Ένα από τα θέματα της 52ης Διεθνούς Ολυμπιάδας Φυσικής

Το διαστημικό τηλεσκόπιο James Webb (12 Μονάδες)

Το θέμα αυτό αφορά στη Φυσική που σχετίζεται με τη λειτουργία του διαστημικού τηλεσκοπίου James Webb. Αρχικά, ακτινοβολία από έναν αστέρα, προσπίπτει στο πρωτεύον κάτοπτρο (Primary Mirror), του οποίου η επιφάνεια έχει εμβαδό 𝐴_mirror=25 m². Στη συνέχεια, η ακτινοβολία κατευθύνεται προς ένα δευτερεύον κάτοπτρο (Secondary Mirror) από το οποίο ανακλάται. Η εστιακή απόσταση του συστήματος είναι 𝑓=130 m. Η ακτινοβολία εστιάζεται στο ISIM (Integrated Science Instrument Module), το οποίο περιέχει τις τύπου CCD (charged-coupled device) κάμερες.

Μέρος Α. Απεικόνιση ενός αστέρα (1,8 Μονάδες)
Ο πλησιέστερος Ερυθρός Γίγαντας απέχει από τη Γη 89 έτη φωτός, έχει θερμοκρασία T_star=3600 K, και διάμετρο d₀=1.7×10¹¹ m.

A.1 Να υπολογίσετε τη διάμετρο μιας εστιασμένης εικόνας του αστέρα στην επιφάνεια αποτύπωσης της κάμερας CCD (0.4 μονάδες)

A.2 Να υπολογίσετε τη διάμετρο ενός κεντρικού μεγίστου περίθλασης στην επιφάνεια αποτύπωσης της κάμερας CCD. Να θεωρήσετε μήκος κύματος λ=800 nm,
που είναι το μήκος κύματος με την ισχυρότερη ένταση ακτινοβολίας από τον Ερυθρό Γίγαντα. (0.4 μονάδες)

A.3 Να θεωρήσετε ότι η CCD δεν ψύχεται και μπορεί να χάσει θερμότητα μόνο μέσω της ακτινοβολίας από την επάνω επιφάνεια της επιφάνειας αποτύπωσης.
Να υπολογίσετε τη θερμοκρασία ισορροπίας της CCD στη θέση της εικόνας του
Ερυθρού Γίγαντα. Να υποθέσετε ότι η επιφάνεια της CCD είναι ένα μέλαν σώμα.
Η απάντησή σας να δοθεί με μία σχέση και μια αριθμητική εκτίμηση. (1 μονάδα)

Μέρος Β. Καταμέτρηση φωτονίων (1,8 Μονάδες)
Η απορρόφηση ενός φωτονίου από την κάμερα CCD προκαλεί εκπομπή ενός ηλεκτρονίου εντός της συσκευής. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν το φωτόνιο έχει επαρκή ενέργεια για να διεγείρει ένα ηλεκτρόνιο πάνω από το ενεργειακό χάσμα ΔΕ_g. Να υποθέσετε ότι κάθε φωτόνιο με επαρκή ενέργεια τα καταφέρνει. Διαμέσου του χάσματος, υπάρχει διαρροή ηλεκτρονίων η οποία προκαλείται λόγω της θερμοκρασίας της κάμερας CCD. Το ρεύμα αυτό ονομάζεται ρεύμα σκότους 𝑖_𝑑 και μετριέται σε πλήθος ηλεκτρονίων ανά δευτερόλεπτο. Το ρεύμα σκότους είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας σύμφωνα με τη σχέση:

όπου 𝑖₀ είναι μια σταθερά.

B.1 Από την πιο πάνω γραφική παράσταση που αφορά στο ρεύμα σκότους, να υπολογίσετε την τάξη μεγέθους της χαμηλότερης θερμοκρασίας μιας απομακρυσμένης πηγής θερμικών φωτονίων που θα ήταν ικανή να διεγείρει οριακά ένα ηλεκτρόνιο στο εικονοστοιχείο (pixel). (0.4 μονάδες)

Τα ηλεκτρόνια συλλέγονται σε έναν πυκνωτή και μετά από ένα χρόνο έκθεσης 𝜏, καταμετρώνται. Στη διαδικασία παρουσιάζονται τρεις κύριες πηγές αβεβαιότητας: (α) μια σταθερή αβεβαιότητα στη διαδικασία καταμέτρησης που ονομάζεται θόρυβος ανάγνωσης, (β) ένα σφάλμα κατανομής Poisson που σχετίζεται με το ρεύμα σκότους και (γ) ένα σφάλμα κατανομής Poisson που σχετίζεται με τα ανιχνευόμενα εισερχόμενα φωτόνια. Τα σφάλματα Poisson είναι ίσα με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεων που σχετίζονται με μια διαδικασία. Ο μετρούμενος αριθμός φωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των ηλεκτρονίων στον πυκνωτή, μείον τον αριθμό των ηλεκτρονίων που σχετίζονται με το σκοτεινό ρεύμα.

B.2 Να γράψετε μια έκφραση για τη συνολική αβεβαιότητα καταμέτρησης 𝜎_𝑡, αν
υπάρχει θόρυβος ανάγνωσης 𝜎_𝑟, ρεύμα σκότους 𝑖_𝑑, ρυθμός εισερχόμενων φωτονίων 𝑝 και χρόνος έκθεσης 𝜏. (0.4 μονάδες)

Για τις υπόλοιπες ερωτήσεις αυτού του μέρους να υποθέσετε ότι ο χρόνος έκθεσης είναι 𝜏 = 10⁴s και ότι ο θόρυβος ανάγνωσης έχει σταθερή τιμή 𝜎_𝑟 = 14.

B.3 Να υποθέσετε ότι η θερμοκρασία λειτουργίας είναι T_p=7.5 K. Να υπολογίστε τον ελάχιστο ρυθμό φωτονίων 𝑝, ώστε η καταμέτρηση φωτονίων να είναι δεκαπλάσια της αβεβαιότητας καταμέτρησης. (0.5 μονάδες)

B.4 Να υποθέσετε ότι όλα τα φωτόνια είναι ικανά ώστε μόλις να διεγείρουν ένα
ηλεκτρόνιο πάνω από το ενεργειακό χάσμα ζώνης. Να υπολογίσετε την ένταση
της πηγής φωτονίων, που βρέθηκε στο Β.3, στο πρωτεύον κάτοπτρο. Να εκφράστε την απάντησή σας σε W/m² (0.5 μονάδες)

Μέρος Γ. Παθητική ψύξη (4,4 Μονάδες)
Μια υπέρυθρη κάμερα CCD πρέπει να διατηρείται σε χαμηλή θερμοκρασία. Το πρώτο εργαλείο που χρησιμοποιείται για τον σκοπό αυτό είναι μια ασπίδα προστασίας από την ηλιακή ακτινοβολία (ηλιακή ασπίδα). Η ηλιακή ασπίδα, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα, αποτελείται από πέντε ξεχωριστά ανακλαστικά στρώματα (1, 2, 3, 4, 5) τα οποία αποτελούνται από λεπτά φύλλα (μπλε). Η ακτινοβολούμενη ενέργεια (κόκκινη) από τον ήλιο προσπίπτει στο πρώτο φύλλο (1) στα αριστερά. Μεταξύ του κάθε ζεύγους φύλλων μέρος της ενέργειας διαφεύγει στο διάστημα (κατακόρυφα βέλη).

Σχηματική αναπαράσταση της ροής ενέργειας: οι κάθετες γραμμές (σκούρου χρώματος) είναι τα φύλλα, η ροή της ενέργειας (γκρι χρώμα) είναι από αριστερά προς τα δεξιά, ωστόσο, μεταξύ των φύλλων, μέρος της ενέργειας ρέει προς τα πάνω και έξω στο διάστημα.

Στα αριστερά εικονίζεται ένα απλό μοντέλο δύο γειτονικών φύλλων, 1 και 2 που απέχουν κατά h. Τα φύλλα δεν συνδέονται και η περίμετρος είναι ανοικτή στο διάστημα. Να υποθέσετε ότι τα φύλλα βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Τα φύλλα μπορούν να ανταλλάσσουν θερμική ακτινοβολία, η οποία μπορεί επσης να διαφεύγει από το διάκενο στην περίμετρο. Στο δεξί στιγμιότυπο το διάκενο εμφανίζεται σκιασμένο για λόγους οπτικοποίησης.

Να κάνετε τις ακόλουθες υποθέσεις:

• Τα φύλλα είναι τετράγωνου σχήματος, καθένα με εμβαδόν A_sheet=200 m².

• Τα φύλλα είναι παράλληλα και απέχουν h=25 cm κατά μήκος της περιμέτρου.

• Τα φύλλα έχουν σταθερό συντελεστή εκπομπής 𝜖≪1. Να θεωρήσετε ότι όλες οι ανακλάσεις από την επιφάνεια ενός φύλλου διαχέονται.

• Τα φύλλα είναι λεπτά και οι θερμοκρασίες τους στην εμπρόσθια και στην πίσω επιφάνεια είναι ίσες και έχουν την ίδια τιμή σε όλη την επιφάνεια.

• Το κλάσμα της ροής ακτινοβολίας που εκπέμπεται από ένα φύλλο και απορροφάται από το γειτονικό φύλλο είναι 𝛼 ≤ 1. Αυτό σημαίνει ότι αν το φύλλο 1 στη ανωτέρω εικόνα εκπέμπει ένα ποσό θερμότητας 𝑄₁προς το φύλλο 2, τότε το φύλλο 2 θα απορροφήσει κλάσμα αυτού του ποσού ίσο προς 𝛼𝑄₁ από το φύλλο 1.

• Το ποσό της ροής ακτινοβολίας που διαφεύγει από το διάκενο μεταξύ δύο φύλλων ισούται κατά προσέγγιση με 𝛽𝑄₁₂ όπου 𝛼𝑄₁₂ είναι η καθαρή ροή μεταξύ των δύο φύλλων. Για το κλάσμα β ισχύει 𝛽 < 1. Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι το ποσό θερμότητας μεταξύ των δύο φύλλων που χάνεται στο διάστημα είναι ανάλογο του καθαρού ποσού θερμότητας που ανταλλάσσεται μεταξύ των φύλλων. Αυτή αποτελεί μια χονδρική προσέγγιση.

• Η θερμοκρασία υποβάθρου του διαστήματος είναι αμελητέα.

C.1 Να εξαγάγετε εκφράσεις για τις θερμοκρασίες ισορροπίας του πρώτου φύλλου και του πέμπτου φύλλου ως προς την ένταση της προσπίπτουσας ηλιακής ακτινοβολίας 𝐼₀, τις σταθερές 𝛼 και 𝛽, καθώς και τυχόν αναγκαίες φυσικές σταθερές. Για να απλοποιήσετε τα αποτελέσματά σας, μπορείτε να ορίσετε πρόσθετες σταθερές ως προς τα 𝛼 και 𝛽 κ.λπ (2.4 μονάδες)

C.2 Να εξαγάγετε αριθμητικές εκτιμήσεις για τα 𝛼 και 𝛽 από τις πληροφορίες σχετικά με τη γεωμετρία του φύλλου, υποθέτοντας ότι ο συντελεστής εκπομπής είναι 𝜖=0.05. Θα πρέπει να θεωρήσετε το μοντέλο του παραλληλεπίπεδου κουτιού για τα ανωτέρω φύλλα, όπου η περιφερειακή επιφάνεια πρακτικά λειτουργεί ως τέλειος απορροφητήρας της ακτινοβολούμενης ενέργειας. (1.6 μονάδες)

C.3 Να προσδιορίσετε τις αριθμητικές τιμές των θερμοκρασιών των φύλλων 1 και 5. Η ένταση της ηλιακής ακτινοβολίας είναι 𝐼₀ = 1360 W/m² (0.4 μονάδες)

Μέρος Δ. Κρυοψύκτης (4 Μονάδες)
Το τελευταίο στάδιο του συστήματος ψύξης, ψύχει απευθείας την κάμερα CCD. Ένα σύστημα ψύξης κλειστού κύκλου διαθέτει μια γραμμή σωλήνων παροχής πουv τροφοδοτεί αέριο ήλιο υπό σταθερή πίεση 𝑃₁. Το αέριο μεταφέρεται μέσω ενός πορώδους πώματος (porous plug), που λειτουργεί σαν σπόγγος, προς έναν σωλήνα με σταθερή πίεση 𝑃₂. Ο σωλήνας μεταφέρει το αέριο για να ψύξει την CCD. Στην συνέχεια, το αέριο ήλιο περνά από μια αντλία πριν επιστρέψει στη γραμμή παροχής.

Αέριο ήλιο που παροχετεύεται από αριστερά όπου επικρατεί καλά καθορισμένη πίεση 𝑃₁ και θερμοκρασία 𝑇₁ εξαναγκάζεται να διέλθει μέσω του πορώδους πώματος (σπόγγος) προς περιοχής καλά καθορισμένης πίεσης 𝑃₂ και θερμοκρασίας 𝑇₂, από όπου απομακρύνεται κινούμενο προς τα δεξιά.
Καθώς το αέριο κινείται μέσα από τον σπόγγο, η τριβή (ιξώδες) με τα στενά τοιχώματα των καναλιών του σπόγγου συνιστά μια σημαντική επίδραση. Ωστόσο, κατά τη διάρκεια της διαδικασίας δεν μεταφέρεται θερμότητα προς ή από το αέριο. Η ταχύτητα ροής του αερίου στην περιοχή 2 είναι μόνο οριακά μεγαλύτερη από την ταχύτητα ροής στην περιοχή 1.
Το ήλιο δεν είναι ιδανικό αέριο, αλλά παραμένει σε αέρια κατάσταση καθόλη την διάρκεια της διαδικασίας.

D.1 Να θεωρήσετε ότι ένα mole αερίου περνάει από αριστερά προς τα δεξιά μέσα από το πώμα. Να συμπληρώστε τον πίνακα στο Φύλλο Απαντήσεων χρησιμοποιώντας τα σύμβολα: ”>” ή ”<” για να προσδιορίσετε την ποσότητα που πρέπει να είναι μεγαλύτερη, ”=” για να προσδιορίσετε τις ποσότητες που πρέπει να είναι ίσες ή ”?” αν αδυνατούμε να αποφανθούμε χωρίς περισσότερες πληροφορίες. (1 μονάδα)

D.2 Να προσδιορίσετε μια φυσική ποσότητα που διατηρείται καθώς ένα mole αερίου κινείται μέσα από το πώμα. Η ποσότητα αυτή να δοθεί συναρτήσει των ακόλουθων φυσικών μεγεθών:
(α) 𝑈 (εσωτερική ενέργεια),
(β) 𝑃 (πίεση) και
(γ) 𝑉 (όγκος)
Να συμπεριλάβετε τον τρόπο που ακολουθήσατε για να καταλήξετε στη συγκεκριμένη ποσότητα. (0.6 μονάδες)

Στο Φύλλο Απαντήσεων υπάρχουν γραφικές παραστάσεις της εσωτερικής ενέργειας ανά μονάδα μάζας σε σχέση με τον όγκο ανά μονάδα μάζας για το ήλιο, με καμπύλες ισόθερμης μεταβολής και γραμμές σταθερής εντροπίας.

D.3 Υποθέτοντας ότι 𝑉₂ = 0.100 m³/kg και 𝑇₂ = 7.5 K να χρησιμοποιήστε τη γραφική
παράσταση για να βρείτε μια αριθμητική τιμή για την ποσότητα που διατηρείται (του ερωτήματος D.2). Να αποτυπώσετε την διαδικασία που ακολουθήσατε
πάνω στην γραφική παράσταση που υπάρχει στο Φύλλο Απαντήσεων! (1,4 μονάδες)

D.4 Να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή της θερμοκρασίας 𝑇₁. Να δείξετε τον
τρόπο εργασίας σας στην γραφική παράσταση του Φύλλου Εργασίας. (0,8 μονάδες)

D.5 Να χρησιμοποιήσετε την τιμή της μέγιστης 𝑇₁ που βρήκατε στο ερώτημα D.4
για να υπολογίσετε την τιμή της 𝑃₁ (0,2 μονάδες)
Οι απαντήσεις βρίσκονται ΕΔΩ

Δείτε ΕΔΩ όλα τα Θέματα και τις Λύσεις της 52ης Διεθνούς Ολυμπιάδας Φυσικής

Κατηγορίες:ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ, ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ, JAMES WEBB, PHYSICS