Στα μαθηματικά το όνειρο του δευτεροετούς θεωρείται η ταυτότητα:
,
αλλά και η
To όνομα «sophomore’s dream» εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο των Borwein, Bailey και Girgensohn «Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery» (2004), κατ’ αναλογία με το όνομα «freshman’s dream» (το όνειρο του πρωτοετή) που είναι η λανθασμένη ταυτότητα . Όμως οι ταυτότητες του Sophomore’s dream είναι αληθείς.
Η ταυτότητα «του ονείρου του δευτεροετούς», αποδεικνύεται σε μια δημοσίευση του Johann Bernoulli το 1697 όπου επιχειρεί να υπολογίσει το εμβαδόν κάτω από την γραφική παράσταση της καμπύλης από x=0 έως x=1. Επρόκειτο για την συνέχεια μιας προηγούμενης εργασίας στην ίδια χρονιά, όπου ξεκαθάριζε τον λανθασμένο συλλογισμό: (μια «παρατραβηγμένη» εφαρμογή των κανόνων ολοκλήρωσης) και της μελέτης της συνάρτησης
Στην δεύτερη εργασία του 1697 ο Johann Bernoulli αποδεικνύει την δεύτερη ταυτότητα του Sophomore’s dream παρατηρώντας ότι συγκλίνει ταχύτατα. Το ίδιο ισχύει και για την πρώτη ταυτότητα:
,
όπου για τον προσδιορισμό των 20 πρώτων δεκαδικών ψηφίων αρκεί ο υπολογισμός των 16 πρώτων στης σειράς.
πηγές: en.wikipedia.org –
William Dunham, «The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue», Princeton University Press
Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Σχολιάστε