Το ότι οι πρώτοι αριθμοί και οι δυνάμεις του 2 γοητεύουν πολλούς ανθρώπους δεν αποτελεί έκπληξη. Στην πραγματικότητα, το σύνολο των αριθμών χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τους ενδιαφέροντες και τους βαρετούς.
Ποιος είναι ο αγαπημένος σου αριθμός; Πολλοί άνθρωποι μπορεί να έχουν στο μυαλό τους έναν άρρητο αριθμό, όπως ο αριθμός π, ή ο αριθμός του Euler (e) ή την τετραγωνική ρίζα του 2. Κάποιοι άλλοι επιλέγουν από την δεξαμενή των ‘απλούστερων’ φυσικών αριθμών: το 3 (η αγία τριάδα), το 7 (οι επτά νάνοι, τα επτά θανάσιμα αμαρτήματα), το 13 ως γρουσούζικος αριθμός ή το 42, το οποίο έγινε δημοφιλές από το μυθιστόρημα «Γυρίστε τον Γαλαξία με ωτοστόπ» του Ντάγκλας Άνταμς.
Και τι γίνεται με έναν μεγαλύτερο αριθμό όπως ο 1729; Σίγουρα ο αριθμός αυτός δεν φαίνεται ιδιαίτερα συναρπαστικός στους περισσότερους ανθρώπους. Με μια πρώτη ματιά, δείχνει να είναι εντελώς βαρετός. Άλλωστε δεν είναι ούτε πρώτος αριθμός ούτε δύναμη του 2 ούτε το τετράγωνο κάποιου άλλου αριθμού. Ούτε τα ψηφία του ακολουθούν κάποιο προφανές μοτίβο. Αυτό σκέφτηκε ο μαθηματικός Godfrey Harold Hardy (1877–1947) όταν μπήκε σε ένα ταξί με αριθμό κυκλοφορίας 1729. Επισκεπτόταν τον άρρωστο συνάδελφό του Srinivasa Ramanujan (1887–1920) στο νοσοκομείο και του είπε για τον «βαρετό» αριθμό 1729. Ήλπιζε ότι δεν θα ήταν κακός οιωνός. «Όχι» απάντησε ο Ramanujan, «Δεν έχεις δίκιο, είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δυο κύβων, με δυο διαφορετικούς τρόπους».
Τώρα ίσως αναρωτηθείτε αν υπάρχει κάποιος αριθμός που δεν έχει κανένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό. Αυτή η ερώτηση οδηγεί γρήγορα σε ένα παράδοξο: αν υπάρχει πραγματικά ένας τέτοιος αριθμός n που δεν έχει συναρπαστικές ιδιότητες, τότε αυτό ακριβώς το γεγονός τον κάνει ξεχωριστό.
Όμως, υπάρχει πράγματι ένας τρόπος να προσδιοριστούν οι ενδιαφέρουσες ιδιότητες ενός αριθμού με αρκετά αντικειμενικό τρόπο – και προς μεγάλη έκπληξη των μαθηματικών, μια μελέτη του 2009 πρότεινε ότι οι φυσικοί αριθμοί (θετικοί ακέραιοι αριθμοί) χωρίζονται σε δύο σαφώς καθορισμένες κατηγορίες: τους συναρπαστικούς αριθμούς και τους βαρετούς αριθμούς.
Μια εμπεριστατωμένη εγκυκλοπαίδεια ακολουθιών αριθμών παρέχει ένα εργαλείο για τη διερεύνηση αυτών των δύο αντίθετων κατηγοριών. Ο μαθηματικός Neil Sloane είχε την ιδέα για μια τέτοια συλλογή το 1963, όταν έγραφε τη διδακτορική του διατριβή. Εκείνη την εποχή, μελετώντας έναν τύπο γραφήματος που ονομάζεται δίκτυο δέντρων συνάντησε μια ακολουθία αριθμών: 0, 1, 8, 78, 944,…
Δεν ήξερε πώς να υπολογίσει τους αριθμούς αυτής της σειράς και ήθελε να μάθει αν οι συνάδελφοί του είχαν ήδη συναντήσει παρόμοια ακολουθία κατά τη διάρκεια της έρευνάς τους. Αλλά σε αντίθεση με τους λογάριθμους ή άλλους μαθηματικούς τύπους, δεν υπήρχε καποιο αρχείο για ακολουθίες αριθμών. Έτσι, 10 χρόνια αργότερα, ο Sloane δημοσίευσε την πρώτη του εγκυκλοπαίδεια, A Handbook of Integer Sequences, η οποία περιείχε περίπου 2.400 ακολουθίες που αποδείχθηκαν χρήσιμες για την πραγματοποίηση διαφόρων υπολογισμών. Το βιβλίο γνώρισε τεράστια αποδοχή: «Υπάρχει η Παλαιά Διαθήκη, η Καινή Διαθήκη και το Εγχειρίδιο Ακέραιων Ακολουθιών», έγραψε ένας ενθουσιώδης αναγνώστης, σύμφωνα με τον Sloane.
Στα χρόνια που ακολούθησαν, υποβλήθηκαν στον Sloane πολύ περισσότερες ακολουθίες και εμφανίστηκαν επίσης επιστημονικές εργασίες με νέες ακολουθίες αριθμών. Αυτό τον ώθησε, μαζί με τον συνάδελφό του Simon Plouffe, το 1995 να δημοσιεύσουν την Εγκυκλοπαίδεια των Ακέραιων Ακολουθιών, η οποία περιείχε περίπου 5.500 ακολουθίες. Το περιεχόμενο συνέχισε να αυξάνεται ασταμάτητα, αλλά το Διαδίκτυο κατέστησε δυνατό τον έλεγχο της πλημμύρας δεδομένων: το 1996, η διαδικτυακή Εγκυκλοπαίδεια ακέραιων ακολουθιών (OEIS) εμφανίστηκε σε μια μορφή που δεν είχε περιορισμούς στον αριθμό των ακολουθιών που θα μπορούσαν να καταγραφούν. Από τον Μάρτιο του 2023, περιέχει μόλις περισσότερες από 360.000 καταχωρήσεις. Οι υποβολές μπορούν να γίνουν από οποιονδήποτε: ένα άτομο που κάνει μια καταχώριση χρειάζεται μόνο να εξηγήσει πώς δημιουργήθηκε η ακολουθία και γιατί είναι ενδιαφέρουσα, καθώς επίσης να δώσει παραδείγματα που εξηγούν τους πρώτους όρους. Στη συνέχεια, οι κριτικοί ελέγχουν την καταχώριση και τη δημοσιεύουν εφόσον ικανοποιεί αυτά τα κριτήρια.
Εκτός από γνωστές ακολουθίες όπως οι πρώτοι αριθμοί (2, 3, 5, 7, 11,…), οι δυνάμεις του 2 (2, 4, 8, 16, 32,…) ή η ακολουθία Fibonacci (1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13,…), ο κατάλογος OEIS περιέχει και εξωτικά παραδείγματα, όπως τον αριθμό των τρόπων κατασκευής ενός σταθερού πύργου από n τουβλάκια Lego με 2×4 καρφιά, (1 , 24, 1.560, 119.580, 10.166.403,…) ή την «ακολουθία του τεμπέλικου κέτεριγκ» (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29,…), ο μέγιστος αριθμός κομματιών πίτας που μπορεί να επιτευχθεί με n ευθύγραμμους τεμαχισμούς.
Η συλλογή ακολουθιών OEIS είναι αρκετά γνωστή στην κοινότητα που ασχολείται με τα μαθηματικά, και αυτό την καθιστά κατάλληλη για τη μελέτη της δημοφιλίας των αριθμών. Όσο πιο συχνά εμφανίζεται ένας αριθμός στη λίστα, τόσο πιο ενδιαφέρων είναι.
Τουλάχιστον, αυτή ήταν η σκέψη του Philippe Guglielmetti, ο οποίος διευθύνει το γαλλόφωνο ιστολόγιο Dr. Goulu. Σε μια ανάρτηση, ο Guglielmetti θυμήθηκε τον ισχυρισμό ενός πρώην καθηγητή μαθηματικών ότι το 1548 ήταν ένας αυθαίρετος αριθμός χωρίς κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα. Όμως ο αριθμός αυτός εμφανίζεται στην πραγματικότητα 326 φορές στον κατάλογο OEIS, για παράδειγμα στην ακολουθία “eventual period of a single cell in rule 110 cellular automaton in a cyclic universe of width n.” Ο Hardy έκανε επίσης λάθος όταν ονόμασε τον αριθμό κυκλοφορίας ενός ταξί 1729 ως βαρετό: Το 1729 εμφανίζεται 918 φορές στη βάση δεδομένων (όπως και στην κωμική σειρά επιστημονικής φαντασίας Futurama).
Έτσι, με αυτόν το τρόπο Guglielmetti αναζήτησε τους πραγματικά βαρετούς αριθμούς, όσους δεν εμφανίζονται σχεδόν καθόλου στον κατάλογο OEIS. Για παράδειγμα, ένας τέτοιος αριθμός είναι ο 20.067. Είναι ο μικρότερος αριθμός που δεν εμφανίζεται σε καμία από τις πολυάριθμες αποθηκευμένες ακολουθίες αριθμών. Επομένως, ο αριθμός 20.067 φαίνεται αρκετά ανιαρός. Αντιθέτως, υπάρχουν έξι συμμετοχές για τον επόμενο αριθμό, τον 20.068.
Όμως δεν υπάρχει ένας παγκόσμιος νόμος των βαρετών αριθμών και ο χαρακτηρισμός του 20.067 μπορεί να αλλάξει. Ίσως κατά τη διάρκεια της συγγραφής αυτού του άρθρου, ανακαλύφθηκε μια νέα ακολουθία στην οποία ανήκει ο 20.067. Μέχρι να βρεθεί ο νόμος των ανιαρών αριθμών, οι εμφανίσεις ενός δεδομένου αριθμού στον κατάλογο ακολουθιών OEIS αποτελεί ένα μέτρο του πόσο ενδιαφέρον έχει αυτός ο αριθμός.
Ο Guglielmetti έκανε την γραφική παράσταση της συχνότητας εμφάνισης των φυσικών αριθμών στον κατάλογο OEIS βρίσκοντας ότι η γραφική παράσταση συνίσταται από δύο ζώνες που διαχωρίζονται από ένα σαφώς ορατό κενό. Έτσι, ένας φυσικός αριθμός εμφανίζεται είτε ιδιαίτερα συχνά είτε εξαιρετικά σπάνια στη βάση δεδομένων OEIS.
Εντυπωσιαμένος από αυτό το αποτέλεσμα, ο Guglielmetti απευθύνθηκε στον μαθηματικό Jean-Paul Delahaye, ο οποίος αρθρογραφεί στο Pour la Science, την γαλλόφωνη αδελφή έκδοση του Scientific American. Ήθελε να μάθει αν οι ειδικοί είχαν ήδη μελετήσει αυτό το φαινόμενο. Αυτό δεν είχε γίνει, οπότε ο Delahaye ερεύνησε το θέμα πιο προσεκτικά σε συνεργασία με τους Nicolas Gauvrit και Hector Zenil. Χρησιμοποίησαν αποτελέσματα από την αλγοριθμική θεωρία πληροφοριών, η οποία μετρά την πολυπλοκότητα μιας έκφρασης με το μήκος του συντομότερου αλγορίθμου που περιγράφει την έκφραση.
Για παράδειγμα, ένας αυθαίρετος πενταψήφιος αριθμός όπως το 47.934 είναι πιο δύσκολο να περιγραφεί («η ακολουθία των ψηφίων 4, 7, 9, 3, 4») από τον 16.384 (214). Σύμφωνα με ένα θεώρημα από τη θεωρία της πληροφορίας, οι αριθμοί με πολλές ιδιότητες συνήθως έχουν επίσης μικρή πολυπλοκότητα. Δηλαδή, οι τιμές που εμφανίζονται συχνά στον κατάλογο OEIS είναι πιο πιθανό να είναι απλές στην περιγραφή. Οι Delahaye, Gauvrit και Zenil απέδειξαν ότι η θεωρία πληροφοριών προβλέπει μια παρόμοια πορεία για την πολυπλοκότητα των φυσικών αριθμών όπως αυτή που εμφανίζεται στην καμπύλη του Guglielmetti. Αλλά αυτό δεν εξηγεί το χάσμα σε αυτή την καμπύλη, γνωστό ως «Sloane’s gap», από τον Neil Sloane.
Οι τρεις μαθηματικοί πρότειναν ότι το χάσμα προκύπτει από κοινωνικούς παράγοντες όπως η προτίμηση για ορισμένους αριθμούς. Για να το τεκμηριώσουν αυτό, έτρεξαν αυτό που είναι γνωστό ως προσομοίωση Μόντε Κάρλο: σχεδίασαν μια συνάρτηση που αντιστοιχεί φυσικούς αριθμούς σε φυσικούς αριθμούς, με τέτοιο τρόπο ώστε οι μικροί αριθμοί να βγαίνουν πιο συχνά από τους μεγαλύτερους. Οι ερευνητές έβαλαν τυχαίες τιμές στη συνάρτηση και σχεδίασαν τα αποτελέσματα ανάλογα με τη συχνότητα εμφάνισής τους. Αυτό παρήγαγε μια ασαφή, κεκλιμένη καμπύλη παρόμοια με αυτή των δεδομένων στον κατάλογο OEIS. Όμως, όπως και στην ανάλυση της θεωρίας της πληροφορίας, δεν υπήρχε κανένα ίχνος κενού.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα πώς προκύπτει το χάσμα, πρέπει να δούμε ποιοι αριθμοί πεφτουν σε ποια ζώνη. Για μικρές τιμές έως περίπου 300, το χάσμα του Sloane δεν είναι πολύ έντονο. Μόνο για μεγαλύτερους αριθμούς το χάσμα ανοίγει σημαντικά: περίπου το 18 τοις εκατό όλων των αριθμών μεταξύ 300 και 10.000 βρίσκονται στην «ενδιαφέρουσα» ζώνη, ενώ το υπόλοιπο 82 τοις εκατό ανήκει στις «βαρετές» τιμές. Όπως αποδεικνύεται, η ενδιαφέρουσα ζώνη περιλαμβάνει περίπου το 95,2 τοις εκατό όλων των αριθμών που είναι τέλεια τετράγωνα και το 99,7 τοις εκατό των πρώτων αριθμών, καθώς και το 39 τοις εκατό των αριθμών με πολλούς πρώτους παράγοντες. Αυτές οι τρεις κατηγορίες αντιπροσωπεύουν ήδη σχεδόν το 88 τοις εκατό της ενδιαφέρουσας μπάντας. Οι υπόλοιπες τιμές έχουν εντυπωσιακές ιδιότητες όπως το 1111 ή οι τύποι 2n + 1 και 2n – 1, αντίστοιχα.
Σύμφωνα με τη θεωρία της πληροφορίας, οι αριθμοί που θα πρέπει να παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι αυτοί που έχουν χαμηλή πολυπλοκότητα, δηλαδή είναι εύκολο να εκφραστούν. Αλλά αν οι μαθηματικοί θεωρούν ορισμένες τιμές πιο συναρπαστικές από άλλες ίσης πολυπλοκότητας, αυτό μπορεί να οδηγήσει στο χάσμα του Sloane, όπως υποστηρίζουν οι Delahaye, Gauvrit και Zenil. Για παράδειγμα: οι εκφράσεις 2n + 1 and 2n + 2 είναι εξίσου σύνθετες από την άποψη της θεωρίας πληροφοριών, αλλά μόνο οι τιμές του πρώτου τύπου βρίσκονται στην «ενδιαφέρουσα ζώνη». Αυτό συμβαίνει επειδή οι αριθμοί που προκύπτουν από την έκφραση αυτή βοηθούν την μελέτη των πρώτων αριθμών, και γι’ αυτό εμφανίζονται σε πολλά διαφορετικά πλαίσια.
Έτσι, ο διαχωρισμός σε ενδιαφέροντες και βαρετούς αριθμούς φαίνεται να προέρχεται από τις κρίσεις που κάνουμε, όπως το να δίνουμε σημασία στους πρώτους αριθμούς. Αν θέλετε να δώσετε μια πραγματικά δημιουργική απάντηση όταν σας ρωτήσουν ποιος είναι ο αγαπημένος σας αριθμός, θα μπορούσατε να εμφανίσετε έναν αριθμό όπως το 20.067, ο οποίος δεν έχει καταχωρηθεί ακόμη στην εγκυκλοπαίδεια του Sloane.
πηγή: https://www.scientificamerican.com/article/the-most-boring-number-in-the-world-is/
Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
physicsgg 
Σχολιάστε