του, τα «Στοιχεία», περί το 300 π.Χ. Πρόκειται για ένα αριστούργημα στοχασμού και παρουσίασης. Τα «Στοιχεία» συνάγουν άφθονα, απροσδόκητα και ισχυρά αποτελέσματα διαμέσου μερικών ξεκάθαρα διατυπωμένων, «αυτονόητων» υποθέσεων, ή αλλιώς αξιωμάτων. Χρησίμευσε στην εκπαίδευση πολλών γενιών μαθητών όχι μόνο στην γεωμετρία, την επιστήμη του χώρου και της μέτρησης, αλλά και στην τέχνη της καθαρής σκέψης και των λογικών συμπερασμάτων. Πολλά έχουν συμβεί στην επιστήμη από τότε που εμφανίστηκε το βιβλίο πριν από δύο χιλιετίες και πλέον αλλά κατά κάποιο τρόπο, – αν και υπήρξαν μερικές πολύ αργές αλλαγές – ο Ευκλείδης αντέχει.

Το σύστημα της κλασικής μηχανικής και βαρύτητας του Isaac Newton και το σύστημα ηλεκτρομαγνητισμού του James Clerk Maxwell χτίστηκαν πάνω στα θεμέλια της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Πρόσθεσαν σωματίδια, πεδία και δυνάμεις, αλλά ο χώρος στον οποίο ζούσαν αυτά τα αντικείμενα ήταν του Ευκλείδη.

Ένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη, το λεγόμενο αξίωμα της παραλληλίας, φάνηκε σε πολλούς μεταγενέστερους αναγνώστες λιγότερο πειστικό από τα υπόλοιπα. Λέει ότι οι κάθετοι που φέρονται από δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία δεν τέμνονται ποτέ, αλλά ότι όλα τα υπόλοιπα ζεύγη ευθειών που διέρχονται από αυτά τα σημεία τέμνονται μία φορά. Τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί έδειξαν ότι τροποποιώντας λίγο το αξίωμα της παραλλλίας του Ευκλείδη και διατηρώντας τα υπόλοιπα αξιώματά του, μπορούμε να πάρουμε μια όμορφη —και συνεπή— περιγραφή του πως λειτουργεί η γεωμετρία στην επιφάνεια μιας σφαίρας.

Ο Γερμανός μαθηματικός Bernhard Riemann ακολούθησε μια πιο ριζοσπαστική προσέγγιση. Εμπνευσμένος από την προοπτική της περιγραφής επιφανειών και υπερεπιφανειών περισσότερων διαστάσεων, πρότεινε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία γίνεται ακριβής σε μικρές αποστάσεις (όπου η επίδραση της καμπυλότητας είναι αμελητέα), αλλά για να περιγράψει κανείς την μεγάλης κλίμακας γεωμετρία πρέπει να συνδυάσει τις τοπικές περιγραφές. Όπως για παράδειγμα, ένας σκιέρ που κατεβαίνει ένα ανώμαλο βουνό, ενώ προσπαθεί να διανύσει μια ευθεία, στην συνολική του πορεία διανύει μια καμπύλη.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας του Albert Einstein το 1905 ενέπνευσε έναν από τους δασκάλους του, τον Hermann Minkowski, να προτείνει μια ακόμα γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Τελειώνοντας τη διάλεξή του «Χώρος και Χρόνος» το 1908, διακήρυξε: «Εφεξής ο χώρος και ο χρόνος από μόνοι τους, είναι καταδικασμένοι να ξεθωριάσουν σε απλές σκιές και μόνο ένα είδος ένωσης των δύο θα διατηρήσει μια ανεξάρτητη πραγματικότητα». Ωστόσο, ο χωροχρόνος του Minkowski εξακολουθεί να έχει τις ρίζες του στον Ευκλείδη. Ενσωματώνει μια γενίκευση του αξιώματος παραλληλίας και το «χωρικό» μέρος του σε οποιαδήποτε σταθερή στιγμή είναι ο καθαρά Ευκλείδειο. Απέμεινε στον Αϊνστάιν να κάνει για τον Minkowski ότι είχε κάνει ο Riemann για τον Ευκλείδη, δηλαδή να εισάγει την καμπυλότητα του χωροχρόνου στην γενική θεωρία της σχετικότητας του 1915 .

Αυτό το πλαίσιο λειτούργησε άψογα. Υποστηρίζει εφαρμογές που ο Ευκλείδης δεν φαντάστηκε ποτέ, όπως οι έννοιες των διαστελλόμενων συμπάντων, των βαρυτικών κυμάτων και (θεωρητικά) τις σκουληκότρυπες που συνδέουν απομακρυσμένα μεταξύ τους μέρη. Όμως, το πλαίσιο του Αϊνστάιν εξακολουθεί να είναι με αναγνωρίσιμο τρόπο Ευκλείδειο, επεκταμένο και προσαρμοσμένο ώστε να εισάγει τον χρόνο και την μεγάλης κλίμακας καμπυλότητας.

Τα κβαντικά φαινόμενα μπορεί να φαίνεται πως υπονομεύουν τις πιο θεμελιώδεις έννοιες του Ευκλείδη για τον χώρο: την δυνατότητα να τον διαιρέσουμε σε μικρά κομμάτια και να τον μετρήσουμε με κανόνες και διαβήτες. Οι κβαντικοί χάρακες αποτελούνται από άτομα και τα άτομα είναι θολά συγκροτήματα κυματοειδών ηλεκτρονίων. Οι μεταγενέστερες εξελίξεις στα μαθηματικά κατέστησαν επίσης αυτές τις Ευκλείδειες υποθέσεις το αντίθετο του «αυτονόητου».

Κι όμως το Καθιερωμένο Πρότυπο των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων εξακολουθεί να βρίσκεται υπό την σκέπη του Ευκλείδη. Τα σχετικιστικά κβαντικά πεδία εξακολουθούν να ζουν στο συνεχές του Ευκλείδη – ή ακριβέστερα, στην επικαιροποίησή του από τον Αϊνστάιν. Για μένα, πρόκειται για το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα αυτού που ο Eugene Wigner αποκάλεσε «η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες».

Frank Wilczek (βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2004)- https://www.wsj.com/articles/were-all-still-living-in-euclids-world-11644014149?mod=Searchresults_pos1&page=1



Κατηγορίες:ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΥΜΠΑΝ

Ετικέτες: , ,

2 replies

  1. Για τους απλούς και καθημερινούς πρακτικούς λόγους η Ευκλείδια Γεωμετρία και η Νευτώνια φυσική επαρκούν. ‘Οταν φτάσουμε να κινούμαστε με ρελατιβιστικές ταχύτητες και σε χώρους Rieman το ξανασκεφτόμαστε. 🙂

  2. Έχω την διαίσθηση πως ο Wilczek γράφοντας την τελευταία παράγραφο έχει στο μυαλό του και μια βαθύτερη αναλογία, που γίνεται πιο εμφανής μέσω της λεγόμενης περιστροφής Wick: μια (σχετικιστική) κβαντική θεωρία πεδίου στον «φανταστικό» χρόνο καθίσταται ισοδύναμη με μία άχρονη Ευκλείδεια κβαντική θεωρία πεδίου. Με άλλα λόγια, ένα πρόβλημα κβαντικής στατιστικής μηχανικής σε θερμοδυναμική ισορροπία θερμοκρασίας Τ πάνω σε έναν χωρόχρονο Lorentz (πχ Minkowski) είναι ακριβώς ισοδύναμο με μία κβαντική θεωρία πεδίου πάνω σε χώρο Riemann (πχ Ευκλείδειο) όπου πλέον ο εξαφανισμένος «χρόνος» έχει μετατραπεί λόγω συμπαγοποίησης σε μία συντεταγμένη περιόδου 1/T. Συγκρίνοντας κανείς τις συναρτήσεις επιμερισμού (ή τα ολοκληρώματα διαδρομών) για κάθε θεωρία αντίστοιχα, μπορεί να δει αμέσως πως πλέον ο «κυκλικός» αυτός χρόνος συνδέεται σε κβαντικό επίπεδο με την αντίστροφη θερμοκρασία, που είναι φυσικά ένα μακροσκοπικό μέγεθος αναδυόμενο θερμοδυναμικά από μικροσκοπικούς βαθμούς ελευθερίας. Αυτή την ημι-κλασική τεχνική χρησιμοποίησε άλλωστε και ο Hawking το 1974 για να αποδείξει πως η ακτινοβολία εξάχνωσης που οφείλεται σε αμιγώς κβαντικά φαινόμενα μακριά από τον ορίζοντα γεγονότων και φέρει το όνομα του έκτοτε, είναι πράγματι θερμικής φύσης (πρβλ. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9409195.pdf σελ. 29 για λεπτομέρειες στον υπολογισμό). Ακόμα και σήμερα όμως, η Ευκλείδεια κβαντική βαρύτητα αποτελεί ένα σημαντικό προθάλαμο για την σχετικιστική εκδοχή της και δεν είναι διόλου σίγουρο αν ο Ευκλείδειος χρόνος είναι λιγότερο θεμελιώδης από τον αντίστοιχο σχετικιστικό.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: