Ένα σώμα εκτοξεύεται με άπειρη αρχική ταχύτητα

Posted on 26/02/2019

0



Ένα σώμα μάζας m τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με … άπειρη αρχική ταχύτητα (v_{0} = \infty).
Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του  w=mg και
η αντίσταση του αέρα που είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, F= \lambda v^{2} , όπου λ μια σταθερά.

Είναι δυνατόν η ταχύτητα του σώματος να μηδενιστεί σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια το σώμα να επιστρέψει στην αρχική του θέση;

Προφανώς, η άπειρη αρχική ταχύτητα κάνει αδύνατη μια απευθείας επίλυση του προβλήματος, πέραν των παραδόξων που δημιουργεί η παραδοχή μιας άπειρης ταχύτητας.

Θα μπορούσαμε ίσως να προσεγγίσουμε το πρόβλημα έμμεσα, θεωρώντας ότι η αρχική ταχύτητα υ0 είναι πεπερασμένη. Τότε η διαφορική εξίσωση της κίνησης είναι:

m dv/dt=m g+\lambda v^{2} , με αρχική συνθήκη v(0)=v_{0}

Koπιάζοντας λιγάκι μπορούμε να φτάσουμε στη λύση:

v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\lambda}} \tan \left[ \arctan \left( \sqrt{ \frac{\lambda v_{0}^{2}}{mg}} \right)- \sqrt{\frac{\lambda g}{m}}t \right]

Τώρα στη λύση αυτή θεωρούμε ότι η αρχική ταχύτητα τείνει στο άπειρο (και εφόσον \arctan (\infty)=\pi/2), προκύπτει ότι η ταχύτητα του σώματος θα μηδενιστεί σε μια πεπερασμένη χρονική στιγμή:

t_{max} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{\lambda g}}

Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι παρά τον αρχικό απειρισμό της ταχύτητας, το χρονικό διάστημα της κίνησης είναι πεπερασμένο.

Μια κοσμολογική αναλογία

Ας εξετάσουμε τώρα ένα παρόμοιο, αλλά απλούστερο παράδειγμα.

Ένα σώμα που κινείται μόνο υπό την επίδραση της δύναμης τριβής F= -\lambda v^{2} και την χρονική στιγμή t=0 έχει ταχύτητα v_{0} . Τότε η εξίσωση της κίνησης θα είναι:
m dv/dt= -\lambda v^{2}
Λύνοντας την εξίσωση με αρχική συνθήκη v(0)=v_{0} παίρνουμε:
v(t)=\frac{v_{0}}{1+ k v_{0}t}  , όπου k=\frac{\lambda}{m}
H γραφική παράσταση της λύσης φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:

Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα απειρίζεται σε μια χρονική στιγμή του παρελθόντος, t=- 1/kv_{0}. Στο μαθηματικό επίπεδο ο απειρισμός αυτός δεν προκαλεί έκπληξη. Οι λύσεις των μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να απειρίζονται σε σημεία στα οποία η ίδια η εξίσωση δεν έχει καμία ανωμαλία και τα οποία εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος.

Ένας παρατηρητής του φαινομένου που διαπιστώνει ότι η κίνηση του σώματος διέπεται από την εξίσωση m dv/dt= -\lambda v^{2} , θα μπορούσε να σκεφτεί ως εξής: Σύμφωνα με την λύση, η κίνηση αυτή δεν μπορεί παρά ξεκίνησε από μια κατάσταση άπειρης αρχικής ταχύτητας σ’ ένα πεπερασμένο χρόνο στο παρελθόν. Μπορούμε μάλιστα να προσδιορίσουμε τη χρονική στιγμή που συνέβη αυτό το «βίαιο γεγονός» με μετρήσεις που αφορούν μόνο την παρούσα του ταχύτητα v_{0} (μπορoύμε πάντα να θεωρήσουμε το παρόν ως αρχή του χρόνου) και τον συντελεστή k που καθορίζει πόσο γρήγορα θα ελαττώνεται αυτή η ταχύτητα στο μέλλον. Αν ο νόμος της κίνησης είναι σωστός τότε η κατάσταση άπειρης ταχύτητας συνέβη υποχρεωτικά πριν ένα χρονικό διάστημα |1/kυ0|. Πρόκειται για μια κινητή ανωμαλία της οποίας η θέση καθορίζεται από τις «αρχικές συνθήκες» του προβλήματος. Από φυσική άποψη η ύπαρξη της ανωμαλίας στο πεπερασμένο παρελθόν δεν είναι και τόσο δυσεξήγητη. Ο νόμος της τριβής που θεωρήσαμε οδηγεί σε τόσο γρήγορη μείωση ταχύτητας ώστε είναι αδύνατο μια παρούσα κατάσταση πεπερασμένης ταχύτητας να έχει πίσω της ένα άπειρο παρελθόν. Ο μόνος τρόπος για να έχουμε βρεθεί σήμερα με μια μη μηδενική ταχύτητα – υφιστάμενοι καθ’ οδόν μια τόσο ισχυρή απόσβεση (ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας) – είναι να έχουμε εκτοξευθεί πριν από ένα πεπερασμένο χρόνο με άπειρη ταχύτητα.

Δεν είναι τυχαίο που αυτή η περιγραφή μας θυμίζει την περίφημη Μεγάλη Έκρηξη – την λεγόμενη «αρχική ανωμαλία» – που δημιούργησε το σημερινό διαστελλόμενο σύμπαν. Πράγματι το μαθηματικό μοντέλο ενός τέτοιου διαστελλόμενου σύμπαντος, παρά την ασύγκριτα μεγαλύτερη πολυπλοκότητά του, έχει κάτι κοινό με το τετριμένο τωρινό μας πρόβλημα. Προβλέπει υποχρεωτικά την ύπαρξη μιας κατάστασης απειρισμού των φυσικών μεγεθών του σύμπαντος σ΄ένα πεπερασμένο χρόνο στο παρελθόν του που εξαρτάται από την παρούσα ταχύτητα διαστολής και τον ρυθμό (επιβράδυνσης ή) της επιτάχυνσής της. Τώρα μπορούμε να έχουμε μια ιδέα για την μαθηματική αιτία αυτής της αρχικής ανωμαλίας. Είναι ο μη γραμμικός χαρακτήρας των εξισώσεων του Αϊνστάιν που διέπουν την κοσμική εξέλιξη.

πηγή:  «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις», Στέφανος Τραχανάς, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης