Το ενεργειακό παράθυρο Gamow

Oι βασικές πυρηνικές αντιδράσεις που πραγματοποιούνται στο εσωτερικό άστρων όπως ο Ήλιος

Στο εσωτερικό των άστρων πραγματοποιούνται πυρηνικές αντιδράσεις σύντηξης, όπως συνέβη και κατά την διάρκεια των πρώτων λεπτών μετά την Μεγάλη Έκρηξη.
Για να συμβεί μια πυρηνική αντίδραση σύντηξης πρέπει δύο πυρήνες να έρθουν πολύ κοντά ώστε οι ελκτικές ισχυρές πυρηνικές τους δυνάμεις μπορέσουν να τους κάνουν να συσσωματωθούν, προκαλώντας αυτό που λέμε σύντηξη. Το πλησίασμα όμως των πυρήνων παρεμποδίζεται εξαιτίας των απωστικών δυνάμεων Coulomb. Για να επιτευχθεί η σύντηξη οι δύο πυρήνες πρέπει να διαπεράσουν το «φράγμα» που δημιουργείται από τις απωστικές δυνάμεις.

Το τετραγωνικό πηγάδι του ελκτικού δυναμικού του πυρήνα (r< R0) συν το απωστικό δυναμικό Coulomb (r > R0). Ένας σωμάτιο-πυρήνας μπορεί να διασχίσει το φράγμα Coloumb εξαιτίας του κβαντομηχανικού φαινομένου σήραγγας, ακόμα κι αν η ενέργειά του Ε είναι μικρότερη από το φράγμα ύψους VC = Z1Z2e2/R0. Η δυνατότητα των κβαντικών σωματιδίων να διασχίζουν κλασικά απαγορευμένες περιοχές πεπερασμένης έκτασης και να συνεχίζουν την κίνησή τους από την άλλη μεριά του «φράγματος», αναφέρεται συνήθως ως φαινόμενο σήραγγας.
Η πιθανότητα διέλευσης μπορεί να υπολογιστεί αν χψρίσουμε το φράγμα ύψους VC = Z1Z2e2/R0 σε μικρά τετραγωνικά φράγματα δυναμικού, η πιθανότητα διέλευσης των οποίων υπολογίζεται «ευκολότερα».

Οι πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό των άστρων γίνονται συνήθως μεταξύ δυο σωματίων-πυρήνων 1 και 2 από την αλληλεπίδραση των οποίων προκύπτουν δυο νέα σωμάτια: 1 + 2 → 3 + 4. Υπάρχουν και μερικές σπάνιες περιπτώσεις πυρηνοσύνθεσης όπου η αλληλεπίδραση τριών σωματίων παίζει πολυ σημαντικό ρόλο στην αστρική εξέλιξη, όπως η αντίδραση των τριών α.

Σε ένα περιβάλλον πυρηνοσύνθεσης – είτε στο εσωτερικό των άστρων είτε στα πρώτα λεπτά της Μεγάλης Έκρηξης – για να ξεκινήσουν οι πυρηνικές αντιδράσεις σύντηξης πρέπει να επικρατεί η κατάλληλη θερμοκρασία – όσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία τόσο μεγαλύτερες είναι και οι ταχύτητες των πυρήνων.

Στην εξέλιξη της αστρικής ή της αρχέγονης πυρηνοσύνθεσης παίζει σημαντικό ρόλο το ενεργειακό παράθυρο Gamow, ένα εύρος ενέργειας στο οποίο οι πυρηνικές αντιδράσεις πραγματοποιούνται με την μέγιστη πιθανότητα. Αυτό το ενεργειακό εύρος είναι χαρακτηριστικό για κάθε πυρηνική αντίδραση σύντηξης σε μια συγκεκριμένη θερμοκρασία. Το όνομα δόθηκε προς τιμήν του George Gamow, έναν από τους πρώτους φυσικούς του 20ου αιώνα – που ασχολήθηκε με την αρχέγονη πυρηνοσύνθεση στα πρώτα λεπτά της Μεγάλης Έκρηξης.

Η ενεργός διατομή και ο αστρικός ρυθμός αντίδρασης

Έστω ότι σε ένα αστρικό περιβάλλον που πραγματοποιείται πυρηνοσύνθεση, Ν1 είναι η πυκνότητα των σωματιδίων τύπου 1 και Ν2 η πυκνότητα των σωματιδίων τύπου 2, τότε ο αριθμός των πυρηνικών αντιδράσεων 1 + 2 → 3 + 4 που πραγματοποιούνται ανά μονάδα όγκου ανά δευτερόλεπτο ορίζεται από την εξίσωση: r=N_{1}N_{2} <\sigma v>. To φυσικό μέγεθος < \sigma v> αναφέρεται ως αστρικός ρυθμός αντίδρασης (stellar reaction rate) και είναι η μέση τιμή του γινομένου της ενεργού διατομής της σντίδρασης \sigma (v) και της σχετικής ταχύτητας v των σωματιδίων 1 και 2.

Το μέγεθος για το οποίο ενδιαφέρονται οι φυσικοί όσον αφορά τις πυρηνικές αντιδράσεις είναι η ενεργός διατομή (cross section). Η ενεργός διατομή \sigma εκφράζει την πιθανότητα του σωματιδίου-βλήματος να αλληλεπιδράσει με με το σωματίδιο-στόχο. H ενεργός διατομή θα μπορούσε να πει κανείς πως παριστάνει το εμβαδόν που «προσφέρει» στην προσπίπτουσα δέσμη το κέντρο σκέδασης και αυτός είναι ο λόγος που η μονάδα μέτρησής της είναι μονάδα εμβαδού, το 1 barn (b) = 10-28 m2, που προσεγγιστικά είναι το εμβαδόν διατομής ενός πυρήνα ουρανίου. Η ονομασία barn προέρχεται από την έκφραση «big as a barn (μεγάλο σαν αχυρώνας)» που χρησιμοποιούσαν οι φυσικοί για τον πυρήνα ουρανίου σε πειράματα σκέδασης νετρονίων !!)

Αν σε ένα αστρικό περιβάλλον με μια συγκεκριμένη θερμοκρασία Τ υποθέσουμε ότι οι σχετικές ταχύτητες των πυρήνων ακολουθούν την κατανομή Maxwell-Boltzman \phi (v)=4 \pi v^{2} \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{3/2} e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}} , τότε ο αστρικός ρυθμός αντίδρασης μπορεί να γραφεί ως:

< \sigma v> \sim \frac{1}{\sqrt{ \mu} (kT)^{3/2}} \displaystyle \int_{0}^{\infty} \sigma (E) E e^{-\frac{E}{kT}} dE \,\,\, (1)

όπου \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} η ανηγμένη μάζα και E=\frac{1}{2} \mu v^{2} η ενέργεια στο σύστημα κέντρου μάζας των σωματιδίων 1 και 2.

Η ενεργός διατομή της αντίδρασης μεταξύ δυο φορτισμένων σωματιδίων γράφεται και ως:

\sigma (E) = \frac{1}{E} e^{-2 \pi \gamma} S(E) \,\,\,\,\,\,\, (2)  

Στην εξίσωση αυτή:
(α) ο όρος 1/E εκφράζει την εξάρτηση της ενεργού διατομής από το μήκος κύματος De Boglie \sigma(E) \thicksim \pi \lambda^{2} \thicksim 1/E
(β) ο εκθετικός όρος e^{-2 \pi \gamma} που εκφράζει το κβαντομηχανικό φαινόμενο σήραγγος, είναι μια προσεγγιστική έκφραση του συντελεστή διέλευσης στο δυναμικό Coulomb, ενώ η ποσότητα 2 \pi \gamma είναι ίση με 2 \pi \gamma =31,3 Z_{1}Z_{2}\sqrt{\frac{\mu}{E}}=\frac{b}{\sqrt{E}}, (E σε keV).
(γ) η συνάρτηση S (E) εκφράζει την εξάρτηση της ενεργού διατομής από όλα τα απευθείας πυρηνικά φαινόμενα. Στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως αστροφυσικός παράγοντας ή παράγοντας ενεργού διατομής ή δεύτερη σταθερή Gamow.

Στην περίπτωση που ο αστροφυσικός παράγοντας είναι σχεδόν σταθερός με την ενέργεια (όταν δεν υπάρχουν συντονισμοί) τότε συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1) και (2) έχουμε:

< \sigma v> \sim \dfrac{1}{\sqrt{ \mu} (kT)^{3/2}} \displaystyle \int_{0}^{\infty}  e^{\left( -\frac{E}{kT}-\frac{b}{\sqrt{E}} \right)} dE \,\,\, (3)

H συνάρτηση που περιέχεται στο ολοκλήρωμα είναι το γινόμενο της κατανομής Maxwell-Boltzmann και του συντελεστή διείσδυσης στο δυναμικό Coulomb. Μια ωραία μαθηματική εξάσκηση είναι να δείξουμε ότι η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστη τιμή I_{max}=e^{-\frac{3E_{0}}{kT}} στην ενέργεια:

E_{0}=\left(\frac{b\,kT}{2} \right)^{2/3} \,\,\, (4)

H εκθετική συνάρτηση e^{ -\frac{E}{kT}-\frac{b}{\sqrt{E}}} στο ολοκλήρωμα μπορεί να προσεγγιστεί από μια γκαουσιανή συνάρτηση: I_{max} e^{-\left( \frac{E-E_{0}}{\Delta/2} \right)^{2}}. Έτσι, για μια δεδομένη θερμοκρασία Τ η κύρια συνεισφορά της εξίσωσης (3) που προσδιορίζει τον αστρικό ρυθμό αντίδρασης προέρχεται από το ενεργειακό διάστημα E=E_{0} \pm \Delta/2, όπου:

\Delta = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{E_{0}kT} \sim T^{5/6}\,\,\,

Το ενεργειακό εύρος Δ, στο οποίο η πυρηνική αντίδραση 1 + 2 → 3 + 4 σε μια συγκεκριμένη θερμοκρασία Τ πραγματοποιείται με την μεγαλύτερη απόδοση, ονομάζεται παράθυρο Gamow και η ενέργεια E_{0} κορυφή Gamow.

1. Μπορείτε να βρείτε το ενεργειακό παράθυρο Gamow για οποαδήποτε πυρηνική αντίδραση σύντηξης ΕΔΩ: https://radium.phys.uoa.gr/Javas/gamowin.html
2. Περισσότερες λεπτομέρειες για την πυρηνική φυσική των άστρων περιέχονται στο βιβλίο «Nuclear Physics of Stars» by C. Iliadis, Wiley, το οποίο μπορείτε να κατεβάσετε δωρεάν από εδώ: https://radium.phys.uoa.gr/ebk/Iliadis_NuclearPhysicsOfTheStars.pdf



Κατηγορίες:ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ, ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: , , , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: