Ο γρίφος του Gamow

Posted on 14/08/2011

2


Το κυνήγι του θησαυρού

To σκίτσο είναι του George Gamow από το βιβλίο «one two three … infinity»

Το βιβλίο του George GamowOne, Two, Three,…, Infinity, παρόλο που κυκλοφόρησε το 1947, εξακολουθεί να είναι ένα από τα καλύτερα βιβλία του είδους – ίσως το καλύτερο. Ο Gamow , ως φυσικός, υιοθετεί μια χρησιμοθηρική προσέγγιση στα μαθηματικά, η οποία προσιδιάζει πιο πολύ στη νοοτροπία του μηχανικού παρά του μαθηματικού. Στο τμήμα όπου ασχολείται με τους μιγαδικούς αριθμούς, έχει επινοήσει ένα γοητευτικό πρόβλημα για να αναδείξει τη σύνδεση της μονάδας των φανταστικών αριθμών i, με τη στροφή. Το πρόβλημα παρουσιάζεται μέσα από την ιστορία ενός «νεαρού και ριψοκίνδυνου άνδρα», ο οποίος ανακαλύπτει μια περγαμηνή στα χαρτιά που του άφησε πεθαίνοντας ο παππούς του. Εκεί διαβάζει:

«Ταξιδεύοντας σε βόρειο πλάτος ……….. και δυτικό μήκος …….. θα ανακαλύψεις ένα έρημο νησί. Στη βόρεια όχθη του νησιού βρίσκεται ένα τεράστιο αφύλακτο λιβάδι και μέσα υψώνεται μια μοναχική βελανιδιά και ένα μοναχικό πεύκο. Εκεί θα δεις και μια πολυκαιρισμένη αγχόνη που τη χρησιμοποιούσαμε παλιά για να κρεμάμε τους προδότες. Ξεκίνα από την αγχόνη και περπάτα προς τη βελανιδιά μετρώντας τα βήματά σου. Στη βελανιδιά στρίψε δεξιά σχηματίζοντας ορθή γωνία και περπάτησε τον ίδιο αριθμό βημάτων. Κάρφωσε έναν πάσσαλο στο σημείο που θα φτάσεις. Τώρα πρέπει να γυρίσεις πίσω στην αγχόνη και να περπατήσεις προς το πεύκο, μετρώντας πάλι τα βήματά σου. Στο πεύκο στρίψε αριστερά σχηματίζοντας ορθή γωνία και φρόντισε να περπατήσεις ίδιο αριθμό βημάτων. Μόλις φτάσεις, κάρφωσε έναν δεύτερο πάσσαλο. Σκάψε στα μισά του δρόμου ανάμεσα στους δυο πασσάλους. Ο θησαυρός βρίσκεται εκεί.»

Το παραπάνω σχήμα αναπαριστά όλα όσα περιγράφονται στο κείμενο. Σε αυτές τις ευφάνταστες οδηγίες, ο Gamow προσθέτει και δυο αστείες υποσημειώσεις. Στη μια μας ενημερώνει ότι έχει, φυσικά, παραλείψει τις ακριβείς τιμές του γεωγραφικού μήκους και πλάτους για να μας εμποδίσει να παρατήσουμε το βιβλίο του και να τρέξουμε για να ξεθάψουμε το θησαυρό, και στην άλλη μας πληροφορεί ότι γνωρίζει πολύ καλά ότι βελανιδιές και πεύκα δεν φυτρώνουν σε έρημα νησιά, αλλά έχει αποκρύψει το πραγματικό είδος των δένδρων και πάλι για να διαφυλάξει τη μυστικότητα του πραγματικού νησιού. Θα ήθελα να είχα συναντήσει τον Gamow σε κάποιο πάρτι. Είμαι σίγουρος ότι θα ήταν πολύ διασκεδαστικός.
Ο νεαρός ακολουθώντας τις οδηγίες, εντοπίζει το νησί με τη βελανιδιά και το πεύκο. Αλίμονο, όμως δεν υπάρχει αγχόνη! Σε αντίθεση με τα αιωνόβια δέντρα, η αγχόνη έχει καταστραφεί από τα καιρικά φαινόμενα και δεν έχει απομείνει κανένα ίχνος της ή κάτι που να μαρτυρά τη θέση της. Καθώς αδυνατεί να συνεχίσει τις οδηγίες (ή τουλάχιστον έτσι πιστεύει), ο νεαρός εγκαταλείπει το νησί χωρίς το παραμικρό φλουρί ή διαμαντένιο περιδέραιο ως παρηγοριά για τον χαμένο κόπο του. Τι κρίμα! Διότι, όπως παρατηρεί ο Gamow, αν γνώριζε τους μιγαδικούς αριθμούς, θα μπορούσε να βρει το θησαυρό…..
η λύση του γρίφου ….
………………………….

Η λύση που ακολουθεί βασίζεται στο γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού αριθμού (x+iy) με την φανταστική μονάδα i, δημιουργεί έναν νέο μιγαδικό αριθμό,
τον (-y+ix),  του οποίου το διάνυσμα θέσης προκύπτει από την στροφή κατά 90o προς τα αριστερά του διανύσματος θέσης του αρχικού μιγαδικού αριθμού.
Αντίστοιχα ο πολλαπλασιασμός με (-i) προκαλεί στροφή 90o προς τα δεξιά.
Μπορείτε να το αποδείξετε;
(Η απόδειξη γίνεται πολύ εύκολη αν χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις:

eiπ/2=i και ότι x+iy = ρe

με

 ρ=(x2 + y2)1/2

και

tanθ=y/x)

Επιστροφή στον γρίφο και στο σχήμα που βρίσκεται στην αρχή της ανάρτησης.
Θεωρούμε ότι το πεύκο βρίσκεται στο σημείο (+1,0) και η βελανιδιά στο σημείο (-1,0), στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
Έστω ότι η αγχόνη βρίσκεται στο σημείο (α,β) που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό (α+iβ), όπου τα α και β είναι άγνωστα.
Ας φανταστούμε μια παράλληλη μετατόπιση του άξονα των φανταστικών αριθμών προς τα αριστερά, έτσι ώστε, ότι η αρχή των αξόνων να βρίσκεται στην βελανιδιά. Τότε το σημείο στο οποίο βρίσκεται αγχόνη αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

(α+1) + iβ.

Για να εντοπίσουμε τη θέση του πρώτου πασσάλου (Π1) χρειαζόμαστε μια στροφή του τελευταίου μιγαδικού κατά 90o αριστερά … τον πολλαπλασιάζουμε δηλαδή με i και παίρνουμε

-β+(α+1)i

Συνεπώς η θέση του πρώτου πασσάλου (Π1) ως προς την κανονική αρχή των αξόνων αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

z1 = -β-1+(α+1)i.

Στη συνέχεια φανταζόμαστε μια δεύτερη παράλληλη μετατόπιση του άξονα των φανταστικών αριθμών προς τα δεξιά, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να βρεθεί στο πεύκο. Τώρα το σημείο στο οποίο βρίσκεται η αγχόνη αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

(α-1) + iβ.

Για να εντοπίσουμε τον δεύτερο πάσσαλο (Π2) χρειαζόμαστε μια στροφή αυτού του μιγαδικού αριθμού κατά 90oπρος τα δεξιά … τον πολλαπλασιάζουμε συνεπώς με (-i) παίρνοντας

β-(α-1)i

και ως προς την κανονική αρχή των αξόνων η θέση του δευτέρου πασσάλου (Π2) αντιστοιχεί στον μιγαδικό

z2 = (β+1)+(α-1)i.

Ο θησαυρός βρίσκεται στο μέσον της απόστασης των δυο πασσάλων δηλαδή στο σημείο που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

(z1 + z2)/2 = ……. = i

Βλέπουμε ότι η θέση του θησαυρού είναι ανεξάρτητη από τα α και β αφού στον τελικό υπολογισμό απλοποιούνται.
Ο θησαυρός βρίσκεται πάνω στον φανταστικό άξονα, σε απόσταση από την αρχή των αξόνων ίση με την απόσταση των δυο δένδρων από το Ο. Ποιος θα το φανταζόταν;

ΠΗΓΗ: «Φανταστικές ιστορίες, οι περιπέτειες της τετραγωνικής ρίζας του μείον 1″, του Paul J. Nahin, εκδόσεις κάτοπτρο.