Γιατί ο αριθμός e=2,7182… είναι άρρητος

Posted on 24/01/2021

0


Κάθε αριθμός που δεν μπορεί να πάρει την μορφή \frac{p}{q} όπου p, \, q ακέραιοι με q \neq 0, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

O αριθμός e=2,718281828…, γνωστός ως αριθμός Εuler, αποτελεί την βάση των φυσικών λογαρίθμων, είναι το όριο της ακολουθίας: και γράφεται ως άθροισμα της άπειρης σειράς:

e=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1+ \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+ \cdots   (1)

H συνάρτηση f(x)=e^{x} έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μια από αυτές είναι ότι η παράγωγός της ισούται με τον εαυτό της. Αν το δούμε από την πλευρά ενός φυσικού, για ένα σώμα που κινείται στον άξονα xx’ και η θέση του συναρτήσει του χρόνου περιγράφεται από την συνάρτηση x(t)=e^{t} (t σε sec και x σε m), τότε
στην θέση x=1 m, έχει ταχύτητα υ=1 m/s και επιτάχυνση α=1 m/s2
στην θέση x=1,7 m, έχει ταχύτητα υ=1,7 m/s και επιτάχυνση α=1,7 m/s2
στην θέση x=2 m, έχει ταχύτητα υ=2 m/s και επιτάχυνση α=2 m/s2
στην θέση x=3,3 m, έχει ταχύτητα υ=3,3 m/s και επιτάχυνση α=3,3 m/s2 κ.ο.κ.
Αλλά δεν είναι αυτό το θέμα μας.

Το ερώτημα που τίθεται στο βίντεο του Numberphile που ακολουθεί είναι το ‘πως αποδεικνύεται ότι ο αριθμός e είναι άρρητος αριθμός’. Θα δείτε (αν δεν το ξέρατε ήδη) πως η απόδειξη δεν είναι και τόσο δύσκολη:

διαβάστε επίσης: «Πότε εμφανίστηκε για πρώτη φορά ο αριθμός e«