Ευκλείδεια Γεωμετρία και Φυσική

Ο Richard Feynman κατά την διάρκεια της διάλεξής του με τίτλο «Η σχέση των Μαθηματικών με τη Φυσική» τον Νοέμβριο του 1964 στο Πανεπιστήμιο Cornell. Αποδεικνύει – χρησιμοποιώντας γεωμετρία – τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ: «Η επιβατική ακτίνα που συνδέει τον Ήλιο με έναν πλανήτη σαρώνει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους»

«… γιατί τα μαθηματικά δεν είναι μόνο μια άλλη γλώσσα. Είναι γλώσσα και επιπλέον σκέψη. Είναι γλώσσα και λογική. Τα μαθηματικά είναι εργαλείο της συλλογιστικής. Στην πραγματικότητα, δεν είναι παρά η μεγάλη συλλογή των συμπερασμάτων στα οποία κατέληξε κάποιος μετά από προσεκτική σκέψη και συλλογισμό. Με τα μαθηματικά είναι δυνατό να συνδέσει κανείς το ένα συμπέρασμα με το άλλο.
Για παράδειγμα, μπορώ να πω πως η δύναμη (που δέχεται ένας πλανήτης) έχει διεύθυνση προς τον Ήλιο. Μπορώ επίσης να σας πω ότι ο πλανήτης κινείται έτσι ώστε αν τραβήξουμε μια γραμμή από τον Ήλιο στον πλανήτη, και μια άλλη γραμμή μετά από ορισμένο χρονικό διάστημα, ας πούμε τρεις εβδομάδες, η επιφάνεια που διαγράφεται από τη γραμμή είναι ακριβώς ίδια με εκείνη που θα διαγραφεί τρεις εβδομάδες αργότερα κ.ο.κ., καθώς ο πλανήτης κινείται γύρω από τον Ήλιο. Μπορώ να σας εξηγήσω και τους δυο αυτούς ισχυρισμούς προσεκτικά, αδυνατώ όμως να εξηγήσω γιατί τελικά πρόκειται για το ίδιο πράγμα.
Οι φαινομενικά τεράστιες περιπλοκότητες της φύσης, με όλους αυτούς τους περίεργους νόμους και κανόνες, καθένας από τους οποίους σας έχει αναλυθεί με προσοχή, είναι στην πραγματικότητα πάρα πολύ στενά αλληλένδετες μεταξύ τους. Αν, όμως, δεν εκτιμάτε τα μαθηματικά, δεν μπορείτε να δείτε, μέσα από την τεράστια ποικιλία δεδομένων, πώς η λογική επιτρέπει τη μετάβαση από το ένα δεδομένο στο άλλο.
Ίσως σας φαίνεται απίστευτο ότι μπορώ να δείξω πως, ίσα εμβαδά διαγράφονται σε ίσους χρόνους αν οι δυνάμεις έχουν διεύθυνση προς τον Ήλιο. Θα προσπαθήσω λοιπόν, να σας δείξω ότι αυτά τα δυο πράγματα είναι τελικά ισοδύναμα, για να μπορέσετε να εκτιμήσετε κάτι πέρα από την απλή διατύπωση των δυο νόμων. Θα σας δείξω πώς οι δύο νόμοι συνδέονται έτσι ώστε η μετάβαση από τον έναν στον άλλο να γίνεται μ’ έναν καθαρά νοητικό τρόπο, και ότι τα μαθηματικά δεν είναι παρά η οργάνωση των συλλογισμών μας. Τότε θα είσαστε σε θέση να εκτιμήσετε την ομορφιά της σύνδεσης των συλλογισμών. Θα αποδείξω, λοιπόν, το εξής: αν οι δυνάμεις έχουν διεύθυνση προς τον Ήλιο, σε ίσους χρόνους διαγράφονται ίσες επιφάνειες.
Ας ξεκινήσουμε με έναν Ήλιο και έναν πλανήτη (βλέπε σχήμα 1) και ας υποθέσουμε ότι σε δεδομένη χρονική στιγμή ο πλανήτης βρίσκεται στη θέση 1, κινείται δε με τέτοιο τρόπο, ώστε ένα δευτερόλεπτο αργότερα βρίσκεται στη θέση 2.

σχήμα 1

Αν ο Ήλιος δεν ασκούσε κάποια δύναμη στον πλανήτη, τότε, σύμφωνα με την αρχή της αδράνειας του Γαλιλαίου, ο πλανήτης θα συνέχιζε να κινείται σε ευθεία γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι μετά από το ίδιο χρονικό διάστημα, δηλαδή το επόμενο δευτερόλεπτο, ο πλανήτης θα είχε διανύσει την ίδια απόσταση πάνω στην ίδια ευθεία και θα ήταν στη θέση 3. Κατ’ αρχάς θα δείξουμε πως αν δεν υπάρχει δύναμη, σε ίσους χρόνους καλύπτονται ίσα εμβαδά. Σας θυμίζω ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το 1/2 του γινομένου της βάσης επί το ύψος και ότι το ύψος είναι η απόσταση της κορυφής από τη βάση.

σχήμα 2

Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε το ύψος είναι η κάθετος ΑD και η βάση BC. Ας συγκρίνουμε τώρα τα εμβαδά που θα καλύπτονταν εάν ο ήλιος δεν ασκούσε κανενός είδους δύναμη ( βλέπε σχήμα 1).
Θυμηθείτε ότι οι αποστάσεις 1-2 και 2-3 είναι ίσες. Το ερώτημα είναι: τα δυο εμβαδά είναι ίσα; Θεωρείστε το τρίγωνο που σχηματίζεται από τον Ήλιο και τα δυο σημεία 1 και 2. Ποιό είναι το εμβαδόν του;
Είναι το 1/2 του γινομένου της βάσης 1-2 επί την κάθετη απόσταση του Η από την 1-2. Τι συμβαίνει με το άλλο τρίγωνο που σχηματίζεται κατά την κίνηση από το 2 στο 3; Το εμβαδόν του είναι το 1/2 του γινομένου της βάσης 2-3 επί την κάθετη απόσταση του S από την 2-3. Τα δύο τρίγωνα έχουν το ίδιο ύψος και όπως έδειξα, την ίδια βάση, επομένως το ίδιο εμβαδόν. Μέχρι εδώ καλά. Αν δεν ασκούνταν καμιά δύναμη από τον Ήλιο, ίσα εμβαδά θα καλύπτονταν σε ίσους χρόνους. Ο Ήλιος όμως ασκεί κάποια δύναμη. Στο διάστημα από το 1 ως το 2 και από το 2 ως το 3, ο Ήλιος έλκει τον πλανήτη, κάνοντάς τον να αλλάζει κίνηση με διεύθυνση προς αυτόν. Για να έχουμε μια καλή προσέγγιση, θα πάρουμε την κεντρική θέση, τη μέση θέση στο σημείο 2, και θα πούμε πως η κίνηση στο διάστημα από το 1-3 άλλαξε κατά τι προς τη διεύθυνση της γραμμής 2-S.

σχήμα 3

Αυτό σημαίνει ότι, αν τα σωματίδια κινούνταν πάνω στη γραμμή 1-2 και αν ασκούνταν δύναμη, θα συνέχιζαν (το επόμενο δευτερόλεπτο) να κινούνται πάνω στην ίδια γραμμή. Εξαιτίας όμως της επίδρασης του Ήλιου, η κίνηση υφίσταται μια ελάχιστη αλλαγή 3-4 παράλληλη προς την γραμμή 2-S. Η επόμενη κίνηση, λοιπόν, είναι ένας συνδυασμός της κίνησης που ήθελε να κάνει ο πλανήτης και της κίνησης που πραγματοποιεί εξαιτίας της της επίδρασης του Ήλιου. Επομένως ο πλανήτης δεν καταλήγει στο σημείο 3 αλλά μάλλον στο 4.
Θα θέλαμε τώρα να συγκρίνουμε τα τρίγωνα 23S και 24S και θα σας δείξω ότι έχουν το ίδιο εμβαδόν. Έχουν την ίδια βάση S-2. Έχουν και το ίδιο ύψος; Βεβαίως, διότι περικλείονται σε παράλληλες γραμμές. Η απόσταση από το 4 ως τη γραμμή S-2 είναι ίση με την απόσταση από το 3 ως την προέκταση της S-2. Άρα, τα εμβαδά των τριγώνων S24 κα S23 είναι ίσα. Απέδειξα προηγουμένως ότι τα τρίγωνα S12 και S23 έχουν ίσα εμβαδά, που σημαίνει ότι το εμβαδόν του τριγώνου S12 είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου S24.
Έτσι, στην πραγματική κίνηση του πλανήτη, το εμβαδόν που καλύπτεται από το διάνυσμα θέσης κατά το πρώτο και κατά το δεύτερο δευτερόλεπτο είναι ίσα. Κατά συνέπεια, μπορούμε με συλλογισμούς να βρούμε τη σχέση ανάμεσα στο γεγονός ότι η δύναμη έχει διεύθυνση προς τον Ήλιο και στο γεγονός ότι τα εμβαδά είναι ίσα. Δεν είναι καταπληκτικό. Το δανείστηκα απ’ ευθείας από τον Νεύτωνα. Είναι παρμένο από τα Principia (το βασικό έργο του Νεύτωνα, δημοσιευμένο το 1687), το διάγραμμα κτλ. Μόνο τα σύμβολα είναι διαφορετικά, αφού αυτός έγραφε στα Λατινικά, ενώ εδώ έχουμε αραβικούς αριθμούς.
Στο βιβλίο του, ο Νεύτων απέδειξε τα πάντα χρησιμοποιώντας τη γεωμετρία. Σήμερα δεν χρησιμοποιούμε πια αυτό το είδος απόδειξης, αλλά μια αναλυτική μέθοδο με σύμβολα. Χρειάζεται φυσικά, επινοητικότητα για να σχεδιάσεις τα σωστά τρίγωνα, να προσέξεις τι συμβαίνει με τα εμβαδά και να βρεις τη λύση. Ωστόσο, έχουν γίνει βελτιώσεις στις μεθόδους ανάλυσης, έτσι που να είναι ταχύτερες και ικανοποιητικότερες. Θέλω να σας δείξω πως φαίνονται όλ’ αυτά με τον συμβολισμό των σύγχρονων μαθηματικών, όπου δεν κάνουμε τίποτε άλλο από το να γράφουμε ένα σωρό σύμβολα.
Θέλουμε να συζητήσουμε για το πόσο γρήγορα αλλάζει το εμβαδόν και αυτό το συμβολίζουμε με το σύμβολο \dot{A}. Το εμβαδόν αλλάζει όταν η ακτίνα μετακινείται, και το πόσο γρήγορα γίνεται η αλλαγή του, μας το λέει το γινόμενο της κάθετης προς την ακτίνα συνιστώσας της ταχύτητας επί την ακτίνα. Είναι το γινόμενο της κάθετης προς την ακτίνα συνιστώσας της απόστασης επί την ταχύτητα ή το ρυθμό μεταβολής της απόστασης: \dot{A}=\vec{r}\times\dot{\vec{r}}
To ερώτημα τώρα είναι αν αλλάζει ο ίδιος ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού. Σύμφωνα με όσα αναφέραμε πριν, δεν πρέπει να αλλάζει. Το παραγωγίζουμε λοιπόν για άλλη μια φορά, εφαρμόζουμε δηλαδή κάποιο τρικ που συνίσταται στην τοποθέτηση τελειών σε σωστές θέσεις, και αυτό είναι όλο. Απλώς πρέπει να μάθετε τα τρικ. Είναι μια σειρά κανόνων που τους έχουν ανακαλύψει οι άνθρωποι, και οι οποίοι είναι πολύ χρήσιμοι για ένα τέτοιο θέμα. Γράφουμε:

\ddot{A}=\dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} +\vec{r} \times \ddot{\vec{r}}=\vec{r} \times \vec{F}/m

O πρώτος όρος λέει: πάρτε τη συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στην ταχύτητα. Αυτό κάνει μηδέν: η ταχύτητα είναι στην ίδια διεύθυνση με τον εαυτό της. Η επιτάχυνση, που είναι η δεύτερη παράγωγος, το \ddot{\vec{r}}, ή η παράγωγος της ταχύτητας, είναι το πηλίκον της δύναμης προς τη μάζα.
Aυτό μας λέει, επομένως, πως η ταχύτητα μεταβολής του ρυθμού μεταβολής του εμβαδού είναι ανάλογη προς τη συνιστώσα της δύναμης την κάθετη στην ακτίνα. Αλλά εάν η δύναμη έχει την διεύθυνση της ακτίνας τότε, \vec{r} \times \vec{F}/m=0 ή \ddot{A}, όπως είπε ο Νεύτων. Δηλαδή, δεν υπάρχει δύναμη κάθετη στην ακτίνα, που σημαίνει ότι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού δεν αλλάζει. Το παράδειγμα αυτό δείχνει γλαφυρά πόσο χρήσιμη είναι ανάλυση με τα διάφορα είδη συμβόλων. Ο Νεύτων λίγο-πολύ την κατείχε, μόνο που χρησιμοποιούσε κάπως διαφορετικά σύμβολα. Έγραφε, ωστόσο, τα πάντα σε γεωμετρική μορφή, επειδή απλώς προσπαθούσε να κάνει τα γραπτά του αναγνώσιμα από τους άλλους. Αυτός επινόησε τον μαθηματικό λογισμό που σας έδειξα πιο πάνω….»

απόσπασμα από το βιβλίο του Richard Feynman: «Ο χαρακτήρας του φυσικού κόσμου», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Παρακολουθείστε τον ίδιο τον Richard Feynman να παρουσιάζει το παραπάνω κείμενο (από το 13:50 και μετά):

Richard Feynman: The Character of Physical Law

Click to access the_character_of_physical_law.pdf



Κατηγορίες:ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: , , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: