Ένας πρωτότυπος τρόπος διερεύνησης των κρούσεων

Posted on 03/05/2017

0


Ένα σχεδόν «μαγικό» πείραμα που μπορεί γίνει πολύ εύκολα είναι το εξής:
Πάρτε ένα μπαλάκι του τένις και τοποθετήστε το πάνω σε μια μπάλα του μπάσκετ. Η μπάλα του μπάσκετ έχει αρκετά μεγαλύτερη μάζα από το μπαλάκι του τένις. Αφήστε τις δυο μπάλες να πέσουν στο πάτωμα προσέχοντας έτσι ώστε η μικρή μπάλα να μην ξεφύγει από την κορυφή της μεγάλης μπάλας. Όταν η μεγάλη μπάλα χτυπήσει στο πάτωμα αντιστρέφει την διεύθυνση της κίνησής της, χωρίς να αλλάξει ταχύτητα, με αποτέλεσμα για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα η μεγάλη μπάλα να κατευθύνεται προς τα πάνω και η μικρή μπάλα προς τα κάτω με την ίδια ταχύτητα. Αμέσως μετά, η μικρή μπάλα αναπηδά προς τα πάνω με σχεδόν τρεις φορές την αρχική της ταχύτητα. Το ύψος που μπορεί να φτάσει μια μπάλα που κινείται προς τα πάνω είναι ανάλογο του τετραγώνου της αρχικής ταχύτητας της μπάλας, κι αν οι απώλειες λόγω τριβών είναι μικρές, τότε η μικρή μπάλα μπορεί να εκτοξευθεί προς τα πάνω σχεδόν εννιά φορές το ύψος από το οποίο την ρίξαμε αρχικά!

δείτε μια παραλλαγή του πειράματος στο βίντεο «Stacked Ball Drop» (που συσχετίζει το φαινόμενο ακόμα και με την έκρηξη των σουπερνόβα …)

Το γεγονός ότι μικρή μπάλα μετά την κρούση έχει τριπλάσια ταχύτητα από την ταχύτητά της πριν την κρούση μπορεί να εξαχθεί αλγεβρικά, εφαρμόζοντας τις εξισώσεις των ταχυτήτων μετά την ελαστική κρούση, όπως προκύπτουν όταν εφαρμόζουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και ενέργειας:

Αρκεί να θεωρήσουμε ότι οι δύο μάζες (m2>>m1) κινούνται με ταχύτητες ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς. Αλλά έτσι μπλέκουμε με μαθηματικές εξισώσεις και πολλές αλγεβρικές πράξεις …

Ευτυχώς υπάρχει ένας απλούστερος τρόπος. Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζουμε ότι όταν μια μπάλα συγκρούεται ελαστικά με μια άλλη μπάλα πολύ μεγαλύτερης μάζας που είναι ακίνητη, η μικρή μπάλα ανακλάται με την ίδια ταχύτητα προς τα πίσω, ενώ η μεγάλη μπάλα παραμείνει ακίνητη (σαν να συγκρούεται ένα μπαλάκι του πιγκ-πογκ με μια ακίνητη μπάλα του μπόουλιγκ). Και κάτι ακόμα. Να χειριζόμαστε την απλούστατη έννοια της σχετικής ταχύτητας.

Διαθέτουμε λοιπόν δυο ελαστικές μπάλες – η μία έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από την άλλη (m2>>m1) –  και στο σύστημα αναφοράς ενός ευθύγραμμα κινούμενου τρένου με σταθερή ταχύτητα Vτ=10 m/s πραγματοποιείται το εξής πείραμα: η μικρή μπάλα κινείται κατά μήκος του τρένου με ταχύτητα υ1=10 m/s (ως προς το σύστημα αναφοράς του τρένου) και συγκρούεται ελαστικά – μετωπικά με την μεγάλη μπάλα, η οποία είναι ακίνητη (ως προς το τρένο).Όπως είπαμε και προηγουμένως, η μικρή μπάλα απλά θα ανακλαστεί με την ίδια ταχύτητα και η μεγάλη μπάλα θα παραμείνει ακίνητη.

Και γιατί θεωρούμε ότι το πείραμα γίνεται μέσα σε τρένο που κινείται ευθύγραμμα ομαλά με Vτ=10m/s;

Για να απαντήσουμε σε ένα άλλο ερώτημα του οποίου η απάντηση δεν είναι και τόσο προφανής:

Με τι ταχύτητα θα κινηθεί η κάθε μπάλα μετά την ελαστική κρούση, αν η μικρή μπάλα είναι ακίνητη και η μεγάλη μάζα πέφτει πάνω της με ταχύτητα 10  m/s;

Αν στο προηγούμενο παράδειγμα «μεταφερθούμε» στο σύστημα αναφοράς του σιδηροδρομικού σταθμού, τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι ως προς το σύστημα αυτό, πριν την κρούση η μεγάλη μπάλα κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα 10 m/s, ενώ η μικρή μπάλα είναι ακίνητη.

Τι θα βλέπει ο παρατηρητής στο σύστημα αναφοράς του σιδηροδρομικού σταθμού μετά την κρούση;

Αφού γνωρίζουμε τι συμβαίνει στο σύστημα αναφοράς του τρένου, μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε τι θα βλέπει ο παρατηρητής του σταθμού αμέσως μετά την κρούση:Η μικρή μπάλα θα έχει τώρα ταχύτητα 20 m/s και η μεγάλη πάλι 10m/s.

Με λίγα λόγια, αν η μικρή μπάλα είναι αρχικά ακίνητη, τότε μετά την κρούση θα κινείται με την διπλάσια ταχύτητα της μεγάλης μπάλας.

Ένα δεύτερο ενδιαφέρον συμπέρασμα προκύπτει αν θεωρήσουμε πάλι τις δυο μπάλες (η μία πολύ μικρότερης μάζας από την άλλη) και ότι το τρένο κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, αλλά με ταχύτητα 5 m/s.

Τότε οι δυο μπάλες – ως προς το σύστημα αναφοράς του σταθμού – φαίνονται να κινούνται πριν την κρούση με αντίθετες ταχύτητες μέτρου 5 m/s.

Στην περίπτωση αυτή, εφαρμόζοντας την ίδια συλλογιστική, μπορούμε να βρούμε αμέσως τις ταχύτητες των δυο μαζών (ως προς το σύστημα αναφοράς του σταθμού):  Τώρα η μικρή μάζα θα κινηθεί με ταχύτητα τριπλάσια από την αρχική της. Έτσι εξηγείται και το αποτέλεσμα του εντυπωσιακού πειράματος με τις μπάλες  του μπάσκετ και του τένις που αναφέρθηκε στην αρχή της ανάρτησης.

Η συλλογιστική που εφαρμόζουμε εδώ παρουσιάζεται (με περισσότερα παραδείγματα) σε ένα βιβλίο που μας εισάγει με έναν εντυπωσιακά πρωτότυπο τρόπο στην θεωρία της ειδικής σχετικότητας του Αϊνστάιν. Πρόκειται για το βιβλίο του N. David Mermin «Είναι θέμα χρόνου», εκδόσεις ΡΟΠΗ. Ο Mermin στο πρώτο κεφάλαιο προσπαθεί να εξηγήσει την αρχή της σχετικότητας και να εξασκήσει τον αναγνώστη στο να εναλλάσσει την περιγραφή των γεγονότων από την οπτική του ενός συστήματος αναφοράς (π.χ. του τρένου) στην οπτική ενός άλλου συστήματος αναφοράς (π.χ. του σταθμού). Η σχετικότητα, κατά τη γνώμη του Mermin, πρέπει να αποτελεί μέρος της ύλης του λυκείου για δυο βασικούς λόγους: αρχικά, γιατί αποτελεί μια εκπληκτική εφαρμογή των μαθηματικών του λυκείου, αλλά και επειδή όλοι μας, χωρίς να το γνωρίζουμε, είμαστε αρκετά εξοικειωμένοι με την έννοια της σχετικότητας. Γιατί η σχετικότητα έχει να κάνει με τον χρόνο. Τι άλλο θα μπορούσε να μας είναι πιο οικείο; …
Διαβάστε τον πρόλογο του Θεοχάρη Αποστολάτου ΕΔΩ: http://www.anixneuseis.gr/?p=164349

Ετικέτα: