Αρχική › ΜΗΧΑΝΙΚΗ › Η κατάρρευση ενός ταλαντωτή

Η κατάρρευση ενός ταλαντωτή

By on • ( 0 )

Ένα μηχανικό σύστημα θεωρείται ιδανικός αρμονικός ταλαντωτής με μάζα m=1 kg και σταθερά ελατηρίου k=10.000 N/m. Το σύστημα θεωρείται ότι καταρρέει αν η μέγιστη απομάκρυνση της ταλάντωσής του xmax φτάσει ή ξεπεράσει την τιμή xmax=0,1 m. Στο σύστημα, ενώ δεν ασκείται καμία δύναμη απόσβεσης (b=0), ασκείται εξωτερική περιοδική δύναμη F(t) = F0 συνωt. Αν ο ταλαντωτής ξεκινά από την ηρεμία και την θέση ισορροπίας του, τότε η μέγιστη απομάκρυνση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης δίνεται από την σχέση: x_{max} = \dfrac{2F_0}{|m(\omega_0^2 - \omega^2)|}, όπου ω0 η (κυκλική) ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή(*).
Α. Να υπολογίσετε την ιδιοσυχνότητα ω0 του ταλαντωτή.
Β. Ο ταλαντωτής διεγείρεται από μια χαμηλή συχνότητα (σε σχέση με την ιδιοσυχνότητα) ω1= 10 rad/s. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του πλάτους της δύναμης F0,1 του εξωτερικού διεγέρτη που απαιτείται για να προκαλέσει την κατάρρευση του συστήματος.
Γ. Το σύστημα διεγείρεται από μια συχνότητα ω=99,9 rad/s, η οποία βρίσκεται πολύ κοντά στην ιδιοσυχνότητα. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του πλάτους της δύναμης F0,2 που απαιτείται τώρα για την κατάρρευση του συστήματος.

Λύση:
A. Η ιδιοσυχνότητα είναι: \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} =100 \text{ rad/s}
Β. Για ω1=10 rad/s παίρνουμε 0,1 = \frac{2F_{0,1}}{|1 \cdot (100^2 - 10^2)|} και κάνοντας τις πράξεις προκύπτει F0,1=495 N. Δηλαδή αν το πλάτος της εξωτερικής δύναμης ξεπεράσει αυτή την τιμή το σύστημα καταρρέει, παρά το γεγονός ότι βρισκόμαστε πολύ μακριά από την συχνότητα συντονισμού.
Γ. Για ω=99,9 rad/s με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι: F0,2=1 N. Παρατηρούμε ότι καθώς η συχνότητα του εξωτερικού διεγέρτη πλησιάζει την συχνότητα συντονισμού ο παρονομαστής στη σχέση της μέγιστης απομάκρυνσης xmax τείνει στο μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ακόμα και μια απειροελάχιστη περιοδική εξωτερική δύναμη αρκεί για να οδηγήσει το σύστημα σε κατάρρευση.

(*) Για ένα σύστημα ταλαντωτή χωρίς απόσβεση (b=0) στο οποίο ασκείται μια αρμονική εξωτερική δύναμη της μορφής \scriptstyle F(t) = F_0 \cos(\omega t), η μαθηματική εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση x(t) προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης: \scriptstyle m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0 \cos(\omega t). Θεωρώντας ως αρχικές συνθήκες x(0)=0 και υ(0)=0 , τότε προκύπτει η λύση: \scriptstyle x(t) = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)} \left[ \cos(\omega t) - \cos(\omega_0 t) \right]. Ένα ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα είναι η διερεύνηση του γιατί δεν χρησιμοποιούμε ως μέγιστη απομάκρυνση του ταλαντωτή την σχέση: \scriptstyle x_{max} = \frac{F_0}{|m(\omega_0^2 - \omega^2)|} και το αν ο παράγοντας 2 που εμφανίζεται στον αντίστοιχο τύπο της εκφώνησης είναι σωστός;

‹

Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.