Αρχική › ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ › Ο μετασχηματισμός των ηλεκτρομαγνητικών δυναμικών

Ο μετασχηματισμός των ηλεκτρομαγνητικών δυναμικών

By on • ( 0 )

Σχεδόν όλες οι θεμελιώδεις ανακαλύψεις στη Φυσική συνδέονται άμεσα με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Πρώτα απ’ όλα το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι το πρώτο Παράδειγμα ενοποίησης πεδίων, του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Δεύτερον, η διαπίστωση ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα (φως) διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα για κάθε παρατηρητή οδήγησε στη θεωρία της σχετικότητας. Τρίτον, από την μελέτη της θερμικής ισορροπίας της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με την ύλη προέκυψε η ιδέα των κβάντων φωτός και έτσι γεννήθηκε η κβαντική θεωρία.
Τέταρτον, το αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς βαθμίδας εμφανίστηκε ιστορικά ως ένα φαινομενικά τυχαίο χαρακτηριστικό κατά την μελέτη του κλασικού ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Κι αν εξαιρέσουμε το πεδίο βαρύτητας, φαίνεται πως οι άλλες δυνάμεις της φύσης συντίθενται σε ένα είδος γενικευμένου ηλεκτρομαγνητισμού. Είναι όλες θεωρίες βαθμίδας (gauge theory).

Οι μετασχηματισμοί βαθμίδας στην κλασική ηλεκτροδυναμική

Χρησιμοποιώντας το σύστημα μονάδων Heaviside-Lorentz, τo ηλεκτρομαγνητικό πεδίο περιγράφεται από τις 4 εξισώσεις Maxwell:
●\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho \, \, \, \, \bf{(1)}
● \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \, \, \, \, \, \, \bf{(2)}
● \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \, \, \, \, \, \bf{(3)}
● \vec{\nabla} \times \vec{B} = \vec{j} + \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \, \, \, \, \, \bf{(4)}
Παρατηρείστε ότι η εξ. (2) ισχύει αν γράψουμε το \vec{B} ως στροβιλισμό ενός άλλου πεδίου, δηλαδή \vec{B} =\vec{\nabla} \times \vec{A} \, \, \, \, \bf{(5)} , όπου \vec{A} το επονομαζόμενο το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό. Εισάγοντας το διανυσματικό δυναμικό στην εξ. (3) παίρνουμε: \vec{\nabla} \times \left( \vec{E} +\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right)=0 ή \vec{E} + \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}= -\vec{\nabla} \phi, οπότε: \vec{E}=-\vec{\nabla} \cdot \phi - \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} \, \, \, \, \bf{(6)} . H βαθμωτή συνάρτηση \phi μπορεί να ταυτιστεί με το γνωστό ηλεκτροστατικό δυναμικό. Oύτε οι εξισώσεις Maxwell, ούτε η δύναμη Lorentz \vec{F}=-e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) που ασκείται σε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο εξαρτάται άμεσα από αυτά τα δυναμικά, συνεπώς δεν είναι απευθείας παρατηρήσιμα. Επιπλέον, δεν είναι (καν) μοναδικά.
Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς βαθμίδας, \vec{A}'\equiv \vec{A} + \vec{\nabla} \beta και \phi'\equiv \phi -\dfrac{\partial \beta}{\partial t} , χρησιμοποιώντας μια αυθαίρετη συνάρτηση \beta (\vec{x},t) (συνάρτηση βαθμίδας), προκύπτουν φυσικά δυναμικά που περιγράφουν τα ίδια πεδία \vec{E} και \vec{B} και οδηγούν στην ίδια φυσική. Στην κλασική φυσική, αυτός ο πλεονασμός στις περιγραφές είναι κυρίως μια παραξενιά και τα μαθηματικά συχνά απλοποιούνται επιλέγοντας το κατάλληλο β.

Το διανυσματικό και το βαθμωτό δυναμικό παίζουν έναν αμεσότερο ρόλο στην κβαντική μηχανική, η οποία διατυπώνεται σε όρους δυναμικών και όχι δυνάμεων. Έτσι, παρότι η κλασική δύναμη Lorentz δεν εξαρτάται άμεσα από τα δυναμικά \phi και \vec{A} , αυτά εμφανίζονται στην κλασική Λαγκρανζιανή και Χαμιλτονιανή και επομένως στην εξίσωση Σρέντιγκερ που περιγράφει την κίνηση του ηλεκτρονίου σε ένα κλασικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο: \left[-\dfrac{1}{2m} (\vec{\nabla} +i \, e \vec{A})^{2}-e\, \phi) \right] \psi=i \dfrac{\partial \psi}{\partial t} .
Η εξίσωση αυτή δεν είναι από μόνη της αναλλοίωτη κάτω από τους παραπάνω μετασχηματισμούς βαθμίδας. Όμως, δεδομένου ότι δυο κυματοσυναρτήσεις που διαφέρουν κατά μία σταθερή φάση \psi'=e^{i \theta} \psi , περιγράφουν την ίδια φυσική κατάσταση, τότε αν αντικαταστήσουμε την \psi (\vec{x},t) με \psi'(\vec{x},t) \equiv e^{-i \beta (\vec{x},t)} \psi (\vec{x},t) , διασώζεται το αναλλοίωτο βαθμίδας. Επομένως, ένας κβαντομηχανικός μετασχηματισμός βαθμίθας περιλαμβάνει τόσο έναν μετασχηματισμό στα ηλεκτρομαγνητικά δυναμικά όσο και μια ταυτόχρονη αλλαγή στη φάση της κυματικής συνάρτησης.

Το αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς βαθμίδας διατηρήθηκε στην κλασική και κβαντική μηχανική ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, αλλά και στην κβαντική ηλεκτροδυναμική (QED). Mπορεί κανείς να αντιστρέψει τη λογική και να λάβει μια γενικευμένη εκδοχή του αναλλοίωτου βαθμίδας ως το αρχικό αξίωμα για μια φυσική θεωρία. Αποδεικνύεται ότι μια τέτοια αναλλοίωτη βαθμίδας (*) απαιτεί την ύπαρξη (προφανώς) άμαζων βαθμωτών μποζονίων με σπιν 1, σε αναλογία με το φωτόνιο, και ότι μπορεί να προσδιοριστεί η μορφή της αλληλεπίδρασης αυτών των βαθμωτών μποζονίων με άλλα σωματίδια ή με τον εαυτό τους.
Οι θεωρίες βαθμίδας είναι η μοναδική δυνατότητα για την διατύπωση επανακανονικοποιήσιμων θεωριών πεδίου που περιλαμβάνουν μποζόνια με σπιν 1 και μέσα από αυτές γίνεται το σημαντικό βήμα που χρειάζεται για την κατανόηση των ισχυρών και ασθενών αλληλεπιδράσεων.

(*) Οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων της γενικής σχετικότητας θα μπορούσαν επίσης να ιδωθούν ως ένα είδος αναλλοίωτου βαθμίδας.

πηγές:
1. Στέφανος Τραχανάς «Σχετικιστική Κβαντομηχανική», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
2. Paul Langacker, «Can the Laws of Physics Be Unified?», Princeton University Press

‹
›

Κατηγορίες:ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.