Το 1893 ο Γερμανός Wilhelm Wien (Νόμπελ Φυσικής 1911) απέδειξε χρησιμοποιώντας κλασική θερμοδυναμική, αυτό που είχε ήδη παρατηρήσει ποιοτικά ο Αμερικανός Samuel Langley: ότι το μήκος κύματος στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ποσότητα ακτινοβολίας ενός θερμού (μέλανος) σώματος είναι αντιστρόφως ανάλογο της θερμοκρασίας του σώματος: , (λ_max σε m και Τ σε Κelvin). Η εξίσωση αυτή εκφράζει το νόμο μετατόπισης του Wien.

Έτσι, θεωρώντας τον Ήλιο ως μέλαν σώμα με επιφανειακή θερμοκρασία T≈5800K, προκύπτει ότι το μήκος κύματος στο οποίο εκπέμπεται η περισσότερη ποσότητα ακτινοβολία είναι τα 520nm. Ή αν εξετάσουμε την φασματική κατανομή Planck της ακτινοβολίας μέλανος σώματος, τα μήκη κύματος που αντιστοιχούν στο εύρος της κορυφής της ανήκουν στο ορατό φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (από 400nm έως 700nm), όπως ακριβώς δείχνει το διάγραμμα που ακολουθεί:

Πρόκειται για μια από τις εντυπωσιακές εφαρμογές του νόμου μετατόπισης του Wien – την συσχέτιση της θερμοκρασίας Τ με το χρώμα (μήκος κύματος λ_max) που αντιστοιχεί στο μέγιστο της κατονομής Planck μέλανος σώματος (είτε αναφερόμαστε στον Ήλιο είτε σε οποιοδήποτε άστρο).

Ο Ήλιος, όπως και όλα τα μέλανα σώματα, εκπέμπει ακτινοβολία σε ολόκληρο το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. Όχι όμως την ίδια ποσότητα ακτινοβολίας σε κάθε μήκος κύματος ή κάθε χρώμα. Oι μονάδες μέτρησης της φασματικής ενεργειακής πυκνότητας είναι: , δηλαδή ενέργεια ως προς την τέταρτη δύναμη του μήκους, αφού για να προκύψει η ενεργειακή πυκνότητα (σε ) από το γράφημα πρέπει να θεωρήσουμε κάποια περιοχή μηκών κύματος.

Ας ανοίξουμε τώρα το κουτί της Πανδώρας … ρωτώντας πώς θα μοιάζει η παραπάνω φασματική πυκνότητα ενέργειας αν την σχεδιάσουμε ως συνάρτηση της συχνότητας;
Λοιπόν, ιδού το αποτέλεσμα:

Όμως εδώ βλέπουμε πως η κορυφή στην φασματική κατανομή Planck του μέλανος σώματος σίγουρα δεν αντιστοιχεί στο ορατό φως!! Το μέγιστο αντιστοιχεί στην υπέρυθρη ακτινοβολία και το μέσον του ορατού εύρους είναι μετατοπισμένο στον οριζόντιο άξονα των συχνοτήτων κατά έναν παράγοντα 2 από το μέγιστο.
Γιατί συμβαίνει αυτό; Ή καλύτερα, πως εξηγείται αυτό το γεγονός;

Θα περίμενε κανείς πως αν μετασχηματίζαμε το μήκος κύματος λ σε συχνότητα, τότε η τιμή λ_max θα αντιστοιχούσε στην τιμή f_max=c/λ_max, που θα καθόριζε το μέγιστο της φασματικής κατανομής ως προς την συχνότητα. Κάτι το οποίο προφανώς δεν ισχύει.

Για να κατανοήσουμε τον γρίφο πρέπει να συνειδητοποιήσουμε ότι τα δυο γραφήματα εκφράζουν φασματικές πυκνότητες. Θα πάρουμε την «συνήθη» ενεργειακή πυκνότητα μόνο αφού ενσωματώσουμε την φασματική πυκνότητα είτε σε ένα εύρος μηκών κύματος κύματος είτε σε ένα εύρος συχνοτήτων.
Αυτή η ‘ολοκληρωμένη’ ενεργειακή πυκνότητα είναι που έχει φυσική αξία. Αυτή πρέπει να «διατηρείται» κατά τη μετάβαση από το διάγραμμα συναρτήσει του μήκους κύματος στο διάγραμμα συναρτήσει της συχνότητας. Γιαυτό αναφερόμαστε στην ενεργειακή πυκνότητα μέσα σε μια μικροσκοπική φασματική περιοχή.

Ας συμβολίσουμε την φασματική συνάρτηση ως προς το μήκος κύματος με u_λ (το «λ» είναι απλός δείκτης). Πρόκειται για μια συνάρτηση του μήκους κύματος: u_λ(λ). Η αντίστοιχη φασματική συνάρτηση ως προς τη συχνότητα συμβολίζεται με u_f(f).
Αφελώς, θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι αφού λ=c/f, τότε απλά … κάνουμε τον μετασχηματισμό u_f(f)=u_λ(c/f). Αν ίσχυε κάτι τέτοιο τότε, το μέγιστο της κατανομής u_λ θα αντιστοιχούσε πράγματι στο μέγιστο της u_f, όπως θα ‘αναμενόταν’, αλλά αυτός ο μετασχηματισμός είναι λάθος!
Είναι λάθος γιατί στη μετασχηματισμένη περιοχή μεταξύ f και f+df, δεν αντιστοιχεί η σωστή ποσότητα ενεργειακής πυκνότητας που περιέχεται μεταξύ λ και λ+dλ. Για να διερευνήσουμε το πρόβλημα, μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση που ικανοποιεί το ζητούμενο: u_f(f) df = u_λ(λ) dλ.

Αυτή η εξίσωση, εξ’ ορισμού, παίρνει την ενεργειακή πυκνότητα από μια διαμέριση μήκους κύματος και την αντιστοιχεί σε μια διαμέριση συχνότητας. Η οποία δίνει την u_f(f) = u_λ(c/f) dλ/df – η οποία περιέχει μια Ιακωβιανή! Και σ’ αυτή οφείλεται η ΤΕΡΑΣΤΙΑ διαφορά!

Στην πραγματικότητα, καθώς το πρόσημο της παραγώγου δεν έχει σημασία, συνήθως βάζουμε την Jacobian σε απόλυτο: u_f(f) = u_λ(c/f) |dλ/df|
Η Jacobian είναι μια μη τετριμμένη συνάρτηση της f και έτσι παίρνουμε u_f(f) = u_λ(c/f)×(c/f²). Προφανώς, είναι ο επιπλέον παράγοντας c/f² που μετατοπίζει την θέση της κορυφής.

Τα μαθηματικά είναι ξεκάθαρα. Αλλά μπορούμε να τα οπτικοποιήσουμε!
Η παρακάτω εικόνα δείχνει πώς το φάσμα συναρτήσει του λ (πάνω αριστερά) «μεταπίπτει» από τον μη γραμμικό μετασχηματισμό λ→f για να μας δώσει το φάσμα συναρτήσει του f (κάτω δεξιά). Το κάτω αριστερό γράφημα δείχνει την μη γραμμική σχέση του μετασχηματισμού f=c/λ.
Όμως τα εμβαδά πρέπει να διατηρούνται κατά τον μετασχηματισμό. Κι αυτό προκαλεί την μετατόπιση του μεγίστου.

Καθώς αυξάνεται το λ οι σταθερές διαμερίσεις μήκους κύματος αντιστοιχούν σε ολοένα και μικρότερες διαμερίσεις συχνότητας και έτσι πρέπει να αυξήσουμε κι άλλο το ύψος του u_f για να διατηρήσουμε το εμβαδόν! Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια μετατόπιση του νέου μέγιστου της u_f(f) σε σχέση με το μέγιστο της συνάρτησης u_λ(λ).
Ας το δούμε και σε κινούμενη εικόνα στο βίντεο που ακολουθεί:

Τελικά, αληθεύει ότι στο φάσμα του Ήλιου κυριαρχεί το ορατό τμήμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας;
Η απάντηση είναι: εξαρτάται από το πώς θα το σχεδιάσετε! Ως προς την συχνότητα ή ως προς το μήκος κύματος;

πηγή: Markus Deserno –https://twitter.com/MarkusDeserno/status/1584248799161364480

διαβάστε επίσης: A better presentation of Planck’s radiation law

Κατηγορίες:ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ, Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ, PHYSICS, Wien