Τι μας διδάσκει το γεγονός ότι √2+√3≈π

Posted on 29/05/2018

0



Επειδή κάποιοι έχουν ξεχάσει εντελώς την σχολική γεωμετρία, τους υπενθυμίζουμε ότι,
(α) το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος ακτίνας R=1 σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα
είναι:
E_{6} =6 \frac{1}{2} \lambda_{6} R
αλλά \lambda_{6}^{2} = R^{2} + \left(\frac{\lambda_{6}}{2}\right)^2 και \lambda_{6}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}R,
οπότε E_{6} =2\sqrt{3} R^{2}=2\sqrt{3}.
(β) το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R=1 σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα
θα είναι: E_{8} =4 \frac{\lambda_{4} R}{2}, όπου λ4 η πλευρά του κανονικού τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο. Παρατηρείστε ότι το οκτάγωνο συνίσταται από τέσσερα τετράπλευρα των οποίων οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα. Και το εμβαδόν τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους (λκαι R), ισούται με το ημι-γινόμενο των διαγωνίων του. Εφόσον \lambda_{4}= \sqrt{R^{2} + R^{2}}=R\sqrt{2}, το εμβαδόν του οκταγώνου θα είναι E_{8} =2 \sqrt{2}R^{2}= 2 \sqrt{2}

Έτσι, τo εμβαδόν του κύκλου θα είναι \pi R^{2}=\pi\cong \frac{E_{6} + E{8}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}.

via https://twitter.com/fermatslibrary/status/1001084452972433408