Τρεις μαθηματικοί γρίφοι του Ραμανουτζάν

Posted on 17/07/2016

0


1ο πρόβλημα

Το 1911 ο ιδιοφυής ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν ζήτησε από τους αναγνώστες ενός μαθηματικού περιοδικού να αποδείξουν ότι:

3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1 + 4\sqrt{1+5\sqrt{\cdots}}}}}

Όμως ο καιρός περνούσε, εκδόθηκαν άλλα τρία τεύχη του περιοδικού και κανείς δεν πρότεινε κάποια λύση του προβλήματος. Έτσι, ο ίδιος ο Ραμανουτζάν αναγκάστηκε να δώσει την απάντηση. Κι όμως, για τον υπολογισμό της παράστασης αρκεί η στοιχειώδης μαθηματική ταυτότητα: (x+1)^2 = x^2+2x+1 ή (x+1)^2 = 1 + x(x+2)

2ο πρόβλημα

Ο Ραμανουτζάν είχε εντυπωσιάσει τον καθηγητή του Κέμπριτζ, Χάρντι με τους εκπληκτικούς τύπους των συνεχών κλασμάτων που ανακάλυπτε. Σε ένα συνεχές κλάσμα ο παρονομαστής του αποτελείται από έναν αριθμό συν ένα κλάσμα, του οποίου ο παρονομαστής αποτελείται από έναν αριθμό συν ένα κλάσμα κ.ο.κ. Η σχέση που ακολουθεί συσχετίζει ένα συνεχές κλάσμα με την χρυσή αναλογία:

\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}

Η απόδειξη της παραπάνω εξίσωσης μπορεί να γίνει πολύ εύκολα, αρκεί να πάρουμε υπόψη την παρακάτω εικόνα: phi1

3ο πρόβλημα

Το Δεκέμβριο του 1914 στη στήλη «Σπαζοκεφαλιές» του αγγλικού περιοδικού Strand δημοσιεύθηκε μια ιστορία-γρίφος που απασχόλησε τον Ραμανουτζάν και τον φίλο του, Πρασάντα Τσάντρα Μαχαλανόμπις. Το πρόβλημα είχε κεντρίσει αρχικά το ενδιαφέρον του Μαχαλανόμπις, ο οποίος στη συνέχεια το έδειξε στον Ραμανουτζάν, προκαλώντας τον να βρει την απάντηση.

Η ιστορία-γρίφος
«Είχα πιάσει συζήτηση τις προάλλες», είπε ο Γουίλιαμ Ρότζερ στην ομήγυρη των χωριανών που είχαν μαζευτεί γύρω από τη φωτιά του πανδοχείου, «σε έναν κύριο σχετικά με την πόλη που λέγεται Λουβέν, και την οποία κατέκαψαν οι Γερμανοί (στον 1ο  παγκόσμιο πόλεμο). Μου είπε ότι τη γνώριζε καλά – επισκέπτονταν συχνά εκεί έναν βέλγο φίλο. Είπε ότι το σπίτι του φίλου του βρισκόταν σε μια οδό με πολλά νούμερα, τα οποία ξεκινούσαν από τη μια μεριά με ένα, δυο, τρία και ούτω καθεξής, και ότι όλα τα νούμερα πριν από το σπίτι του είχαν ακριβώς το ίδιο άθροισμα με όλα τα νούμερα μετά το σπίτι του. Αστείο πράμα! Ισχυρίστηκε πως ήξερε ότι υπήρχαν περισσότερα από 50 σπίτια σε αυτή τη μεριά του δρόμου, αλλά λιγότερα από 500. Ανέφερα το θέμα στον εφημέριό μας, και εκείνος με ένα μολύβι έβγαλε τον αριθμό του σπιτιού που ζούσε ο Βέλγος. Δεν ξέρω πως το έκανε».
Μήπως μπορείτε να βρείτε αυτόν τον αριθμό;

 

 

Απαντήσεις

1ο πρόβλημα
Ισχύει (x+1)^2 = 1 + x(x+2) ή (x+1) = \sqrt{1 + x(x+2)}
οπότε
για x=2 προκύπτει 3=\sqrt{1+2 \cdot 4}
για x=3, 4=\sqrt{1+ 3 \cdot 5}
για x=4, 5=\sqrt{1+ 4 \cdot 6} κ.ο.κ.
Αντικαθιστώντας στην πρώτη ισότητα θα έχουμε διαδοχικά:
3=\sqrt{1+2 \sqrt{1+ 3 \cdot 5}} ,
3=\sqrt{1+2 \sqrt{1+ 3 \sqrt{1+ 4 \cdot 6}}} κ.ο.κ

2ο πρόβλημα
Η παράσταση στο μπλε πλαίσιο είναι ίδια με την αρχική οπότε:
\phi = 1 + 1/\phi ή \phi^2 -\phi -1 =0 , απ’ όπου προκύπτει ότι \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Διαβάστε σχετικά με το 1ο και 2ο πρόβλημα ΕΔΩ: «Ατελείωτες τετραγωνικές ρίζες από τον Ραμανουτζάν«

3ο πρόβλημα
Μέσω της μεθόδου δοκιμής και σφάλματος, ο Μαχαλανόμπις βρήκε τη λύση μέσα σε λίγα λεπτά. Και ο Ραμανουτζάν τη βρήκε, αλλά με έναν ελιγμό. «Γράψε τη λύση σε παρακαλώ», είπε – και υπαγόρευσε στη συνέχεια ένα συνεχές κλάσμα. Δεν επρόκειτο απλώς για τη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος, αλλά για τη λύση μιας ολόκληρης κλάσης προβλημάτων που υπαινισσόταν ο γρίφος. Με τον τρόπο με τον οποίο διατυπώθηκε, το πρόβλημα δεν είχε παρά μια λύση – το σπίτι με τον αριθμό 204 σε ένα δρόμο με 288 σπίτια:
1 + 2 + 3 + … + 203 = 205 + 206 + … + 288. Χωρίς τον περιορισμό 50 και 500, υπήρχαν και άλλες λύσεις. Για παράδειγμα σε ένα δρόμο με 8 σπίτια, η σωστή απάντηση θα ήταν το υπ’ αριθμόν 6 σπίτι:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8
Το συνεχές κλάσμα του Ραμανουτζάν περιείχε μέσα σε μια και μοναδική έκφραση όλες τις ορθές απαντήσεις. Ο Μαχαλανόμπις έμεινε άλαλος. Πως το έκανες αυτό; ρώτησε τον Ραμανουτζάν. «Μόλις άκουσα το πρόβλημα ήμουν βέβαιος ότι η λύση έπρεπε προφανώς να είναι ένα συνεχές κλάσμα∙ στη συνέχεια σκέφτηκα, ποιο συνεχές κλάσμα; Και η απάντηση μου ήρθε αμέσως».

διαβάστε περισσότερα σχετικά με τις απαντήσεις ΕΔΩ: Three Puzzles Inspired by Ramanujan, quantamagazine και ΕΔΩ: ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ, Ο Ινδός Μαθηματικός, Robert Kanigel, εκδόσεις Τραυλός

Ετικέτα: