Κίνηση με σταθερή ισχύ

… σε σύγκριση με την κίνηση υπό σταθερή δύναμη Ένα αυτοκίνητο µάζας m που την χρονική στιγμή μηδέν είναι ακίνητο, αρχίζει να κινείται υπό την επίδραση σταθερής συνισταμένης δύναμης F0 μέχρι την χρονική στιγμή t=t0. Από την χρονική στιγμή t=t0 και μετά, στο αυτοκίνητο ασκείται κατάλληλη συνισταμένη δύναμη, έτσι ώστε να συνεχιστεί η ευθύγραμμη κίνηση […]

Πυρηνικές βόμβες και μονάδες μέτρησης φυσικών μεγεθών

Πως υπολογίζεται η ενέργεια που απελευθερώνεται σε μια έκρηξη … κοιτώντας τις φωτογραφίες της Ένας από τους πιο εντυπωσιακούς τρόπους επίλυσης φυσικών προβλημάτων είναι η μέθοδος της διαστατικής ανάλυσης. Και είναι εντυπωσιακός διότι δεν χρειάζεται να εφαρμοστούν οι φυσικοί νόμοι από τους οποίους εξαρτάται η επίλυση του προβλήματος – οι οποίοι πολλές φορές είναι εντελώς […]

Η περίοδος του κατεψυγμένου εκκρεμούς

Ένα φυσικό εκκρεμές είναι κατασκευασμένο από μια αβαρή κοίλη σφαίρα ακτίνας R γεμάτη με νερό που είναι στερεωμένη σε αβαρή ράβδο και αναρτάται στο σημείο Ο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η απόσταση του σημείου Ο από το κέντρο της σφαίρας είναι ℓ. Το φυσικό εκκρεμές εκτελεί μικρές ταλαντώσεις έτσι ώστε ημθ≈θ. Θα μεταβληθεί η περίοδος […]

Παίζοντας με το Rosebud(*)

Κυκλοφορεί πάλι το εξής «διαχρονικό» πρόβλημα (ίσως από το παλιό περιοδικό Kvant): Ένα παιδί σέρνει το έλκηθρό του κατά μήκος μιας χιονισμένης πλαγιάς. Το έλκηθρο θα διανύσει κατακόρυφη απόσταση h και οριζόντια απόσταση α. Υποθέτοντας ότι η δύναμη που ασκείται στο έλκηθρο από το σχοινί είναι συνεχώς εφαπτόμενη στην τροχιά, και ότι ο συντελεστής τριβής […]

Οριακά ομαλή κυκλική κίνηση

Ένας άλλος τρόπος να δούμε την ομαλή κυκλική κίνηση είναι σαν το όριο μιας διαδικασίας κατά την οποία μια μπάλα ανακλάται συνέχεια σε έναν κυκλικό τοίχο. Όπως αποδεικνύεται, η μέση δύναμη είναι ίση με την κεντρομόλο της ομαλής κυκλικής κίνησης: Click to access ce97-cf80cebfcebbcebbceaccebaceb9cf82-ceb1cebdceb1cebacebbcf8ecebcceb5cebdceb7-cebccf80ceaccebbceb1.pdf Αφού διαβάσετε την παραπάνω ανάλυση, στη συνέχεια μπορείτε άνετα να λύσετε την […]

Ο κύκλος των αυξανόμενων αντιστάσεων

100 αντιστάσεις R, 2R, 3R, 4R, ….., 98R, 99R, 100R συνδέονται κατά αύξουσα σειρά σχηματίζοντας τον κύκλο του σχήματος: Ο ένας πόλος ιδανικής  ηλεκτρικής πηγής (μηδενική εσωτερική αντίσταση) συνδέεται σε ένα σημείο ανάμεσα στην εκατοστή και την πρώτη αντίσταση. Μεταξύ ποιών αντιστάσεων πρέπει να συνδεθεί ο άλλος πόλος της πηγής έτσι ώστε το ηλεκτρικό ρεύμα […]

Μια έκκεντρη κρούση

Βλέπουμε δύο σφαίρες που μετέχουν σε έκκεντρη κρούση. Δεν έχουν ίδιες ακτίνες. Η κρούση δεν είναι ελαστική. Τα σώματα δεν είναι λεία, έτσι μετά την κρούση η κίνηση και των δύο είναι σύνθετη. Η απάντηση EΔΩ

Πέραν της φυσικής διαίσθησης

Στο τμήμα του μη λείου πλάγιου επιπέδου αφήνουμε να κυλίσουν τέσσερα ομογενή στερεά σώματα – έναν σφαιρικό φλοιό, μια συμπαγή σφαίρα, έναν κυλινδρικό φλοιό και έναν συμπαγή κύλινδρο. Το πέμπτο σώμα, ο κύβος, ολισθαίνει απλά χωρίς τριβές στον τελευταίο και λείο διάδρομο του πλάγιου επιπέδου. Ο κύβος αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι ολισθαίνει με επιτάχυνση , […]

Ψάχνοντας για αντικείμενα από σκοτεινή ύλη στο εσωτερικό της Γης

… με βαρυτόμετρα Η σκοτεινή ύλη είναι μια άγνωστη μορφή ύλης. Δεν αλληλεπιδρά ηλεκτρομαγνητικά με την συνηθισμένη ύλη και γι αυτό δεν την βλέπουμε. Αλληλεπιδρά όμως βαρυτικά και υπάρχουν ατράνταχτα αστρονομικά δεδομένα που το αποδεικνύουν. Για παράδειγμα, εξαιτίας της σκοτεινής ύλης οι πολύ γρήγορα περιστρεφόμενοι γαλαξίες καταφέρνουν να συγκρατούνται και να μην διαλύονται. Πολλά πειράματα […]

Αντιστάσεις, βολτόμετρα και ένα αμπερόμετρο

(νεώτερη ενημέρωση) Το κύκλωμα που βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα περιέχει τέσσερις αντιστάτες: δυο από αυτούς έχουν αντίσταση R και οι άλλοι δυο αντίσταση 3R. Tα βολτόμετρα είναι πανομοιότυπα (κι όχι ιδανικά) και οι ενδείξεις τους είναι 0,5V και 3V. Το αμπερόμετρο δείχνει 6 mA. Βρείτε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον κάθε αντιστάτη και […]

Ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος

Το ομογενές ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πάνω σε ακίνητο καροτσάκι. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι τόσο μεγάλος ώστε εξασφαλίζεται η μη ολίσθηση του παραλληλεπιπέδου. Θέλουμε το καροτσάκι να διανύσει 20 μέτρα χωρίς να ανατραπεί το κιβώτιο. Στο τέλος της διαδρομής το καροτσάκι πρέπει να είναι ακίνητο. Ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος; [Απάντηση: 4s] Λύση: […]

Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στα άκρα σωληνοειδούς

Σωληνοειδές πεπερασμένου μήκους L, διαμέτρου 2R και με πυκνότητα σπειρών n=N/L, διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα I. Να προσδιοριστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου σε σημείο που βρίσκεται στο άκρο του σωληνοειδούς πάνω στον άξονα του. Απάντηση: Θα προσδιορίσουμε αρχικά την ένταση του μαγνητικού πεδίου σε ένα σημείο Κ του άξονα του σωληνοειδούς , στο εσωτερικό του. […]

Ο γρίφος του ποδηλάτου

Το κοριτσάκι τραβάει τον κόκκινο σπάγκο. Πως θα κινηθεί το ποδήλατο αν δεν ολισθαίνουν οι ρόδες; 1. Δεν θα κινηθεί. 2. Θα κινηθεί προς τα δεξιά. 3. Θα κινηθεί προς τα αριστερά. 4. Εξαρτάται. Μπορεί να συμβεί οτιδήποτε από τα προηγούμενα. Απάντηση: Aν R3R2 – R4R1>0 κινείται προς τα αριστερά Αν R3R2 – R4R1<0 κινείται […]

Μια διαφορική εξίσωση για «θετικούς» μαθητές

Να προσδιοριστεί η συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση αν και . Απάντηση: Η εξίσωση μπορεί με μια πρώτη ματιά να δείχνει περίεργη, όμως με λίγη φαντασία αποκτά «φυσικό» νόημα. Αν και δεν είναι απαραίτητο, ας αλλάξουμε τον συμβολισμό θέτοντας όπου: . Aν η συνάρτηση θεωρηθεί ως η θέση ενός σώματος συναρτήσει του χρόνου, τότε η […]

Ποια χάντρα θα φτάσει πρώτη στο τέρμα;

(νεώτερη ενημέρωση 14/12/2019) Δυο όμοιες τρύπιες χάντρες είναι περασμένες στα δύο λεία σύρματα του σχήματος. Το επίπεδο του ημικυκλικού σύρματος είναι κατακόρυφο. Δίδεται ότι  g = 10 m/s2. (πηγή: Γιάννης Κυριακόπουλος, «Ένα δύσκολο κουίζ» από το ylikonet.gr) Απάντηση: δεν γνωρίζουμε διότι τα χρονικά διαστήματα εξαρτώνται από την αρχική ταχύτητα. Έστω υ η ταχύτητα της πράσινης χάντρας του […]

Ένα πρόβλημα ανελαστικής κρούσης

Ένα σώμα μάζας m1=2kg που κινείται με ταχύτητα υ1=5m/s συγκρούεται με ακίνητο σώμα μάζας m2=3kg. Οι δυο μάζες είναι κατασκευασμένες από πηλό και μετά την κρούση προκύπτουν δυο σώματα με μάζες  m3=1kg και m4=4kg. Η ταχύτητα της μάζας m3 μετά την κρούση σχηματίζει γωνία θ=60ο με την διεύθυνση της αρχικής ταχύτητας υ1. Αν είναι γνωστό ότι […]

Η σχέση συχνότητας και ενέργειας ταλάντωσης ενός σώματος

… του οποίου η μάζα αυξάνεται με διακριτό τρόπο Ένα άδειο δοχείο μάζας Μ που συνδέεται με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A0 σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι Ε0=1J και η συχνότητα ταλάντωσης f0=1Hz. Από κάποια χρονική στιγμή και μετά η μάζα του δοχείου αυξάνεται […]

Μια Απολλώνια ισοδυναμική επιφάνεια

Στα σημεία Β και Γ, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΒΓ=12cm, τοποθετούνται δυο σημειακά ηλεκτρικά φορτία QB=1μC και QΓ=–2μC. Να προσδιοριστούν τα σημεία στα οποία το δυναμικό του ηλεκτροστατικού πεδίου των δυο ηλεκτρικών φορτίων είναι μηδέν. Δίνεται ηλεκτροστατική σταθερά k=9·109 Nm2/C2. Λύση: Ας ψάξουμε πρώτα για κάποιο σημείο με δυναμικό μηδέν πάνω στην ευθεία που […]

Πότε θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα;

Τα άκρα ευθύγραμμου αγωγού, ο οποίος έχει μήκος ℓ=1 m, μάζα m=1 Kg και αντίσταση R1=0,05 Ω, μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές πάνω σε δύο κατακόρυφους μεταλλικούς στύλους μηδενικής ωμικής αντίστασης. Οι δύο στύλοι ενώνονται στο επάνω μέρος με σύρμα ωμικής αντίστασης R2=0,15 Ω. Η όλη διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής […]

Μια ελάχιστη τιμή του μαγνητικού πεδίου

Δύο παράλληλοι ευθύγραμμοι αγωγοί απείρου μήκους απέχουν μεταξύ τους απόσταση (ΕΖ)=1 cm και διαρρέονται από αντίρροπα ρεύματα I1=1 A και I2=2 A. Να προσδιοριστεί το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος (ΕΖ) στο οποίο το μέτρο της συνολικής έντασης  του μαγνητικού πεδίου παίρνει την ελάχιστη τιμή. απάντηση Έστω ένα σημείο του ευθυγράμμου τμήματος (ΕΖ) που απέχει η […]

Ο γρύλος και ο φελλός

Ένα πολύ ωραίο φυσικο-μαθηματικό πρόβλημα που με την πρώτη ματιά φαίνεται αδύνατον να λυθεί, με τη δεύτερη ματιά προσεγγίζεται αριθμητικά, αλλά με την τρίτη και φαρμακερή εντοπίζεται «με γυμνό μάτι» η ακριβής λύση! Το πρόβλημα: Μέσα σε ένα κλειστό δοχείο μισογεμισμένο με νερό επιπλέει όρθιος ένας κυλινδρικός φελλός. Όταν ο φελλός είναι ακίνητος στο νερό, […]

Περίπου 17 φορές την ημέρα

Σε ένα υποθετικό τούνελ που διέρχεται από το κέντρο της Γης και συνδέει τον βόρειο με το νότιο πόλο της Γης, αφήνουμε να πέσει ελεύθερα ένα μικρό σώμα μάζας m. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα και ότι η Γη είναι μια τέλεια ομογενής σφαίρα : (α) Να δείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει […]

Η έλλειψη της πλάγιας βολής

Η πλάγια βολή για μυστηριώδεις λόγους δεν περιλαμβάνεται στα αναλυτικά προγράμματα της διδακτέας ύλης φυσικής των γενικών λυκείων τα τελευταία 15-20 (;) χρόνια. Η παράλειψη αυτή γίνεται περισσότερο μεταφυσική αν λάβει κανείς υπόψιν το γεγονός ότι η κατακόρυφη και η οριζόντια βολή διδάσκονται κανονικά! Για να ξορκίσουμε το κακό παραθέτουμε μια ενδιαφέρουσα άσκηση που αναφέρεται […]

Δυο ασκήσεις φυσικής Γυμνασίου …

…από τον προηγούμενο αιώνα 1. Η πρώτη άσκηση αναφέρεται στην έννοια της ορμής, που σήμερα διδάσκεται στην Β’ Λυκείου … αλλά μόνο στους μαθητές που παρακολουθούν την Φυσική Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών: 2. Η δεύτερη άσκηση αναφέρεται στην εναλλασσόμενη τάση η οποία έπαψε να διδάσκεται στα ελληνικά σχολεία εδώ και κάμποσα χρόνια: via ylikonet.gr

Μια ράβδος σε λείο επίπεδο και το όριο Gauss

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg και μήκους ℓ=4m. Σε μια στιγμή t0=0 ασκείται στο σημείο Α της ράβδου, το οποίο απέχει 0,5m από το άκρο της, μια σταθερή οριζόντια δύναμη , μέτρου F=3Ν, με διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Σε ποια χρονική στιγμή η ράβδος θα έχει περιστραφεί κατά 90° […]

Ένα σώμα εκτοξεύεται με άπειρη αρχική ταχύτητα

Ένα σώμα μάζας m τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με … άπειρη αρχική ταχύτητα (). Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του  και η αντίσταση του αέρα που είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, , όπου λ μια σταθερά. Είναι δυνατόν η ταχύτητα του σώματος να μηδενιστεί […]

Μπορείς να το λύσεις;

5 απλά προβλήματα γεωμετρίας από τη συλλογή προβλημάτων γεωμετρίας της Catriona Shearer: ΕΔΩ 1. Αν η ακτίνα του κάθε ημικυκλίου είναι 5, ποιο είναι το εμβαδόν της κίτρινης επιφάνειας; 2. Από δέκα ισαπέχοντα μεταξύ τους σημεία διέρχονται ημικύκλια σχηματίζοντας το παρακάτω σπειροειδές σχήμα. Είναι μεγαλύτερη η κόκκινη ή η πορτοκαλί επιφάνεια; Και πόσο μεγαλύτερη; 3. Η […]

Μια σχέση ταχυτήτων σε ένα αρμονικό κύμα

Στο σχήμα βλέπουμε το στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος, μια χρονική στιγμή t=t1. Η εφαπτόμενη στο σημείο Κ της κυματομορφής, σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x. Αν υΚ το μέτρο της εγκάρσιας ταχύτητας του σημείου Κ και c το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος, να δείξετε ότι   ή    Λύση:     Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος δίνεται […]

Μια κρούση όπου η αρχή διατήρησης της ορμής δεν ισχύει

Από τη συλλογή: 300 Creative Physics Problems with Solutions, Lazlo Holics – Οι απαντήσεις των 300 προβλημάτων βρίσκονται ΕΔΩ (Το πρόβλημα απαιτεί γνώσεις Φυσικής από Β’ Λυκείου και άνω) Ένα σώμα μάζας Μ=5kg ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Δεύτερο σώμα μάζας m=1kg που πέφτει ελεύθερα, συγκρούεται με την μάζα M πλαστικά. Λίγο πριν την κρούση η μάζα m […]

Πέντε απλά προβλήματα γεωμετρίας

1. Τέσσερα πανομοιότυπα τετράγωνα τοποθετούνται σε σχήμα L. Να υπολογίσετε την μπλε γραμμοσκιασμένη γωνία: 2. Τι σχέση έχει το εμβαδόν του εξωτερικού κύκλου με το εμβαδόν του εσωτερικού κύκλου; 3. Τι σχέση έχει το εμβαδόν του μπλε παραλληλογράμμου με το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου;  4. Η σκιασμένη περιοχή σχηματίζεται μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο χρησιμοποιώντας το […]

Μια κομψή ανισότητα και το δύσκολο θέμα Δ4

… στα μαθηματικά των πανελλαδικών εξετάσεων Ως γνωστόν η εκθετική συνάρτηση γράφεται: Τώρα είναι προφανές από την παραπάνω σχέση ότι (τουλάχιστον για x>0) ισχύουν οι ανισώσεις: και Χρησιμοποιώντας την πρώτη ανίσωση μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα την κομψή ανισότητα Η δεύτερη ανίσωση, , μας βοηθά να λύσουμε πολύ εύκολα και το δυσκολότερο ερώτημα (Δ4) των μαθηματικών […]

Άλλη μια (κατασκευαστική) προσέγγιση του αριθμού π

Ένας απλός τρόπος κατασκευής μήκους 3,1415≈π μέσα από ένα κανονικό δωδεκάγωνο. Λεπτομέρειες μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ:https://arxiv.org/pdf/1806.02218.pdf

Τι μας διδάσκει το γεγονός ότι √2+√3≈π

Επειδή κάποιοι έχουν ξεχάσει εντελώς την σχολική γεωμετρία, τους υπενθυμίζουμε ότι, (α) το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος ακτίνας R=1 σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα είναι: αλλά και , οπότε . (β) το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R=1 σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα θα […]

Ο αριθμός π και η προσέγγισή του 22/7

Μια από τις πιο γνωστές προσεγγίσεις του αριθμού π είναι το κλάσμα 22/7 που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη. Με ένα απλό κομπιουτεράκι μπορούμε να δούμε ότι 22/7=3,142857>π=3,14159… Αν όμως δεν γνωρίζαμε τα πρώτα ψηφία του π, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι 22/7>π ; Η απόδειξη είναι πολύ σύντομη – πολύ συντομότερη από […]

Πίστευε στα μαθηματικά … αλλά και στην WolframAlpha

Πριν από δυο μήνες περίπου το κανάλι του blackpenredpen στο youtube, ανέβασε ένα βίντεο στο οποίο γίνεται αναλυτικά ο υπολογισμός της παράστασης: Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα με εκείνο που δίνει η υπολογιστική μηχανή WolframAlpha προκύπτει αβίαστα το συμπέρασμα ότι δεν πρέπει να εμπιστευόμαστε τυφλά τις υπολογιστικές μηχανές. Γιαυτό ο τίτλος του βίντεο είναι «believe in the math, […]

Κάθε πότε συμπίπτουν οι δείκτες ενός ρολογιού;

Ένα κλασικό πρόβλημα που κάποτε αντιμετώπιζαν οι μαθητές της Α’ Λυκείου ήταν το εξής: Να υπολογιστούν οι χρονικές στιγμές που συμπίπτουν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού από τo μεσημέρι μέχρι τα μεσάνυχτα.   Η απάντηση που δινόταν συνήθως – χρησιμοποιώντας τις έννοιες της περιόδου Τ και της γωνιακής ταχύτητας (ω = θ/t = […]

Σε τι είδους επιφάνεια κυλάει άνετα ένα ποδήλατο με τετράγωνες ρόδες;

Απάντηση: Σε μια επιφάνεια που δημιουργείται από μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη ανεστραμμένη αλυσοειδή καμπύλη. H αλυσοειδής καμπύλη ορίζεται από την συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου: Το ερώτημα τέθηκε στις φετινές παν-ιταλικές(;) εξετάσεις στο μάθημα των μαθηματικών. Συγκεκριμένα ζητήθηκε από τους μαθητές να επιβεβαιώσουν ότι ένα ποδήλατο με τετράγωνους τροχούς, με πλευρά τετραγώνου ίση με 2 (αυθαίρετες μονάδες), μπορεί […]

Ένας πρωτότυπος τρόπος διερεύνησης των κρούσεων

Ένα σχεδόν «μαγικό» πείραμα που μπορεί γίνει πολύ εύκολα είναι το εξής: Πάρτε ένα μπαλάκι του τένις και τοποθετήστε το πάνω σε μια μπάλα του μπάσκετ. Η μπάλα του μπάσκετ έχει αρκετά μεγαλύτερη μάζα από το μπαλάκι του τένις. Αφήστε τις δυο μπάλες να πέσουν στο πάτωμα προσέχοντας έτσι ώστε η μικρή μπάλα να μην ξεφύγει από […]

Ποια είναι η σχέση των δυο πιθανοτήτων;

(νεώτερη ενημέρωση 1/12/2018) Ο Φυσικός Γιάννης Κυριακόπουλος προκάλεσε μια τεράστια συζήτηση σχετικά με την σχέση των δυο πιθανοτήτων και του «κοριτσιού που το λένε Κλημεντίνη» ΕΔΩ: ylikonet.gr Αξίζει να την παρακολουθήσετε. ================================== Θεωρούμε δυο απλά (και σχεδόν παρόμοια) προβλήματα πιθανοτήτων πρόβλημα 1: Σε μια οικογένεια με δυο παιδιά, ποια είναι η πιθανότητα (Π) με δεδομένο […]

Μια παραλλαγή στο θέμα Δ της φυσικής

…. των πανελλαδικών εξετάσεων 2015 Το τέταρτο ζήτημα στα φετινά θέματα φυσικής κατεύθυνσης αναφερόταν στην κύλιση μιας σφαίρας μάζας m και ακτίνας r, στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου ακτίνας R. Στα δυο πρώτα ερωτήματα έπρεπε να υπολογιστεί η στατική τριβή και η κάθετη δύναμη που ασκεί το ημισφαίριο στη σφαίρα συναρτήσει της γωνίας φ: Θεωρώντας εξ’ αρχής, από […]

Το σκαθάρι και το λάστιχο

ένα πρόβλημα με απρόσμενη λύση Η μια άκρη ενός λάστιχου μήκους L είναι στερεωμένη σε έναν τοίχο. Η ελεύθερη άκρη του λάστιχου αρχίζει να κινείται με ταχύτητα υ και να το επιμηκύνει. Ταυτόχρονα, ένα σκαθάρι αρχίζει να περπατάει, ξεκινώντας από τον τοίχο, κατά μήκος του λάστιχου με ταχύτητα u<υ. Υποθέτουμε ότι το λάστιχο μπορεί να […]

Υπερβολικές συναρτήσεις στο θέμα Δ1

… των Μαθηματικών Κατεύθυνσης 2015 δείτε όλα τα θέματα ΕΔΩ Ενώ, απαντήσεις και σχόλια για τα θέματα Μαθηματικών μπορείτε να βρείτε αλλού … ότι ακολουθεί στη συνέχεια ΔΕΝ έχει σχέση με τις ζητούμενες λύσεις… Ας δούμε τι έλεγε το θέμα Δ1 Στην αρχική σχέση η εμφάνιση του υπερβολικού συνημιτόνου είναι φανερή, δεδομένου ότι ή   Εκείνο που δεν διακρίνεται τόσο εύκολα είναι ότι η […]

Ελαστικές κρούσεις και πυρηνικοί αντιδραστήρες

Η μελέτη των κρούσεων βρέθηκε στο επίκεντρο της προσοχής του Καρτεσίου και του Huygens κατά τον 17ο αιώνα, ενώ τον 19ο αιώνα ο γάλλος φυσικός Gustave-Gaspard Coriolis εξέδωσε το έργο του «Η μαθηματική θεωρία των φαινομένων του μπιλιάρδου», το οποίο έγινε κλασικό. Στα βιβλία του λυκείου συναντάμε συχνά προβλήματα που σχετίζονται με τη σύγκρουση σφαιρών. […]

Ένας εύκολος τρόπος προσδιορισμού του ηλεκτρικού πεδίου

… που δημιουργεί ομοιόμορφα φορτισμένο ευθύγραμμο τμήμα Ένα κλασικό πρόβλημα με το οποίο βρίσκονται αντιμέτωποι οι φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα του ηλεκτρομαγνητισμού είναι ο προσδιορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από ένα ομοιόμορφα φορτισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Όσοι έχουν καταπιαστεί με το πρόβλημα αυτό ξέρουν ότι απαιτεί μια κάποια μαθηματική προσπάθεια για να λυθεί. Αυτό που […]

Κύλιση χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο

Ένας ομογενης δίσκος τοποθετείται κατάλληλα σε ένα οριζόντιο επίπεδο έτσι ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με αρχική γωνιακή ταχύτητα ω. Το φαινόμενο αναλύουν οι μαθητές Α και Β. Ο μαθητής Α για να περιγράψει την κίνηση σκέφτεται ως εξής: Στον κύλινδρο ασκούνται η δύναμη του βάρους w, η κάθετη αντίδραση του επιπέδου Ν και […]

Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας …

… να λυθεί η διαφορική εξίσωση: με αρχικές συνθήκες και Οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής με μια τυχούσα συνάρτηση του λύνονται εύκολα εισάγοντας την συνάρτηση «δυναμικού»  μέσω της σχέσης Έτσι, η διαφορική εξίσωση (1) μετασχηματίζεται στην απλούστερη: , (η σταθερά προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες) Πίσω από την τελευταία εξίσωση κρύβεται η Αρχή Διατήρησης της […]

Ελεύθερη πτώση προς το κέντρο της Γης

Πόσο χρόνο χρειάζεται ένα αντικείμενο να διασχίσει υποθετικό τούνελ, που διέρχεται από το κέντρο της Γης, πέφτοντας ελεύθερα από το ένα άκρο στο άλλο; Σε ένα υποθετικό πηγάδι που διέρχεται από το κέντρο της Γης και συνδέει δυο αντιδιαμετρικά της σημεία, αφήνουμε να πέσει ελεύθερα ένα σώμα. Σε πόσο χρόνο το σώμα θα φθάσει στο […]

Μια συνηθισμένη συνάρτηση ηλεκτρικού δυναμικού

Δίνεται το ηλεκτροστατικό δυναμικό: όπου k, q και α γνωστές θετικές σταθερές. Ποιά κατανομή ηλεκτρικού φορτίου (συνεχής και διακριτή) δημιουργεί αυτό το δυναμικό; Θα μπορούσε αυτή η κατανομή φορτίου να προκύψει από ένα  ουδέτερο άτομο υδρογόνου;

Ένα ερώτημα κρούσης

Ένα νετρόνιο κινείται με ταχύτητα v εναντίον ενός πυρήνα δευτερίου. Είναι δυνατόν η κρούση (αν θεωρηθεί κεντρική και ελαστική) να εξελιχθεί όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα;

Ελεύθερη πτώση και απλή λογική

Γιατί τα σώματα πέφτουν με την ίδια επιτάχυνση; Σύμφωνα με την παράδοση ο Γαλιλαίος εκτελώντας πειράματα ελεύθερης πτώσης από τον πύργο της Πίζας κατέληξε στο συμπέρασμα ότι: «κάθε σώμα που αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του αποκτά ίδια σταθερή επιτάχυνση, ανεξάρτητα της μάζας του, και σε κάθε στιγμή η απόσταση που διανύει […]

Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου δακτυλίου

Πως είναι το ηλεκτρικό πεδίο ομοιόμορφης κυκλικής κατανομής φορτίου Q ακτίνας R; Εύκολα μπορεί κανείς να υπολογίσει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στον άξονα z, που είναι κάθετος στο κέντρο του δακτυλίου και διέρχεται από το κέντρο του. Το μέτρο της έντασης που δημιουργεί το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο στο σημείο Ρ είναι: H συνολική ένταση […]

Ο όγκος n-διάστατης μοναδιαίας σφαίρας

Ένα μαθηματικό πρόβλημα με φυσική σημασία Ο όγκος της n-διάστατης μοναδιαίας σφαίρας δίνεται από τον τύπο Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Stirling για τη συνάρτηση Γάμμα βλέπει κανείς ότι : Vn→0 καθώς n→∞ Μπορείτε να δείξετε, ότι ο όγκος τείνει στο μηδέν καθώς το n τείνει στο άπειρο, χωρίς να χρησιμοποιήσετε ή να γράψετε μαθηματικούς τύπους; Απαντήσεις […]

Ένα ωραίο μαθηματικό πρόβλημα

Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας στοιχειώδη μαθηματικά ότι: Μπορείτε να βρείτε τη λύση (και άλλα πολύ ενδιαφέροντα!) ΕΔΩ 

Ολυμπιακή Φυσική: Ένας λάθος υπολογισμός στο άλμα επί κοντώ

Το παγκόσμιο ρεκόρ στο άλμα επί κοντώ των ανδρών είναι 6,14 μέτρα και πραγματοποιήθηκε το 1994 από τον Σεργκέι Μπούμπκα. Το αντίστοιχο παγκόσμιο ρεκόρ στις γυναίκες είναι 5,04 μέτρα και το κατέχει η Ελένα Ισινμπάγιεβα από το 2009. Στην χτεσινή ημέρα των Ολυμπιακών αγώνων η Ισινμπάγιεβα έχασε από τις Τζένιφερ Σουρ (ΗΠΑ) και Γιαρισλέι Σίλβα […]

Οι γρίφοι των μεταγγίσεων!

Σε κάποιο σημείο της ταινίας «Πολύ σκληρός για να πεθάνει: η εκδίκηση» ο «κακός» Τζέρεμι Άιρονς βάζει στους Μπρους Γουίλις και Σάμιουελ Τζάκσον τον παρακάτω γρίφο: Πως θα πάρουμε 4 γαλόνια νερού χρησιμοποιώντας ένα δοχείο 3 γαλονιών και ένα δοχείο 5 γαλονιών (αντί για γαλόνια μπορείτε να θεωρήσετε λίτρα ή οποιαδήποτε άλλη μονάδα σας αρέσει) Η απαίτηση […]

Τα διαγράμματα κίνησης μιας περιστρεφόμενης δοκού

(οποιαδήποτε ομοιότητα με άλλα προβλήματα ΔΕΝ είναι τυχαία) Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ) μάζας Μ=6kg και μήκους ℓ=0,3m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας m=M/2=3kg. Η δοκός είναι ακίνητη και την χρονική […]

Μια δύσκολη συνδεσμολογία αντιστατών

Διαβάστε επίσης: Ισοδύναμη αντίσταση κυκλώματος Οι δώδεκα αντιστάτες του παραπάνω «κυβικού» κυκλώματος έχουν την ίδια αντίσταση R. Οι ακροδέκτες Α και Β θα συνδεθούν με ηλεκτρική πηγή. Ποια είναι η ισοδύναμη (ολική) αντίσταση των δώδεκα αντιστατών; Αν τροφοδοτήσουμε το σύστημα με ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι, τότε το ρεύμα αυτό στον κόμβο (a) χωρίζεται σε τρία […]

Ισοδύναμη αντίσταση κυκλώματος

Πως υπολογίζεται η ισοδύναμη αντίσταση του παρακάτω κυκλώματος; …………………………………………………………………………………………………………………..

Φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβεσης την τριβή ολίσθησης

Τίθεται το εξής πρόβλημα: Μια μάζα m=1kg δεμένη σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k=8 N/m απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας (x=0) κατά x0=1m (θέση Α), και τη χρονική στιγμή t=0 s, αφήνεται να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα, όπως στο σχήμα Ο συντελεστής τριβής μεταξύ της μάζας και του οριζοντίου επιπέδου είναι μ=0,1. (Η επιτάχυνση της βαρύτητας […]

Αυτοκίνητο σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια ωραία ερώτηση απλής φυσικής  Ένα αυτοκίνητο τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στον ανηφορικό δρόμο του σχήματος και η κατεύθυνση της επιτάχυνσής του είναι προς τα πάνω. Ποιες από τις παρακάτω διατυπώσεις περιγράφει την κίνηση του σώματος τη χρονική στιγμή t; Α. Το σώμα κινείται προς τα πάνω Β. Το σώμα κινείται προς τα κάτω […]

Σε πόσο χρόνο θα κατέρρεε βαρυτικά ο Ήλιος…

… αν ξαφνικά σταματούσαν οι πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό του; Ένα άστρο – όπως ο Ήλιος μας – διατηρεί σχεδόν σταθερά τα χαρακτηριστικά του, όπως η μάζα, η ακτίνα, η λαμπρότητα και η χημική σύσταση της εξωτερικής του επιφάνειας. Αυτή η σταθερότητα των άστρων μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι στο εσωτερικό τους επικρατεί περίπου μια […]

Πως υπολογίζουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς;

Με την εξίσωση που μαθαίνουμε στο σχολείο  όπου ℓ το μήκος του εκκρεμούς και g η επιτάχυνση της βαρύτητας …. είναι η συνηθισμένη απάντηση…. (νεώτερη ενημέρωση 6/7/2016: το απλό εκκρεμές δεν διδάσκεται πλέον στα ελληνικά λύκεια, αλλά αυτό είναι το μικρότερο κακό, αφού σημαντικότατες θεματικές ενότητες – π.χ. ηλεκτρομαγνητισμός – έχουν εξοστρακιστεί από τη διδακτέα […]

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι αρνητική….

…όμως γιατί όταν ένα σώμα μάζας m βρίσκεται σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης λέμε ότι έχει θετική δυναμική ενέργεια m g h ; Διότι η ποσότητα m g h είναι μια προσέγγιση της διαφοράς των δυναμικών ενεργειών μεταξύ των δυο θέσεων Α και Γ, θεωρώντας ότι η δυναμική ενέργεια στην επιφάνεια της Γης είναι […]

Δραπετεύοντας από πεδίο βαρύτητας με επιτόπιο άλμα !

Ο δυσκολότερος γρίφος του κόσμου !

Δυο μαθηματικοί – ο Γ. και ο Α. – ταξίδευαν με εκπαιδευτικό αεροπλάνο πάνω από τη ζούγκλα και μετά από μια αναπάντεχη βλάβη του κινητήρα πραγματοποίησαν αναγκαστική προσγείωση. Ενώ γλίτωσαν από θαύμα την συντριβή για κακή τους τύχη συνελήφθησαν από μια φυλή ανθρωποφάγων. Όταν τους παρουσίασαν στον αρχηγό της φυλής με έκπληξη διαπίστωσαν ότι αυτός […]

Πως μπορώ να υπολογίσω την ταχύτητα του φωτός παρατηρώντας ένα….ραδιόφωνο !

Κοιτάζω ένα κοινό ραδιόφωνο FM και βλέπω ότι το εύρος συχνοτήτων του είναι (σε μεγαχέρτς) από 88 MHz έως 108 MHz. Δηλαδή περίπου στα f = 100 MHz – κατά μέσο όρο – μπορώ να συντονιστώ με έναν σταθμό που εκπέμπει στην ραδιοφωνική μπάντα των FM. Μια καλή κεραία ραδιοφώνου έχει μήκος περίπου 1 με […]