Είναι εκπληκτικά δύσκολο να αποδειχθεί μια από τις πιο βασικές ιδιότητες ενός αριθμού: αν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Μια νέα μέθοδος μπορεί να βοηθήσει την επίλυση αυτού του μακροχρόνιου προβήματος.

Από τις πρώτες εποχές των μαθηματικών ανακαλύψεων, οι άνθρωποι ρωτούσαν ποιοι αριθμοί είναι ρητοί. Πριν από δυόμισι χιλιετίες, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι κάθε αριθμός είναι ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών. Έπαθαν σοκ όταν ένα μέλος του σχολής τους απέδειξε ότι αυτό δεν ισχύει για την τετραγωνική ρίζα του 2. Ο μύθος λέει ότι ο δράστης τιμωρήθηκε με πνιγμό.

Η τετραγωνική ρίζα του 2 ήταν μόνο η αρχή. Ειδικοί αριθμοί ξεχύνονται από όλους τους τομείς της μαθηματικής έρευνας. Κάποιοι, όπως το π, εμφανίζονται όταν υπολογίζουμε εμβαδά και όγκους. Άλλοι, όπως το e, η βάση των φυσικών λογαρίθμων, συνδέονται με συγκεκριμένες συναρτήσεις. Σύμφωνα με τον Henri Cohen, «πολλές φορές προβληματιζόμαστε αν ένας αριθμός που εμφανίζεται στα μαθηματικά αν είναι ρητός ή άρρητος. Αν είναι ρητός, τότε δεν είναι πολύ ενδιαφέρων αριθμός».

Πολλοί μαθηματικοί έχουν την άποψη του ξυραφιού του Occam: Αν δεν υπάρχει υποχρεωτικός λόγος για τον οποίο ένας αριθμός πρέπει να είναι ρητός, μάλλον δεν είναι. Άλλωστε, οι μαθηματικοί γνωρίζουν από καιρό ότι οι περισσότεροι αριθμοί είναι άρρητοι.

Ωστόσο, στο πέρασμα των αιώνων, οι αποδείξεις της αρρητότητας συγκεκριμένων αριθμών ήταν σπάνιες. Το 1700, ο μαθηματικός Leonhard Euler απέδειξε ότι το e είναι άρρητος και ένας άλλος μαθηματικός, ο Johann Lambert, απέδειξε το ίδιο για τον π. Ο Euler έδειξε επίσης ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης ζήτα – οι αριθμοί ζ(2), ζ(4), ζ(6) και ούτω καθεξής – ισούνται με κάποιο ρητό αριθμό επί μια δύναμη του π, το πρώτο βήμα προς την απόδειξη του αρρητότητάς τους. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε τελικά στα τέλη του 1800. Αλλά το είδος (ρητός ή άρρητος) πολλών άλλων απλών αριθμών, όπως το άθροισμα π + e ή το ζ(5), είναι άγνωστο ακόμη και σήμερα.

Μπορεί να φαίνεται περίεργο το γεγονός ότι οι μαθηματικοί εξακολουθούν να παλεύουν με ένα τόσο βασικό ερώτημα σχετικά με τους αριθμούς. Αλλά παρόλο που ο ρητότητα είναι μια στοιχειώδης έννοια, οι ερευνητές έχουν λίγα εργαλεία για να αποδείξουν ότι ένας δεδομένος αριθμός είναι άρρητος. Και συχνά, αυτά τα εργαλεία αποτυγχάνουν.

Τον Ιούνιο του 1978, οι διοργανωτές ενός μεγάλου συνεδρίου για τα μαθηματικά στη Μασσαλία της Γαλλίας, ανακοίνωσαν μια προσθήκη της τελευταίας στιγμής στο πρόγραμμα. Κατά τη διάρκεια του μεσημεριανού γεύματος, ο μαθηματικός Roger Apéry (Απερή) παρουσίαζε μια απόδειξη ότι ένας από τους πιο διάσημους αριθμούς στα μαθηματικά – «ζήτα του 3» ή ζ(3), όπως το γράφουν οι μαθηματικοί

δεν μπορούσε να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμοί, δηλαδή ήταν άρρητος αριθμός.

Οι συμμετέχοντες στο συνέδριο ήταν δύσπιστοι. Η συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι μια από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις στη θεωρία αριθμών, και οι μαθηματικοί προσπαθούσαν για αιώνες να αποδείξουν ότι η τιμή της συνάρτησης ζ(z) για z=3 είναι άρρητος αριθμός. Ο Απερή, ο οποίος τότε ήταν 61 ετών, δεν συγκαταλεγόταν στους κορυφαίους μαθηματικούς. Είχε μια βλάχικη γαλλική προφορά και την φήμη του προβοκάτορα. Πολλοί παρευρισκόμενοι, υποθέτοντας ότι ο Apery έκανε μια περίτεχνη φάρσα, ήταν έτοιμοι να πληρώσουν τον φαρσέρ με το ίδιο νόμισμα. Όπως είπε αργότερα ένας μαθηματικός, «ήθελαν να του κάνουν καζούρα».

Η διάλεξη γρήγορα κατέληξε σε πανδαιμόνιο. Με λίγες επεξηγήσεις, ο Απερή παρουσίασε διαδοχικές εξισώσεις, μερικές από τις οποίες περιείχαν αδύνατες πράξεις όπως η διαίρεση με το μηδέν. Όταν ρωτήθηκε από πού προέρχονται οι εξισώσεις του, ισχυρίστηκε ότι «φυτρώνουν στον κήπο μου». Οι μαθηματικοί υποδέχθηκαν τους ισχυρισμούς του με γέλια πετώντας χάρτινα αεροπλανάκια.

Αλλά τουλάχιστον ένα άτομο – ο Henri Cohen, τώρα στο Πανεπιστήμιο του Μπορντό – πείστηκε από την ομιλία ότι ο Απερή ήταν σωστός. Ο Cohen άρχισε αμέσως να εμπλουτίζει τις λεπτομέρειες των επιχειρημάτων του Απερή. Μέσα σε μερικούς μήνες με τους συνεργάτες του, είχε ολοκληρώσει την απόδειξη. Όταν παρουσίασε τα συμπεράσματά τους σε ένα μεταγενέστερο συνέδριο, ένας ακροατής μούγκρισε: «μια νίκη για τον Γάλλο χωριάτη».

Αφού τελικά οι μαθηματικοί αποδέχτηκαν την απόδειξη του Apéry, πολλοί περίμεναν μια πληθώρα αποτελεσμάτων σχετικά με αποδείξεις αρρητότητας. Οι άρρητοι αριθμοί υπερτερούν κατά πολύ των ρητών: Αν επιλέξετε ένα σημείο κατά μήκος της ευθείας των πραγματικών αριθμών τυχαία, είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα αντιστοιχεί σε άρρητο αριθμό. Αλλά ενώ οι μαθηματικοί έχουν καταφέρει να δείξουν την αρρητότητα ορισμένων αριθμών, όπως π και e, αυτό είναι πολύ δύσκολο να αποδειχθεί για την πλεινότητα των αριθμών. Οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι τεχνική του Απερή θα μπορούσε τελικά να τους ανοίξει τον δρόμο, ξεκινώντας με τιμές της συνάρτησης ζήτα εκτός του ζ(3).

Σύμφωνα με τον Wadim Zudilin από το Πανεπιστήμιο Radboud στην Ολλανδία, «Όλοι πίστευαν ότι ήταν ζήτημα ενός ή δύο ετών να αποδείξουν ότι κάθε τιμή της συνάρτησης ζήτα είναι άρρητος αριθμός». Αλλά η προβλεπόμενη πρόοδος δεν υλοποιήθηκε. Κανείς δεν κατάλαβε πραγματικά από πού προήλθαν οι τύποι του Απερή και όταν «έχεις μια απόδειξη που είναι τόσο εξωγήινη, δεν είναι πάντα τόσο εύκολο να γενικεύσεις, να επαναλάβεις τη μαγεία», υποστηρίζει ο Frank Calegari από το Πανεπιστήμιο του Σικάγο. Οι μαθηματικοί έφτασαν να θεωρούν την απόδειξη του Απερή ως ένα μεμονωμένο θαύμα.

Όμως προσφάτως, ο Calegari και δύο άλλοι μαθηματικοί – ο Vesselin Dimitrov από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας και ο Yunqing Tang του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια Μπέρκλεϋ – σε μια νέα δημοσίευση περιγράφουν την διεύρυνση της προσέγγισης του Apéry προς μια πολύ πιο ισχυρή μέθοδο. Με αυτή την μέθοδο απέδειξαν ότι μια άπειρη συλλογή τιμών συναρτήσεων που μοιάζουν με την ζήτα, είναι άρρητοι αριθμοί. Οι μαθηματικοί είναι ενθουσιασμένοι όχι μόνο από το αποτέλεσμα αλλά και από την προσέγγιση των ερευνητών, την οποία χρησιμοποίησαν το 2021 για να αποδείξουν μια εικασία 50 ετών σχετικά με τις σημαντικές εξισώσεις στη θεωρία αριθμών που ονομάζονται δομοστοιχειωτές μορφές (modular forms).

Ενώ η απόδειξη του Απερή φαινόταν να βγαίνει από το πουθενά – ένας μαθηματικός την περιέγραψε ως «ένα μείγμα θαυμάτων και μυστηρίων» – η νέα δημοσίευση εντάσσει τη μέθοδό του σε ένα ευρύτερο πλαίσιο. Αυτή η πρόοδος δημιουργεί την ελπίδα ότι το επίτευγμα των Calegari, Dimitrov και Τang θα είναι ευκολότερο να αξιοποιηθεί από ό,τι του Απερή.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: Apéry, Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ, PHYSICS