Είναι γνωστό από τα μαθηματικά – και λογικότατο – ότι το άθροισμα αυτό τείνει στο άπειρο:
Κι όμως … για μερικούς φυσικούς ισχύει και το εξής εκπληκτικό (!) αποτέλεσμα:
Είναι τρελοί αυτοί οι φυσικοί;
Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται στο βιβλίο «String Theory» Volume 1, του Joseph Polchinski (κατεβάστε το σε σε PDF: ΕΔΩ), όπως διαπιστώνουμε από το παρακάτω απόσπασμα (σελ. 22):
Το βίντεο του NumberPhile που ακολουθεί μας εξηγεί το τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί καταλήγουν σ’ αυτό το απίστευτο αποτέλεσμα:
(νεώτερη ενημέρωση 18/1/2018)
Mathologer vs Numberphile
Η αλήθεια σχετικά με το άθροισμα 1+2+3+…=-1/12
Ένα νέο βίντεο από το Mathologer φιλοδοξεί να ξεκαθαρίσει οριστικά τα ερωτηματικά που δημιούργησε το αρχικό βίντεο του Numberphile:
Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
physicsgg 
Πρώτη φορά η διαισθησή μας μάς προδίδει τόσο.
Επισυνάπτω pdf με τα βασικά των απειροσειρών. [http://edu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/seires.pdf]
Στη πρώτη απόδειξη υπάρχει η παραδοχή ότι το S1 ισούται με 1/2. Η σειρά κυμαίνεται (σελίδα 1 στο pdf) και δεν μπορούμε να πούμε ότι «ισούται» με 1/2. Δεν συγκλίνει σε κάποιο όριο στο R.
Όσον αφορά την δεύτερη απόδειξη, αυτή στηρίζεται στην παραδοχή οτί το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου (1+x+x^2+x^3….) συγκλίνει στο 1/(1-x). To πρόβλημα είναι οτί αυτό ισχύει για |x|<1 και όχι για x<1 όπως λέει ο φίλος στο video. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται το αποτέλεσμα σύγκλισης της σειράς για x=-1 και πάνω σε αυτό στηρίζεται στη συνέχεια η απόδειξη. Στην πραγματικότητα για x μικρότερο ή ίσο με -1 η σειρά δεν συγκλίνει σε κάποιο όριο. (βλέπε σελίδες 4 και 5 sto pdf).
Όσον αφορά εμένα πρόκειται για άλλο ένα μαθηματικό τρικ στο οποίο μη λαμβάνοντας υπόψην κάποιο απόλυτο, ή διαιρώντας με x και στη συνέχεια με χρήση του ως παρονομαστή(διαίρεση με το μηδεν) ή με κάποιο άλλο "ταχυδακτυλοργικό" καταλήγουμε σε κάποιο αποτέλεσμα που δεν έχει νόημα, τουλάχιστον στιυς πραγματικούς αριθμούς. Επειδή δεν έχω εντρυφήσει στη θεωρία των χορδών, δεν ξέρω αν μιλάμε για κάποιον άλλο διανυσματικό χώρο με περισσότερες διαστάσεις κ.λ.π. αλλά όσον αφορά τον συνήθη διανυσματικό χώρο των πραγματικών αριθμών, οι αποδείξεις στηρίζονται σε τεχνάσματα και τρικ….
Φίλε Σπύρο,
Πράγματι η σειρά αποκλίνει κατά τη συνήθη έννοια που μαθαίνει κανείς στον απειροστικό λογισμό καθώς η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της -όπως σωστά αναφέρεις- δεν συγκλίνει σε κάποιο πεπερασμένο όριο και φυσικά δεν μπορεί κάποιος να θέσει αυθαίρετα x=1 όταν βρίσκεται στο διάστημα (-1,1). Κατά τη γνώμη μου, αν και αυτό συνεισφέρει στη γενικότερη σύγχυση, ο τρόπος αυτός παραμένει ο καλύτερος με σκοπό να «δείξεις» με έναν πολύ απλοϊκό και heuristic τρόπο το αποτέλεσμα (όπως φαίνεται και στην «απόδειξη» που αναπαράγει ο Baez εδώ: http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/24.pdf) όπου υποτίθεται ότι έχεις x > 1 για να εξασφαλίζεται η σύγκλιση (ή αντίστοιχα στην συνάρτηση ζ μέχεις Re(s) > 1).
Αυτά όμως ισχύουν όσον αφορά τη συμβατική έννοια της άθροισης, καθώς υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι αθροίσεων (δηλαδή μέθοδοι κατά τους οποίους αντιστοιχούμε τιμές σε διάφορα αποκλίνοντα αθροίσματα – o Abel αστειευόμενος έλεγε πως οι αποκλίνουσες σειρές είναι εφεύρεση του διαβόλου). Αυτές έρχονται με ονόματα όπως άθροιση κατά Euler, Abel, Borel, Cesaro, Lambert, Hoelder, Mittag-Leffler κ.ο.κ Έτσι ακριβώς υπάρχει και η άθροιση κατά Ramanujan (http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation) και ακριβώς γι’αυτό τον λόγο το παραπάνω δεν αποτελεί ένα «ακόμη ταχυδακτυλουργικό τρικ» αλλά τουναντίων, ένα πολύ βαθύ αποτέλεσμα. Δύο άλλα παρόμοια αποτέλεσμα που μου ήρθαν κατά νου είναι αυτό στη θέση του Landau (http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0803/0803.3787v2.pdf – μόλις 17 σελίδες μεταφρασμένη) που ξεγελάει γρήγορα κάποιον, αφού σε αυτή την περίπτωση-άθροιση ισχύει ακόμα ότι ζ(1) = \infty ως η αρμονική αλλά με κάποια προπαρασκευή μπορείς να θέσεις χωρίς πρόβλημα s=1 στη γνωστή σχέση αντιστροφής \sum μ(n) / n^s = 1/ζ(s) και πάρεις 0, όπου μ η συνάρτηση του Moebius. Ένα άλλο είναι εκείνο το 1+1+1+…=-1/2 στο οποίο αντανακλάται το γεγονός της αναλυτικής συνέχειας της συναρτήσεως ζ σε όλο το μιγαδικό επίπεδο(http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF)
Τέλος, θέλω να επισημάνω ότι η τεχνική της κανονικοποίησης μέσω της συναρτήσεως ζήτα του Riemann έχει ένα τεράστιο εύρος εφαρμογών στη φυσική.(http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization) Πέρα από τη μποζονική θεωρία χορδών (στην οποία η κανονικοποίηση παρεισφρύει όταν απαιτούμε η σύμμορφη θεωρία πεδίου πάνω στην κοσμική επιφάνεια που σαρώνει μια χορδή στον χωρόχρονο να είναι αναλλοίωτη κατά Lorentz έτσι ώστε να να αναιρούνται οι ανωμαλίες βαθμίδας) υπάρχει εφαρμογή στην κβαντική θεωρία πεδίου στo λεγόμενο φαινόμενο Casimir στον οποίο παίρνουμε έναν τύπο για τη ZPE δύναμη λόγω τυχαίων κβαντικών διακυμάνσεων του κενού,
(http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_force#Derivation_of_Casimir_effect_assuming_zeta-regularization), στην διεξαγωγή του νόμου Stefan-Boltzmann (http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan%E2%80%93Boltzmann_law#Derivation_from_Planck.27s_law) από τον νόμο ακτινοβολίας μέλανος σώματος του Planck ακόμα και στην κοσμολογία σχετικά με το μυστήριο της βαρυονικής ασυμμετρίας μεταξύ ύλης και αντιύλης τις πρώτες στιγμές του BB (http://en.wikipedia.org/wiki/Baryogenesis#Baryon_asymmetry_parameter)
Μεγάλη είναι και η συχνότητα με την οποία τη χρησιμοποιεί κάποιος που ασχολείται με σειρές Fourier σε προβλήματα DSP για να πάρει αποτελέσματα _πλήρους_ φυσικού νοήματος.
Μάλιστα οι μαθηματικοί έχουν πάει ακόμα πιο βαθιά, αναζητώντας τις ρίζες αυτού του αποτελέσματος, αλλά η θεωρία αυτή είναι πραγματικά δύσκολη και ενδεχομένως έστω και η αναφορά σε αυτήν θα ξέφευγε από το σκοπό του παρόντος ιστολογίου.
Φιλικά
Με ποια Άλγεβρα…; :)d
Στην θεωρία Χορδών ισχύει.
Κάπου αλλού όχι.
Σαν φοιτητης πολυτεχνικης σχολης με προβληματισε αρκετα το παραπανω αποτελεσμα και πιστευω οτι το βιντεο του numberphile μπερδευει συγχιζει και προοθει την αντιληψη οτι τα μαθηματικα ειναι ακατανοητα και γεματα αντιφασεις, μη δινοντας σαφεις εξηγησεις. Ειλικρινα πιστευω οτι ειναι πολυ λαθος βιντεο, φτιαγμενο για να εντυπωσιασει τους μη μυημενος στον χωρο. Επισυναπτω ενα αλλο βιντεο που εξηγει και νομιμοποιει το αποτελεσμα, που οντως ειναι μαθηματικα σωστο. Συφωνω και με τους 2 παραπανω σχολιαστες pu2keqiri και Σπυρο. https://www.youtube.com/watch?v=jcKRGpMiVTw
Ναι , προφανώς και ο υπολογισμός που γίνετε είναι λάθος.
Η Σειρά έχει όριο το + άπειρο.
Αν η θεωρία των χορδών θεωρεί ότι η σειρά ισούται με -1/12 ,προφανώς
τ’αποτελέσματα που είναι συνδεδεμένα με την παραπάνω θεωρήση είναι
και αυτά λάθος.
(Ελπίζω να μην διαγραφή η ανάρτηση που θα κάνω , όπως έγινε με την προηγούμενη.)
Μπορεί όποιος επιθυμεί να δει τον σύνδεσμο από την βικιπαίδεια.
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF
Προφανώς και είναι λανθασμένος ο ισχυρισμός. Το άθροισμα Sν=1+2+…+ν, όπου ν θετικός ακέραιος είναι άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου (αν) με πρώτο όρο α1=1 και διαφορά ω=1. Ο ν-στός όρος της αριθμητικής προόδου είναι αν=α1+(ν-1)*ω=1+(ν-1)=ν. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων υπολογίζεται από την σχέση Sν=ν*α1+[ν*(ν-1)/2]*ω, οπότε προκύπτει Sν=ν*1+{ν*(ν-1)/2]*1=1+[ν*(ν-1)/2]=1+{[(ν^2)-ν]/2=[(ν^2)+ν]/2=ν*(ν+1)/2. Το άθροισμα απείρων όρων 1+2+… ισούται με το όριο lim(ν->+οο)Sν, όπου οο το σύμβολο του απείρου. Συνεπώς: lim(ν->+οο)Sν=lim(ν->+οο){[(ν^2)+ν]/2}=lim(ν->+οο)[(ν^2)/2]=+οο Επομένως το άθροισμα των απείρων όρων 1+2+3+…, τείνει στο +οο. Αυτό σημαίνει ότι γίνεται απεριόριστα μεγάλο.
ΛΑΘΟΣ Νο1: Το άθροισμα απείρων όρων Σ=1-1+1-1+… δεν ορίζεται. Ας δούμε γιατί. Αν ο αριθμός ν, των όρων που προστίθενται, είναι περιττός, τότε Σν=1-1+…+1=ν*1+(ν-1)*(-1)=ν-ν+1=1. Αν ο αριθμός ν είναι άρτιος, τότε Σν=1-1+…+1-1=ν*1+ν*(-1)=ν-ν=0. Το ν μπορεί να τείνει στο άπειρο τόσο λαμβάνοντας μόνο άρτιες τιμές, όσο λαμβάνοντας μόνο περιττές τιμές. Αν ο ν λαμβάνει μόνο τιμές περιττών αριθμών τότε lim(ν->+οο)Σν=lim(ν->+οο)1=1. Αν ο ν λαμβάνει μόνο τιμές άρτιων αριθμών, τότε lim(ν->+οο)Σν=lim(ν->+οο)0=0. Επειδή προκύπτει διαφορετική τιμή για κάθε ένα από τα 2 όρια, τότε το όριο lim(ν->+οο)Σν δεν ορίζεται. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα απείρων όρων 1-1+… δεν ορίζεται. Πρόκειται για μια αποκλίνουσα εναλλάσσουσα σειρά αριθμών. Το λάθος είναι ότι γίνεται η εσφαλμένη παραδοχή πως το άθροισμα Σ (ή S1 όπως αναφέρεται στο video) ορίζεται και είναι πραγματικός αριθμός, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη.
ΛΑΘΟΣ Νο2: Το άθροισμα απείρων όρων σ=1-2+3-4+… δεν ορίζεται. Ας δούμε γιατί. Θεωρούμε το άθροισμα σν των πρώτων ν όρων του αθροίσματος σ, όπου ο αριθμός ν είναι θετικός ακέραιος. Αν ο αριθμός ν είναι περιττός, τότε έχουμε σν=1-2+3-4+…+(ν-2)-(ν-1)+ν=(1-2)+(3-4)+…+[(ν-2)-(ν-1)]+ν=(-1)+(-1)+…+(-1)+ν=[(-1)+(-1)+…+(-1)]+ν= [(ν-1)/2]*(-1)+ν=-[(ν-1)/2}+ν=(ν+1)/2 Αν ο αριθμός ν είναι άρτιος, τότε έχουμε σν=1-2+3-4+…+(ν-1)-ν=(1-2)+(3-4)+…+[(ν-1)-ν]=(-1)+(-1)+…+(-1)=(ν/2)*(-1)=-(ν/2). Αν ο ν λαμβάνει μόνο τιμές περιττών αριθμών τότε lim(ν->+οο)σν=lim(ν->+οο)[(ν+1)/2]=lim(ν->+οο)(ν/2)=+οο. Αν ο ν λαμβάνει μόνο τιμές άρτιων αριθμών, τότε lim(ν->+οο)σν=lim(ν->+οο)[-(ν/2)]=-οο. Επειδή τα 2 όρια είναι διαφορετικά, τότε το όριο lim(ν->+οο)σν δεν ορίζεται. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα απείρων όρων 1-2+3-4+… δεν ορίζεται. Πρόκειται για μια αποκλίνουσα εναλλάσσουσα σειρά αριθμών. Το λάθος είναι ότι γίνεται η εσφαλμένη παραδοχή πως το άθροισμα σ (ή S2 όπως αναφέρεται στο video) ορίζεται και είναι πραγματικός αριθμός, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη.
Προφανώς και η σειρά αποκλίνει κατά τα γνωστά, αλλά για να μην επαναλαμβάνω τα ίδια, διάβασε το πιο πάνω σχόλιο του pu2keqiri
Ορθή επανάληψη:
Πράγματι, το αποτέλεσμα είναι ολόσωστο και γι’αυτό άλλωστε χρησιμοποιείται κατά κόρον από την επιστημονική κοινότητα.
Ας μην προτρέχει κανείς να το «διαψεύσει» με γυμνασιακού επιπέδου απειροστικό λογισμό χωρίς προηγουμένως να έχει εξετάσει ενδελεχώς τη σχετική βιβλιογραφία. Κάθε ανάρτηση, όπως και η πρόσφατη με το παραγοντικό, βρίθουν πάντα από εξαιρετικές πηγές.
Επαναλαμβάνω, ίσως με απλούστερα λόγια: η άθροιση κατά Ramanujan είναι απλά ένας διαφορετικός (κοινώς πέρα του συνήθους) τρόπος αθροίσεως που αντιστοιχεί πεπερασμένες τιμές σε γνωστά αποκλίνοντα αθροίσματα. Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζει ένας φυσικός είναι η ιδέα της κανονικοποίησης (zeta function regularization) ενώ οι μαθηματικοί συνήθως αποκτούν μια διαίσθηση μέσω της αναλυτικής συνέχισης (analytic continuation) η οποία παραδοσιακά ορίζεται μέσω θεωρίας δραγμάτων (sheaf theory) και επιφανειών Riemann.
Μάλιστα, δεν χρειάζεται καν μιγαδική ανάλυση για να το αποδείξει κανείς αυστηρά, παρά μόνο στοιχειώδης ασυμπτωτική ανάλυση. Για όποιον ενδιαφέρεται να μάθει περισσότερα προτείνω αυτό εδώ το βίντεο (https://www.youtube.com/watch?v=beakj767uG4) που επεξηγεί μια πρόσφατη μέθοδο (https://arxiv.org/abs/2401.10981) αναίρεσης απειρισμών στην κβαντική θεωρία πεδίου βασισμένη πάνω σε προηγούμενες παρατηρήσεις του Terence Tao, όπου η εμφάνιση του αριθμού παίζει θεμελιώδη ρόλο. Στην περίπτωση μας, ο Αρχιμήδειος παράγοντας -που δεν είναι άλλος από τον μετασχηματισμό Mellin του regulator- μηδενίζεται και μένει μόνο το -1/12 ως σταθερά.
Αυτό που προσπάθησα να υπαινιχθώ παραπάνω (πέρασαν κιόλας 10 χρόνια!) είναι πως μια ακόμη ασφαλέστερη ένδειξη του πόσο βαθύ πρέπει να θεωρείται το αποτέλεσμα, είναι να το δει κανείς στη σωστή του διάσταση, κάτι που αναμενόμενα αποσιωπάται σε εκλαϊκευμένα βίντεο. Υπενθυμίζω πως η συνάρτηση ζήτα δεν είναι παρά μια ειδική περίπτωση της συναρτήσεως Dedekind για το απλούστερο αλγεβρικό σώμα αριθμών: αυτό των ρητών. Ο Borel έδειξε τη δεκατία του ’70 πως η γενίκευση της «analytic class number formula» στην αλγεβρική θεωρία αριθμών αντικαθιστά τόν αριθμό κλάσης του σώματος με την τάξη μιας ανώτερης ομάδας στην αλγεβρική K-theory του Atiyah των ακεραίων (μια περίπτωση γενικευμένης θεωρίας συνομολογίας) ενώ το covolume του πλέγματος που σχηματίζεται από τις λογαριθμικές εμφυτεύσεις των θεμελιώδη μονάδων του GL_1 του δακτυλίου των ρητών ακεραίων αντικαθίστανται από τους λεγόμενους higher Beilinson regulators. Έτσι, οι υπερβατικές τιμές που λαμβάνει η συνάρτηση σε αρνητικά ορίσματα ακεραίων (γνωστές και ως special values) προκύπτουν άμεσα από αυτές τις αριθμητικές αναλλοίωτες, οι οποίες σε τελική ανάλυση σχετίζονται με τη θεωρία «μοτίβων» του Grothendieck.