Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στα άκρα σωληνοειδούς

Posted on 07/01/2020

0


Σωληνοειδές πεπερασμένου μήκους L, διαμέτρου 2R και με πυκνότητα σπειρών n=N/L, διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα I. Να προσδιοριστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου σε σημείο που βρίσκεται στο άκρο του σωληνοειδούς πάνω στον άξονα του.
Απάντηση: Θα προσδιορίσουμε αρχικά την ένταση του μαγνητικού πεδίου σε ένα σημείο Κ του άξονα του σωληνοειδούς , στο εσωτερικό του. Το σημείο Κ  σχηματίζει με τα άκρα του πηνίου και τον άξονα Οz γωνίες θ1 και θ2. Θεωρούμε το στοιχειώδες τμήμα του πηνίου μήκους  που περιέχει  ndz σπείρες. Τα κυκλικά ρεύματα αυτού του τμήματος δημιουργούν στο σημείο Κ ένταση: d\vec{B}_{z}= \frac{\mu_{0} (n dz I)R^{2}}{2\left[R^{2}+(z-z_{0})^{2} \right]^{3/2}}\vec{u}_{z} (αποδείξτε το χρησιμοποιώντας το νόμο Biot-Savart, και την ίδια λογική με την ηλεκτροστατική περίπτωση ΕΔΩ)

Επίσης ισχύουν:  z_{0}-z=\frac{R}{\tan\theta} ή-dz=-\frac{R}{ \sin^{2} \theta} d \theta και \sin\theta=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(z_{0}-z)^{2}}}, απ’ όπου προκύπτει: \left[R^{2}+(z_{0}-z)^{2}\right]^{3/2}=\frac{R^{3}}{\sin^{3}\theta}. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει \vec{B}_{z}=\vec{u}_{z}\frac{\mu_{0}n I}{2} \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sin\theta d\theta και ολοκληρώνοντας παίρνουμε την ένταση στο σημείο K:

\vec{B}_{z}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\left(\cos\theta_{1} - \cos\theta_{2} \right)\vec{u}_{z}    (1)

  • Αν το πηνίο έχει άπειρο μήκος, τότε: \theta_{1}=0 και \theta_{2}=\pi, οπότε \vec{B}_{z}=\mu_{0}nI \vec{u}_{z}
  • Για πηνίο (ημι-)άπειρου μήκους, στο άκρο του Ο η ένταση θα είναι: \vec{B}_{z}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\vec{u}_{z}, αφού τότε \cos\theta_{1}=\cos\pi/2=0 και cos\theta_{2}=\cos\pi=-1
  • Για πηνίο πεπερασμένου μήκους L, η ένταση στο άκρο Ο προκύπτει αντικαθιστώντας τα συνημίτονα \cos\theta_{1}=\cos\pi/2=0 και \cos\theta_{2}=-\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}} στην εξ. (1).
    Έτσι, στο άκρο του σωληνοειδούς είναι: \vec{B}_{z}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}} \vec{u}_{z}

(νεώτερη ενημέρωση 9/1/2020)

Παρεμπιπτόντως, σύμφωνα με τα παραπάνω η σωστή απάντηση σε σχετική ερώτηση από το study4exams :

Δύο σωληνοειδή πηνία Α, Γ διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, έχουν το ίδιο μήκος και τον ίδιο αριθμό σπειρών. Η διάμετρος του σωληνοειδούς Α είναι διπλάσια αυτής του σωληνοειδούς Γ. Αν με ΒΑ και ΒΓ συμβολίσουμε τα μέτρα των εντάσεων του μαγνητικού πεδίου στα άκρα κάθε σωληνοειδούς αντίστοιχα, ισχύει:
       (α) ΒΑΓ      (β) ΒΑΓ      (γ) ΒΑΓ      (δ) δεν μπορούμε να γνωρίζουμε

είναι η (γ). Πράγματι, σύμφωνα με την τελευταία εξίσωση, \vec{B}_{z}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}} \vec{u}_{z}, βλέπουμε πως το σωληνοειδές με την μεγαλύτερη ακτίνα R, θα έχει μικρότερη ένταση στο άκρο του.

Αυτή φαινόταν να είναι και η αποδεκτή απάντηση (διαβάστε σχετικά ΕΔΩ) αλλά, ενώ είναι η επιστημονικά σωστή επιλογή … τελικά επρόκειτο για τυπογραφικό λάθος, που διορθώθηκε. Η σωστή (για μαθητές) απάντηση θεωρείται η ΒΑΓ, διότι σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο στο άκρο του σωληνοειδούς  το μέτρο της έντασης είναι το μισό του μέτρου της έντασης στο κέντρο του (το οποίο είναι ανεξάρτητο της διαμέτρου του σωληνοειδούς):