Γιατί ο αριθμός e^π είναι υπερβατικός αριθμός

Posted on 16/12/2019

0


To 1934 oι Aleksandr Gelfond και Theodor Schneider έλυσαν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, το 7ο πρόβλημα του Hlbert, δηλαδή απέδειξαν ότι ο αριθμός ab είναι υπερβατικός, αν ο a είναι αλγεβρικός αριθμός διάφορος του μηδενός και της μονάδας, και ο b άρρητος αλγεβρικός αριθμός.

Υπενθυμίζεται ότι ένας μιγαδικός αριθμός ονομάζεται αλγεβρικός, αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές ρητούς αριθμούς. Υπερβατικός είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλαδή δεν είναι ρίζα μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Οι πιο γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί είναι ο π και ο e.

Tώρα, eπ = (eiπ)i=(1)–i

το –1 είναι αλγεβρικός διάφορος των 0 και 1.

το –i είναι άρρητος και αλγεβρικός αριθμός.

Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα Gelfond – Schneider ο αριθμός eπ είναι υπερβατικός.

Με το ίδιο σκεπτικό αποδεικνύεται ότι και ο αριθμός ii=eπ/2(βλέπε «Φανταστικά εκθετικά και η πιο όμορφη εξίσωση στον κόσμο«) είναι επίσης αλγεβρικός.