Ένα κυματοπακέτο με πολλές συνιστώσες

Η μελέτη του κυματοπακέτου που προκύπτει από την επαλληλία πολλών αρμονικών κυμάτων, μπορεί να μας οδηγήσει στην απόδειξη του θεωρήματος εύρους ζώνης – το «κλασικό ανάλογο» της αρχής αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ.

Αρχικά θα προσεγγίσουμε την επαλληλία n αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος Α αλλά διαφορετικές συχνότητες που διαφέρουν μεταξύ τους κατά δω, ξεκινώντας από την συχνότητα ω1=ω και φτάνοντας στην ω2=ω+(n–1)δω. Η κίνηση του ελαστικού μέσου στην θέση x=0, περιγράφεται από το άθροισμα: \psi_{o \lambda}=A \cos \omega t + A \cos (\omega t + \delta \omega \cdot t) + A \cos (\omega t + 2 \delta \omega \cdot t) + \cdots A \cos [\omega t + (n-1)  \delta \omega \cdot t]
Αν θέσουμε \theta=\delta \omega \cdot t προκύπτει: \psi_{o \lambda}=A \cos \omega t + A \cos (\omega t + \theta) + A \cos (\omega t + 2 \theta) + \cdots A \cos [\omega t + (n-1)  \theta]
Το εν λόγω άθροισμα ισοδυναμεί με την σύνθεση n αρμονικών ταλαντώσεων ίδιου πλάτους Α και ίσων διαδοχικών διαφορών φάσεων θ μεταξύ τους. Για τον υπολογισμό αυτής της σειράς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον διανυσματικό τρόπο σύνθεσης αρμονικών ταλαντώσεων ίδιου πλάτους Α και διαφορών φάσεων θ μεταξύ τους.

Η σύνθεση πολλών αρμονικών ταλαντώσεων

Έστω n αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, ίδιου πλάτους (που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση) και με ίσες διαδοχικές διαφορές φάσης θ. Το άθροισμά τους επιτυγχάνεται διανυσματικά σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα:

Τώρα με απλή γεωμετρία και τριγωνομετρία μπορούμε να υπολογίσουμε το πλάτος Αολ και την αρχική φάση φ της συνισταμένης ταλάντωσης. Από το ισοσκελές τρίγωνο (ΟΚΒ) προκύπτει ότι: \sin \frac{\theta}{2}=\frac{A/2}{r} ή A=2r \sin \frac{\theta}{2} και r=\frac{A}{2 \sin \theta/2}, ενώ από το ισοσκελές (ΟΚΓ) με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε για το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης: A_{o \lambda}=2r \sin \frac{n\theta}{2}=A\frac{\sin n \theta/2}{\sin \theta/2}.
Από τα ίδια ισοσκελή τρίγωνα προκύπτει ότι για τις αντίστοιχες γωνίες K \hat{O} \Gamma=90^{o}-\frac{n \theta} {2} και K \hat{O} B=90^{o}-\frac{\theta} {2}, επομένως η αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης γράφεται: \phi=K \hat{O} B -K \hat{O} \Gamma ή \phi=\frac{(n-1) \theta}{2}. Έτσι, η η απομάκρυνση της συνισταμένης ταλάντωσης θα δίνεται από την σχέση: \psi_{o \lambda}=A\frac{\sin n \theta/2}{\sin \theta/2} \cos \left[ \omega t+ (n-1) \theta /2 \right].
Θεωρώντας πολύ μεγάλο n και το θ πολύ μικρό ισχύουν: \phi=\frac{(n-1) \theta}{2} \approx \frac{n \theta}{2} και \sin \theta/2 \approx \theta/2 =\phi/n. Έχοντας τις σχέσεις αυτές υπόψιν εύκολα αποδεικνύεται ότι: A_{o \lambda}=A\frac{\sin n \theta/2}{\sin \theta/2} ή A_{o \lambda} \approx  A\frac{\sin n \theta/2}{\theta/2}  και πιο κομψά A_{o \lambda} \approx \frac{nA \sin \phi}{\phi} . Επομένως για το άθροισμα \psi_{o \lambda} =A \cos \omega t + A \cos (\omega t + \theta) + A \cos (\omega t + 2 \theta) + \cdots A \cos [\omega t + (n-1)  \theta]
θα ισχύει τελικά: \psi_{o \lambda} \approx A\frac{\sin n \theta/2}{\theta/2} \cos (\omega t+ n\theta /2) \,\,\, (1)

Η απόδειξη του θεωρήματος εύρους ζώνης

Θεωρώντας μεγάλο n η μέση κυκλική συχνότητα θα είναι: \bar{\omega}=\frac{\omega +(\omega +  \delta \omega) + (\omega + 2 \delta \omega) \cdot + [\omega + (n-1)  \delta \omega]}{n} \approx \omega + n \delta \omega /2. Και δεδομένου ότι \theta=\delta \omega \cdot t, θα έχουμε: \bar{\omega}t \approx \omega t + n \theta /2, ώστε: \psi_{o \lambda} \approx A\frac{\sin\frac{n \cdot \delta \omega \cdot t}{2}}{\frac{\delta \omega \cdot t}{2}} \cos(\bar{\omega}t).
Το εύρος των συχνοτήτων είναι \Delta \omega = n \cdot \delta \omega , οπότε η εξίσωση (1) γράφεται: \psi_{o \lambda} \approx nA\frac{\sin\frac{\Delta \omega \cdot t}{2}}{\frac{\Delta \omega \cdot t}{2}} \cos(\bar{\omega}t)=R(t) \cos(\bar{\omega}t)  , όπου R(t)=nA\frac{\sin\frac{\Delta \omega \cdot t}{2}}{\frac{\Delta \omega \cdot t}{2}}  , η περιβάλλουσα του κυματοπαλμού.

(a) Ορθογώνιο κυματοπακέτο εύρους Δω από n συνιστώσες ημιτονοειδών κυμάτων πλάτους Α που απέχουν μεταξύ τους κατά δω. (b) Η απομάκρυσνη του ελαστικού μέσου συναρτήσει του χρόνου στη θέση x=0 από την επαλληλία των ημιτονοειδών κυμάτων.Το εύρος του κυματοπαλμού προσεγγίζεται από την εξίσωση: Δt=2π/Δω.

Παρατηρούμε ότι το πλάτος R(t) για t=0 παίρνει την μέγιστη τιμη R(0)=nA. Όμως την χρονική στιγμή t=\Delta t=2\pi/\Delta \omega μηδενίζεται. Συνεπώς το \Delta t εκφράζει το εύρος του κεντρικού κυματοπαλμού και θα ικανοποιεί την σχέση του θεωρήματος εύρους ζώνης: \Delta \omega \cdot \Delta t =2 \pi   : όσο μικρότερο είναι το εύρος συχνοτήτων των συμβαλλόμενων κυμάτων τόσο μεγαλύτερη η διάρκεια του κυματοπαλμού που δημιουργούν και αντιστρόφως.

Αν εξαρχής επιλέγαμε να εκφράσουμε την κυματοομάδα με το ζεύγος των παραμέτρων κυματαριθμού k=2 \pi / \lambda και θέσης x (k→ω και x→t), τότε ακολουθώντας τα ίδια βήματα θα παίρναμε το στιγμιότυπο του κυματοπαλμού από την επαλληλία των n ημιτονοειδών κυμάτων την χρονική στιγμή t=0: \psi_{o \lambda} \approx nA\frac{\sin\frac{\Delta k \cdot x}{2}}{\frac{\Delta k \cdot x}{2}} \cos(\bar{k}x)=R(x) \cos(\bar{k}x)  , όπου R(x)=nA\frac{\sin\frac{\Delta k \cdot x}{2}}{\frac{\Delta k \cdot x}{2}}  , η περιβάλλουσα του κυματοπαλμού. Είναι φανερό πως στην περίπτωση αυτή το θεώρημα εύρους ζώνης εκφράζεται από την εξίσωση: \Delta k \cdot \Delta x=2 \pi    :  όσο μικρότερο είναι το εύρος Δk των κυματαριθμών των συμβαλλόμενων κυμάτων τόσο μεγαλύτερο είναι το εύρος Δx του κυματοπαλμού που δημιουργούν και αντιστρόφως

a) Ορθογώνιο κυματοπακέτο εύρους Δk από n συνιστώσες ημιτονοειδών κυμάτων πλάτους Α που απέχουν μεταξύ τους κατά δk. (b) Τo στιγμιότυπο του κυματοπαλμού από την επαλληλία των ημιτονοειδών κυμάτων την χρονική στιγμή t=0. Το εύρος του κυματοπαλμού προσεγγίζεται από την εξίσωση: Δx=2π/Δk η οποία εκφράζει το θεώρημα εύρους ζώνης.

Από τις εξισώσεις \Delta k \cdot \Delta x=2 \pi    και \Delta \omega \cdot \Delta t =2 \pi   του θεωρήματος εύρους ζώνης, μπορούμε πολύ εύκολα διαμέσου της αρχής του κυματο-σωματιδιακού δυισμό να οδηγηθούμε στην αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζνμπεργκ.

πηγή: «The Physics of Vibrations and Waves», H.J. Pain



Κατηγορίες:ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: , , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: