Γιατί η απαρίθμηση απλών ελαστικών κρούσεων μας οδηγεί στον αριθμό π;

Mια εντυπωσιακή πειραματική μέθοδος που υπολογίζει τα ψηφία του π είναι το πείραμα με την βελόνα του Buffon. Περιληπτικά: χαράσσουμε στο πάτωμα παράλληλες γραμμές που απέχουν απόσταση L μεταξύ τους. Παίρνουμε μια βελόνα μήκους L/2 και την αφήνουμε να πέσει ελεύθερα, με τυχαίο τρόπο, στο πάτωμα. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αρκετές φορές και καταγράφουμε τις περιπτώσεις που η βελόνα τέμνει κάποια γραμμή στο πάτωμα. Αν ν είναι ο αριθμός των δοκιμών και x οι φορές που η βελόνα τέμνει κάποια παράλληλη γραμμή του πατώματος τότε ισχύει: π ≈ ν/x.(en.wikipedia.org/wiki/Buffon_needle_problem)

Ενώ η μέθοδος προσδιορισμού των ψηφίων του π του Buffon έχει στατιστικό χαρακτήρα, υπάρχει και μια άλλη εξίσου εντυπωσιακή «πειραματική» μέθοδος, η οποία είναι εντελώς αιτιοκρατική. Βασίζεται στην απλή φυσική της ελαστικής κρούσης δυο μαζών σε μια διάσταση.

Θεωρούμε δυο σημειακές μάζες m και Μ, με Μ≥m. Οι μάζες μπορούν να κινούνται κατά μήκος του θετικού άξονα x και σε κάθε συνάντησή τους συγκρούονται ελαστικά μεταξύ τους, και η μικρή μάζα, θα ανακλαστεί ελαστικά σε έναν ακλόνητο τοίχο που βρίσκεται στη θέση x=0. Αφού οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές, σε κάθε κρούση μεταξύ των μαζών διατηρείται η κινητική ενέργεια και η ορμή, ενώ η μικρή μάζα όταν συγκρούεται με τον ακλόνητο τοίχο, η ταχύτητά της αλλάζει μόνο την φορά της.

Έστω ότι ο λόγος των μαζών είναι Μ/m=100^N, όπου Ν ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Δίνουμε στην μεγάλη μάζα μια αρχική οριζόντια ταχύτητα προς τα αριστερά. Μετράμε τον συνολικό αριθμό Π των κρούσεων μεταξύ των μαζών συν τον αριθμό των ανακλάσεων της μικρής μάζας από τον τοίχο.

Για διαφορετικές τιμές του Ν προκύπτουν διαφορετικές τιμές του αριθμού Π, δηλαδή το Π=Π(Ν) είναι μια συνάρτηση του Ν.

Αν Ν=0, τότε ισχύει Μ/m=100⁰ =>m=Μ. Στην περίπτωση αυτή οι δύο μάζες κατά την πρώτη σύγκρουση ανταλλάσσουν ταχύτητες, η μάζα Μ μετά την κρούση παραμένει ακίνητη και η μάζα m κινείται με την ταχύτητα της μάζας Μ, ανακλάται στον ακλόνητο τοίχο και συγκρούεται πάλι με την ακίνητη Μ, ανταλλάσσοντας πάλι ταχύτητες. Εκεί τελειώνει το φαινόμενο, με την m να παραμένει ακίνητη και την Μ να κινείται προς τα δεξιά. Συνολικά είχαμε δυο κρούσεις μεταξύ των δυο μαζών και μια ανάκλαση της m, οπότε Π(0)=3. Ας σημειωθεί ότι το 3 είναι το πρώτο ψηφίο του π.

Στην περίπτωση Ν=1 (M/m=100¹) προκύπτουν Π(1)=31 κρούσεις (τα δυο πρώτα ψηφία του π), και για Ν=2 (M/m=100²), Π(2)=314 κρούσεις (τα τρία πρώτα ψηφία του π).

Αποδεικνύεται ότι: ο αριθμός των κρούσεων Π=Π(Ν) είναι πάντα πεπερασμένος αριθμός και ίσος με έναν αριθμό Ν+1 ψηφίων,
Π(Ν)= 314159265358979323846264338327950288419716939937510…, του οποίου τα Ν πρώτα ψηφία συμπίπτουν με τα πρώτα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π (ξεκινώντας από το 3).

Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος δίνεται από τον G. GALPERIN στο άρθρο του με τίτλο: PLAYING POOL WITHπ (THE NUMBER π FROM A BILLIARD POINT OF VIEW)

Εναλλακτικά μπορείτε να δείτε μια «οπτικοποιημένη» απόδειξη στο βίντεο που ακολουθεί:

δείτε επίσης και το «How colliding blocks act like a beam of light…to compute pi»:

πηγή (και περαιτέρω διερεύνηση): https://ylikonet.gr/2019/02/03/%CE%BF%CE%B9-%CF%83%CF%85%CE%B3%CE%BA%CF%81%CE%BF%CF%85%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF%CE%B9-%CE%BA%CF%8D%CE%B2%CE%BF%CE%B9-%CF%85%CF%80%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B6%CE%BF%CF%85%CE%BD-%CF%84/

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: π, ΚΡΟΥΣΕΙΣ