Ελαστικές κρούσεις και ο αριθμός π

Γιατί η απαρίθμηση απλών ελαστικών κρούσεων μας οδηγεί στον αριθμό π;

Mια εντυπωσιακή πειραματική μέθοδος που υπολογίζει τα ψηφία του π είναι το πείραμα με την βελόνα του Buffon. Περιληπτικά: χαράσσουμε στο πάτωμα παράλληλες γραμμές που απέχουν απόσταση L μεταξύ τους. Παίρνουμε μια βελόνα μήκους L/2 και την αφήνουμε να πέσει ελεύθερα, με τυχαίο τρόπο, στο πάτωμα. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αρκετές φορές και καταγράφουμε τις περιπτώσεις που η βελόνα τέμνει κάποια γραμμή στο πάτωμα. Αν ν είναι ο αριθμός των δοκιμών και x οι φορές που η βελόνα τέμνει κάποια παράλληλη γραμμή του πατώματος τότε ισχύει: π ≈ ν/x.(en.wikipedia.org/wiki/Buffon_needle_problem)

Ενώ η μέθοδος προσδιορισμού των ψηφίων του π του Buffon έχει στατιστικό χαρακτήρα, υπάρχει και μια άλλη εξίσου εντυπωσιακή «πειραματική» μέθοδος, η οποία είναι εντελώς αιτιοκρατική. Βασίζεται στην απλή φυσική της ελαστικής κρούσης δυο μαζών σε μια διάσταση.

Θεωρούμε δυο σημειακές μάζες m και Μ, με Μ≥m. Οι μάζες μπορούν να κινούνται κατά μήκος του θετικού άξονα x και σε κάθε συνάντησή τους συγκρούονται ελαστικά μεταξύ τους, και η μικρή μάζα, θα ανακλαστεί ελαστικά σε έναν ακλόνητο τοίχο που βρίσκεται στη θέση x=0. Αφού οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές, σε κάθε κρούση μεταξύ των μαζών διατηρείται η κινητική ενέργεια και η ορμή, ενώ η μικρή μάζα όταν συγκρούεται με τον ακλόνητο τοίχο, η ταχύτητά της αλλάζει μόνο την φορά της.

Έστω ότι ο λόγος των μαζών είναι Μ/m=100N, όπου Ν ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Δίνουμε στην μεγάλη μάζα μια αρχική οριζόντια ταχύτητα προς τα αριστερά. Μετράμε τον συνολικό αριθμό Π των κρούσεων μεταξύ των μαζών συν τον αριθμό των ανακλάσεων της μικρής μάζας από τον τοίχο.

Για διαφορετικές τιμές του Ν προκύπτουν διαφορετικές τιμές του αριθμού Π, δηλαδή το Π=Π(Ν) είναι μια συνάρτηση του Ν.

Αν Ν=0, τότε ισχύει Μ/m=1000 =>m=Μ. Στην περίπτωση αυτή οι δύο μάζες κατά την πρώτη σύγκρουση ανταλλάσσουν ταχύτητες, η μάζα Μ μετά την κρούση παραμένει ακίνητη και η μάζα m κινείται με την ταχύτητα της μάζας Μ, ανακλάται στον ακλόνητο τοίχο και συγκρούεται πάλι με την ακίνητη Μ, ανταλλάσσοντας πάλι ταχύτητες. Εκεί τελειώνει το φαινόμενο, με την m να παραμένει ακίνητη και την Μ να κινείται προς τα δεξιά. Συνολικά είχαμε δυο κρούσεις μεταξύ των δυο μαζών και μια ανάκλαση της m, οπότε Π(0)=3. Ας σημειωθεί ότι το 3 είναι το πρώτο ψηφίο του π.

Στην περίπτωση Ν=1 (M/m=1001) προκύπτουν Π(1)=31 κρούσεις (τα δυο πρώτα ψηφία του π), και για Ν=2 (M/m=1002), Π(2)=314 κρούσεις (τα τρία πρώτα ψηφία του π).

Αποδεικνύεται ότι: ο αριθμός των κρούσεων Π=Π(Ν) είναι πάντα πεπερασμένος αριθμός και ίσος με έναν αριθμό Ν+1 ψηφίων,
Π(Ν)= 314159265358979323846264338327950288419716939937510…, του οποίου τα Ν πρώτα ψηφία συμπίπτουν με τα πρώτα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π (ξεκινώντας από το 3)
.

Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος δίνεται από τον G. GALPERIN στο άρθρο του με τίτλο: PLAYING POOL WITHπ (THE NUMBER π FROM A BILLIARD POINT OF VIEW)

Εναλλακτικά μπορείτε να δείτε μια «οπτικοποιημένη» απόδειξη στο βίντεο που ακολουθεί:

δείτε επίσης και το «How colliding blocks act like a beam of light…to compute pi»:

πηγή (και περαιτέρω διερεύνηση): https://ylikonet.gr/2019/02/03/%CE%BF%CE%B9-%CF%83%CF%85%CE%B3%CE%BA%CF%81%CE%BF%CF%85%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF%CE%B9-%CE%BA%CF%8D%CE%B2%CE%BF%CE%B9-%CF%85%CF%80%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B6%CE%BF%CF%85%CE%BD-%CF%84/



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: ,

3 replies

  1. Το άρθρο έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Στην προτελευταία παράγραφο θα πρέπει να κάνετε δύο μικρές διορθώσεις στον λόγο των μαζών που είναι αντίστροφα γραμμένος και στην 2η τιμή του λόγου (για Ν=2) που δεν είναι 100.

  2. Φοβερό κανάλι το 3Blue1Brown

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: