Το θεώρημα εύρους ζώνης και η αρχή της αβεβαιότητας

Η αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ \Delta p \cdot \Delta x \geq \hbar/2  είναι συνέπεια της αρχής του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σύμφωνα με αυτή ένα σωματίδιο με απόλυτα καθορισμένη ορμή – και επομένως με αβεβαιότητα στην ορμή \Delta p=0, είναι ταυτόχρονα και ένα κύμα με καθορισμένο μήκος κύματος \lambda=h/p \leftrightarrow p=h/\lambda ή p= \hbar k, όπου \hbar=h/2 \pi και k=2 \pi / \lambda (ο κυματαριθμός που είναι το χωρικό ανάλογο της κυκλικής συχνότητας \omega =2 \pi/T). Όμως ένα κύμα με απόλυτα καθορισμένο μήκος κύματος λ εκτείνεται χωρίς απόσβεση σε όλο το χώρο και επομένως αφήνει τελείως απροσδιόριστη τη θέση του σωματιδίου. Θα είναι συνεπώς \Delta x= \infty, όπως ακριβώς προβλέπει η ανισότητα του Χάιζενμπεργκ για \Delta p=0.

Γνωρίζουμε από την κλασική κυματική πως όταν προσπαθούμε να δημιουργήσουμε ένα κύμα εντοπισμένο στο χώρο, ένα κυματοπακέτο, τότε πρέπει να προσθέσουμε πολλά ημιτονοειδή κύματα με διάφορα μήκη κύματος ή κυματαριθμούς k=2 \pi / \lambda . Όμως για να κατασκευάσουμε ένα κυματοπακέτο με χωρική έκταση \Delta x, τότε χρειαζόμαστε ημιτονοειδή κύματα με ένα εύρος κυματαριθμών \Delta k που ικανοποιούν την εξίσωση: \Delta k \cdot \Delta x=2 \pi \, \, \, \,  \mathbf{(1)}

Σχήμα 1: (a) Ορθογώνιο κυματοπακέτο εύρους Δk από n συνιστώσες ημιτονοειδών κυμάτων πλάτους Α που απέχουν μεταξύ τους κατά δk. (b) Τo στιγμιότυπο του κυματοπαλμού από την επαλληλία των ημιτονοειδών κυμάτων την χρονική στιγμή t=0. Το εύρος του κυματοπαλμού προσεγγίζεται από την εξίσωση: Δx=2π/Δk η οποία εκφράζει το θεώρημα εύρους ζώνης.

Η εξίσωση (1) είναι γνωστή στην κλασική κυματική ως θεώρημα εύρους ζώνης: όσο μικρότερο είναι το εύρος Δk των κυματαριθμών των συμβαλλόμενων κυμάτων τόσο μεγαλύτερο είναι το εύρος Δx του κυματοπαλμού που δημιουργούν και αντιστρόφως. Αν αυτή η σχέση θεωρηθεί γνωστή, τότε η αρχή της αβεβαιότητας δεν είναι παρά μια άμεση συνέπειά της. Αρκεί να την πολλαπλασιάσουμε με την σταθερά του Planck \hbar=h/2 \pi παίρνουμε: \hbar \Delta k \cdot \Delta x = h και \Delta p \cdot \Delta x \sim h . Η τελευταία εξίσωση συσχετίζει την αβεβαιότητα της ορμής του σωματιδίου με την αβεβαιότητα στη θέση του.
Αν στην εξίσωση (1) κάνουμε τις αντικαταστάσεις x→t και k→ω (παρατηρείστε ότι το γινόμενο των μεγεθών ω και t είναι αδιάστατο, όπως και το γινόμενο των μεγεθών k και x), παίρνουμε μια άλλη εξίσωση που εκφράζει επίσης το θεώρημα εύρους ζώνης: \Delta \omega \cdot \Delta t =2 \pi  ή \Delta f \cdot \Delta t =1 \, \, \, \mathbf{(2)}

Σχήμα 2: (a) Ορθογώνιο κυματοπακέτο εύρους Δω από n συνιστώσες ημιτονοειδών κυμάτων πλάτους Α που απέχουν μεταξύ τους κατά δω. (b) Η απομάκρυσνη του ελαστικού μέσου συναρτήσει του χρόνου στη θέση x=0 από την επαλληλία των ημιτονοειδών κυμάτων.Το εύρος του κυματοπαλμού προσεγγίζεται από την εξίσωση: Δt=2π/Δω η οποία είναι μια άλλη έκφραση του θεωρήματος εύρους ζώνης.

To θεώρημα εύρους ζώνης σύμφωνα με την εξίσωση (2) μας λέει ότι: Όσο μικρότερο είναι το εύρος συχνοτήτων των συμβαλλόμενων κυμάτων τόσο μεγαλύτερη η διάρκεια του κυματοπαλμού που δημιουργούν και αντιστρόφως. Όταν \Delta \omega =0, τότε έχουμε μια και μοναδική συχνότητα, το μονοχρωματικό κύμα, ένας ‘κυματοπαλμός’ ο οποίος θεωρητικά έχει άπειρη χρονική διάρκεια.

Με αφετηρία την σχέση \Delta f \cdot \Delta t =1 καταλήγουμε στην σχέση αβεβαιότητας ενέργειας-χρόνου της κβαντομηχανικής: Πολλαπλασιάζουμε με την σταθερά του Planck h την τελευταία εξίσωση και παίρνουμε: h \Delta f \cdot \Delta t = h , και χρησιμοποιώντας την εξίσωση των κβάντων ενέργειας E=hf ή \Delta E =h \Delta f προκύπτει αμέσως η προσεγγιστική έκφραση της αρχής της αβεβαιότητας: \Delta E \cdot \Delta t \sim h , η οποία συσχετίζει την αβεβαιότητα στην ενέργεια με την αβεβαιότητα στον χρόνο.

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το θεώρημα εύρους ζώνης μας οδηγεί απευθείας στην αρχή της αβεβαιότητας. Το ζητούμενο λοιπόν είναι η απόδειξη του θεωρήματος που εκφράζουν οι εξισώσεις (1) και (2). Ένα πρώτο βήμα είναι να θεωρήσουμε το κυματοπακέτο που προκύπτει από την επαλληλία δυο αρμονικών κυμάτων.

Κυματοπαλμός με δυο συνιστώσες

Θεωρούμε την απλούστερη ομάδα κυμάτων που αποτελείται από την επαλληλία δυο αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος αλλά με συχνότητες ω1 και ω2 που διαφέρουν κατά λίγο: \psi_{1}=A \cos(\omega_{1}t-k_{1}x) και \psi_{2}=A \cos(\omega_{2}t-k_{2}x). H επαλληλία των δυο κυμάτων δίνει μια κυματομορφή παρόμοια με εκείνη των διακροτημάτων:
\psi=\psi_{1}+\psi_{2}=2A \cos \left[\frac{(\omega_{1}-\omega_{2})t}{2}-\frac{(k_{1}-k_{2})x}{2} \right] \cos \left[\frac{(\omega_{1}+\omega_{2})t}{2}-\frac{(k_{1}+k_{2})x}{2} \right] \,\, \, \mathbf{(3)}
Η επαλληλία δυο κυμάτων με ελάχιστα διαφορετικές συχνότητες ω1 και ω2 σχηματίζει την απλούστερη ομάδα κυμάτων με συχνότητα \frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}, με μέγιστο πλάτος 2Α, διαμορφωμένο στο χώρο και στον χρόνο από μια περιβάλλoυσα που μεταβάλλεται πολύ αργά με συχνότητα \frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2} και κυματικό αριθμό \frac{k_{1}-k_{2}}{2}.
H άμεση σύγκριση με τα διακροτήματα γίνεται αν στην εξίσωση (3) θέσουμε x=0, παίρνοντας την εξίσωση ταλάντωσης του ελαστικού μέσου στη θέση αυτή: \psi=2A \cos \frac{(\omega_{1}-\omega_{2})t}{2} \cos \frac{(\omega_{1}+\omega_{2})t}{2}
Η περίοδος των διακροτημάτων αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι: \Delta t = \frac{2 \pi}{\omega_{1}-\omega_{2}}= \frac{2 \pi }{\Delta \omega} , που στην ουσία δεν είναι τίποτε άλλο παρά η εξίσωση (2): \Delta \omega \cdot \Delta t= 2 \pi    , μία έκφραση του θεωρήματος εύρους ζώνης.

Αν στην εξίσωση (3) θέσουμε t=0, τότε παίρνουμε το στιγμιότυπο του κύματος για τη χρονική στιγμή t=0: \psi=2A \cos \frac{(k_{1}-k_{2})x}{2} \cos \frac{(k_{1}+k_{2})x}{2} .
Ακριβώς όπως και με τον υπολογισμό της περιόδου των διακροτημάτων, μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το εύρος του κυματοπαλμού είναι: \Delta x=\frac{2\pi}{k_{1}-k_{2}}=\frac{2 \pi}{\Delta k} \,\, , που στην ουσία δεν είναι τίποτε άλλο παρά η πρώτη εξίσωση του θεωρήματος εύρους ζώνης: \Delta k \cdot \Delta x=2 \pi
Το επόμενο βήμα είναι να επεκταθούμε σε κυματοπακέτα που προκύπτουν από την επαλληλία πολλών αρμονικών κυμάτων και να καταλήξουμε στην κυματομορφή του σχήματος 1: \psi_{o \lambda} \approx nA\frac{\sin\frac{\Delta k \cdot x}{2}}{\frac{\Delta k \cdot x}{2}} \cos(\bar{k}x)  ή την κυματομορφή του σχήματος 2: \psi_{o \lambda} \approx nA\frac{\sin\frac{\Delta \omega \cdot t}{2}}{\frac{\Delta \omega \cdot t}{2}} \cos(\bar{\omega}t)
Αλλά κάτι τέτοιο απαιτεί μια επιπλέον ανάρτηση…. (→Ένα κυματοπακέτο με πολλές συνιστώσες)

βιβλιογραφία:
1. «The Physics of Vibrations and Waves», H.J. Pain
2. «Κβαντομηχανική Ι» , Στέφανος Τραχανάς



Κατηγορίες:ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Ετικέτες: , , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: