Αρχική › ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ › Πώς υπολογίζεται η «μισή» παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x

Πώς υπολογίζεται η «μισή» παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x

By on • ( 0 )

Έχει νόημα η μισή παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x, δηλαδή μια έκφραση της μορφής \dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x ;

Θα ξεκινήσουμε με την συνάρτηση f(x)=x^{k}, παραγωγίζοντάς την διαδοχικά:
f'(x)=kx^{k-1}
f''(x)=k(k-1)x^{k-2}
f^{(3)}(x)=k(k-1)(k-2)x^{k-3}
\cdots \cdots
f^{(a)}(x)= k(k-1)(k-2) \cdots (k-a)x^{k-a}=\dfrac{k !}{k-a) !}x^{k-a} \,\, k \geq 0
Χρησιμοποιώντας την γενίκευση του παραγοντικού με την συνάρτηση γάμμα n!=\Gamma (n+1), παίρνουμε: f^{(a)}(x)=\dfrac{\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)} x^{k-a}
Θέτοντας k=1 και a=1/2 προκύπτει:
\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x=\dfrac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)}x^{1/2} και δεδομένου ότι \Gamma(1)=1 και \Gamma (3/2)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}, θα έχουμε τελικά την ζητούμενη «μισή» παράγωγο της f(x)=x:
\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x}
Aν επαναλάβουμε την μισή παραγώγιση στην συνάρτηση που προέκυψε παίρνουμε ένα αποτέλεσμα που επαληθεύει την παραπάνω συλλογιστική:
\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \left( \dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x \right)= \dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \left( \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} x^{1/2}\right)\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \dfrac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)}x^{1/2-1/2}=1= \dfrac{d}{dx}x

Υπενθυμίζεται ότι o Neils Abel (1802-1829) ήταν πρώτος μαθηματικός που ανέπτυξε τις βασικές ιδέες του «κλασματικών» παραγώγων όταν μελετούσε το πρόβλημα του ισοχρόνου (ή ταυτοχρόνου), δηλαδή την κατασκευή μιας καμπύλης με την εξής ιδιότητα: όταν ένα σώμα αφεθεί να ολισθήσει χωρίς τριβές κατά μήκος της καμπύλης, ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει στο χαμηλότερο σημείο της καμπύλης να είναι ανεξάρτητος από το αρχικό ύψος.

διαβάστε περισσότερα στο άρθρο: A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus

twitter.com/ZahlenRMD

‹
›

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: , , , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Gravatar
Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. ( Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Ακύρωση

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: