Οι άλγεβρες Lie στην Φυσική των σωματιδίων

Στην κλασική μηχανική του Hamilton η κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται από τις n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης q_{1}, q_{2}, \cdots q_{n} και τις n γενικευμένες ορμές p_{1}, p_{2}, \cdots p_{n}. Oι συνολικά N=2n μεταβλητές ονομάζονται κανονικές μεταβλητές του συστήματος. Τα φυσικά μεγέθη όπως η ενέργεια και ορμή είναι συναρτήσεις των κανονικών μεταβλητών F=F(q,p). Aυτές οι συναρτήσεις οι οποίες ονομάζονται παρατηρήσιμα μεγέθη, αποτελούν μια άλγεβρα Lie απείρων διαστάσεων ως προς την αγκύλη Poisson: \{ F,G \} = \displaystyle \sum_{i=1} ^{N} \left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right)
H χρονική εξέλιξη οποιασδήποτε συνάρτησης f (ή παρατηρήσιμου μεγέθους) καθορίζεται από την χαμιλτονιανή συνάρτηση H (που γεννάει τη δράση των χρονικών μετατοπίσεων και σχετίζεται με την συνολική ενέργεια του συστήματος) σύμφωνα με την σχέση: \dfrac{df}{dt}=\dot{f}=\{f,H \}
Έτσι, η δυναμική του συστήματος προκύπτει από τις εξισώσεις κίνησης: \dot{q_{i}}= \{ q_{i} ,H \} και \dot{p_{i}}=\{p_{i} ,H\}, που είναι ισοδύναμες με τις γνωστές εξισώσεις \dot{q_{i}}=\dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} και \dot{p_{i}}=-\dfrac{\partial H}{\partial q_{i}}.
Όταν μια συνάρτηση f ικανοποιεί την σχέση \{f,H \} =0, τότε δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο και έτσι προκύπτει μια συμμετρία του συστήματος (ή μια αρχή διατήρησης). Κι αν φτάσει κανείς σε ένα τέτοιο σημείο κατανόησης, τότε από κει και πέρα η κβάντωση ενός κλασικού συστήματος φαίνεται ως κάτι μαθηματικά προφανές, αν μεταβεί από την παραπάνω άλγεβρα Lie σε μια μοναδιαία αναπαράσταση της άλγεβρας Lie, για να καταλήξει αργότερα στο μεδούλι της θεωρητικής φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων.

Το ρόλο των ομάδων και αλγεβρών Lie στην φυσική εξετάζει το βιβλίο με τίτλο ‘Lie Algebras In Particle Physics’ που έγραψε ο γνωστός θεωρητικός φυσικός Howard Georgi και κυκλοφόρησε για πρώτη φορά το 1999. Το 2021 κυκλοφόρησε σε μορφή eBook. Το ωραίο είναι ότι μπορεί κανείς να το κατεβάσει δωρεάν σε μορφή pdf π.χ. από ΕΔΩ ή (επίσης δωρεάν) σε έκδοση Kindle από την Amazon.

Σύμφωνα με τον Georgi: Τα μαθηματικά των αλγεβρών Lie είναι ένα κόσμημα – ένας κρυστάλλινος θησαυρός παντοτινής αξίας. Η φυσική στην οποία εφαρμόζονται, δεν εμπεριέχει τόση αγνή και αιώνια ομορφιά. Στη φυσική, σε αντίθεση με τα μαθηματικά, ωθούμαστε συνεχώς προς αντίθετες κατευθύνσεις. Στον έναν πόλο, υπάρχει η ενοποίηση, η απλότητα και η κομψότητα – το πλατωνικό ιδεώδες της φύσης που δημιουργείται από (αλλά και δημιουργεί) τα μαθηματικά. Από την άλλη, υπάρχει το θαυμαστό χάος του πραγματικού κόσμου – ακατάστατο, τυχαίο και συνεχώς εξελισσόμενο με την πειραματική μας ικανότητα να διερευνούμε τον πλούτο του. Η καλή φυσική πρέπει να αγκαλιάζει αυτούς τους αντίποδες. Κι αυτό είναι που την κάνει τόσο διασκεδαστική!



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

Ετικέτες: ,

2 replies

  1. Εξαιρετικό άρθρο, ευχαριστούμε!

  2. Χα, χα, χα αφού είναι άλγεβρα Lie είναι ψεύτικη.
    Σε αντίθεση με τον κ Τάσο εγώ δεν κατάλαβα τπτ από το άρθρο. Μου άρεσε όμως το συμπέρασμα στον επίλογο.

Γράψτε απάντηση στο Sofia Ακύρωση απάντησης

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: