Θεωρούμε ένα ‘ενυδρείο’ σε σχήμα ορθογωνίου τριγωνικού πρίσματος με κάθετες πλευρές α , b και υποτείνουσα c. To ενυδρείο μικρού πλάτους ℓ βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Γεμίζουμε το ενυδρείο με νερό και εξαιτίας της πίεσης P του νερού (*) ασκούνται οι πλευρικές οριζόντιες δυνάμεις F_α=P∙ℓ∙α, F_b=P∙ℓ∙b και F_c=P∙ℓ∙c, στα μέσα των πλευρών όπως βλέπουμε στο επόμενο σχήμα:

Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο κι αυτό αρχίσει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Z, τότε κατασκευάσαμε αεικίνητο και λύσαμε το ενεργειακό πρόβλημα. Όμως κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει, οπότε η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα Z είναι μηδέν: F_α∙α/2+ F_b∙b/2-F_c∙c/2=0 ή P∙ℓ∙α²/2+P∙ℓ∙b²/2-P∙ℓ∙c²/2=0, και έτσι προκύπτει … το πυθαγόρειο θεώρημα: α²+b²=c²

πηγή: Mark Levi, ‘THE MATHEMATICAL MECHANIC using physical reasoning to solve problems’, Princeton University Press

(*) Στο σημείο αυτό μπορεί κανείς να πει (και θα έχει δίκιο) ότι οι δυνάμεις σε κάθε πλευρά εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης είναι F_α=ρ∙g∙α∙ℓ²/2, F_b=ρ∙g∙b∙ℓ²/2 και F_c=ρ∙g∙c∙ℓ²/2, κάτι που χρειάζεται ολοκλήρωμα για να υπολογιστεί. Τότε όμως η απόδειξη του πυθαγορείου θα φαίνεται σαν να σπάμε καρύδια με βαριοπούλα! Από την άλλη, κάποιος άλλος θα ισχυριστεί ότι αποφεύγουμε την υδροστατική πίεση αν βάλουμε το νερό υπό πίεση P μέσα στο δοχείο και εκτελέσουμε το πείραμα εκτός πεδίου βαρύτητας, διασώζοντας έτσι την απλότητα της απόδειξης.

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ, PHYSICS