… από την Κβαντική Μηχανική των Λαντάου και Λίφσιτς
Κυκλοφόρησε στα ελληνικά η ‘Κβαντική Μηχανική των Λεβ Λαντάου/Ευγκένι Λίφσιτς‘, από τις Εκδόσεις Ευρύαλλος (μετάφραση: Χρήστος Γραμματίκας, Κυριάκος Δασκαλόπουλος, Νάνα Ζουρελίδου, Θεμιστοκλής Μαυρογορδάτος, Δημοσθένης Σταλίδης, Κωστής Στούμπος, Αντρέας Τουμάσης, Γιάννης Φούτσης, Ιάσων Ψωμάς). Πρόκειται για τον τρίτο τόμο της μνημειώδους σειράς Μαθημάτων Θεωρητικής Φυσικής των Λαντάου-Λίφσιτς. Ο θεμελιώδης αυτός κλάδος της Φυσικής εκτίθεται με σαφήνεια, εμβρίθεια και, συγχρόνως, απλότητα. Επιπλέον, οι πολυάριθμες εφαρμογές και ασκήσεις που περιέχει επιτρέπουν στον αναγνώστη να εμβαθύνει σε όλες τις πτυχές του θέματος. Ένα από τα πλεονεκτήματα του βιβλίου είναι ότι τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία εισάγονται ως υπαγορευόμενα από την αναγκαιότητα περιγραφής των φυσικών ιδιοτήτων του μικροκόσμου, εν αντιθέσει προς την προσέγγιση που υιοθετείται στα περισσότερα συγγράμματα για το ίδιο θέμα.
Η σπουδαιότητα του βιβλίου αναδεικνύεται από την πρώτη κιόλας παράγραφο. Για του λόγου το αληθές, στη συνέχεια παρατίθενται μερικά αποσπάσματά της:
§1. Αρχή της Αβεβαιότητας
Η Κλασική Μηχανική και Ηλεκτροδυναμική, όταν προσπαθούμε να τις εφαρμόσουμε για την ερμηνεία ατομικών φαινομένων, οδηγούν σε αποτελέσματα εντελώς ασύμβατα με την εμπειρία. Η αντίφαση είναι είναι προφανέστατη αν επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε την Κλασική Ηλεκτροδυναμική σε ατομικό πρότυπο όπου τα ηλεκτρόνια κινούνται γύρω από τον πυρήνα σε κλασικές τροχιές. Σε μια τέτοια κίνηση, όπως σε κάθε επιταχυνόμενη κίνηση φορτίων, τα ηλεκτρόνια θα έπρεπε να εκπέμπουν συνεχώς ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Εκπέμποντας, τα ηλεκτρόνια θα έχαναν την ενέργειά τους, με τελικό αποτέλεσμα την πτώση τους στον πυρήνα. Σύμφωνα λοιπόν με την Κλασική Ηλεκτροδυναμική, το άτομο θα ήταν ασταθές, κάτι που δεν ανταποκρίνεται διόλου στην πραγματικότητα.
Μια τόσο βαθιά αντίφαση μεταξύ θεωρίας και πειράματος υποδεικνύει ότι η οικοδόμηση μιας δέουσας θεωρίας για τα ατομικά φαινόμενα – φαινόμενα με σωματίδια πολύ μικρής μάζας σε πολύ μικρές περιοχές του χώρου – απαιτεί θεμελιώδη αλλαγή των βασικών κλασικών εννοιών και νόμων.
Ένα πρόσφορο αρχικό σημείο για τη διερεύνηση των απαιτούμενων αλλαγών είναι το πειραματικώς παρατηρημένο φαινόμενο, γνωστό ως περίθλαση ηλεκτρονίων (Στην πραγματικότητα, το φαινόμενο περίθλασης ηλεκτρονίων ανακαλύφθηκε μετά τη δημιουργία της Κβαντικής Μηχανικής). Όταν μια ομοιόμορφη δέσμη ηλεκτρονίων διέρχεται από κρύσταλλο, η ένταση της εξερχόμενης δέσμης εμφανίζει μια εναλλαγή μεγίστων και ελαχίστων, ακριβώς όπως κατά την περίθλαση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Έτσι, υπο ορισμένες συνθήκες, η συμπεριφορά σωματιδίων (ηλεκτρονίων, εδώ) αποκαλύπτει στοιχεία χαρακτηριστικά των κυμάτων.
Ο καλύτερος τρόπος για να αναλογισθούμε το εύρος της αντίφασης μεταξύ του ανωτέρω φαινομένου και της συνήθους ανακάλυψης της κίνησης είναι το ακόλουθο νοερό πείραμα, εξιδανικευμένη μορφή της περίθλασης ηλεκτρονίων από κρύσταλλο. Ας φανταστούμε, ένα πέτασμα, αδιαπέραστο από ηλεκτρόνια, με δυο σχισμές. Παρατηρώντας τη διέλευση μιας δέσμης ηλεκτρονίων (…) δια μέσου μιας των σχισμών, ενώ η άλλη είναι η κλειστή, έχουμε, σε τοίχωμα πίσω από το πέτασμα, κάποια εικόνα κατανομής της έντασης. Αναλόγως, έχουμε μια άλλη εικόνα αν ανοίξουμε τη δεύτερη σχισμή και κλείσουμε την πρώτη. Παρατηρώντας τη διάβαση της δέσμης από τις δυο σχισμές συγχρόνως, θα αναμένουμε λοιπόν, κατά συνήθεις αντιλήψεις μας, μια εικόνα που είναι απλή υπέρθεση των προηγουμένων, καθώς ένα ηλεκτρόνιο με τροχιά που διέρχεται από τη μια σχισμή δεν επιδρά καθόλου στα ηλεκτρόνια που διέρχονται από την άλλη. Εντούτοις, το φαινόμενο της περίθλασης των ηλεκτρονίων δείχνει ότι στην πραγματικότητα, λόγω συμβολής, η προκύπτουσα εικόνα είναι αδύνατο αναχθεί στη σύνθεση των προηγουμένων. Είναι εμφανές ότι το αποτέλεσμα αυτό αντιβαίνει ριζικά στην ιδέα της κίνησης ηλεκτρονίων κατά μήκος μιας τροχιάς.
Κατά συνέπεια, η Μηχανική που διέπει τα ατομικά φαινόμενα, αποκαλούμενη Kβαντική ή Κυματική Μηχανική (ή Κβαντομηχανική), πρέπει να θεμελιωθεί σε παραστάσεις της κίνησης εντελώς διαφορετικές από τις κλασικές. Στην Κβαντική Μηχανική δεν υφίσταται η έννοια τροχιάς σωματιδίου. Αυτό ακριβώς εκφράζει η αποκαλούμενη Αρχή της αβεβαιότητας ή Αρχή της απροσδιοριστίας, μια από τις βασικές αρχές της Κβαντικής Μηχανικής, που ανακαλύφθηκε από τον W. Heisenberg το 1927.(…) Εφόσον καταρρίπτει τις συνήθεις αντιλήψεις της Κλασικής Μηχανικής, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η Αρχή της αβεβαιότητας έχει αρνητικό περιεχόμενο. Από μόνη της, είναι φυσικά εντελώς ανεπαρκής για τη δόμηση μιας νέας Μηχανικής, των σωματιδίων. Μια τέτοια θεωρία πρέπει ασφαλώς να βασίζεται σε κάποιες θετικές προτάσεις (…) Ωστόσο, για να διατυπώσουμε αυτές τις προτάσεις, πρέπει πρώτα να διευκρινήσουμε τον τρόπο έκφρασης των προβλημάτων που τίθενται στην Κβαντική Μηχανική. Το πρώτο βήμα είναι να εξετάσουμε τον ειδικό χαρκτήρα της σχέσης μεταξύ Κβαντικής και Κλασικής Μηχανικής.
Συνήθως, μια γενικότερη θεωρία μπορεί να διατυπωθεί κατά λογικώς αυτοτελή τρόπο, ανεξαρτήτως κάποιας λιγότερο γενικής θεωρίας που συνιστά οριακή περίπτωσή της. Έτσι η Σχετικιστική Μηχανική μπορεί να οικοδομηθεί βάσει των δικών της θεμελιωσών αρχών, χωρίς την παραμικρή αναφορά στη Νευτώνεια Μηχανική. Όμως η διατύπωση των βασικών προτάσεων της Κβαντικής Μηχανικής είναι κατ΄αρχήν αδύνατη χωρίς την εμπλοκή της Κλασικής Μηχανικής.
Το γεγονός ότι ένα ηλεκτρόνιο (…) δεν έχει καθορισμένη τροχιά τού στερεί επίσης κάθε άλλο δυναμικό χαρακτηριστικό (εννοούμε μεγέθη χαρακτηριστικά της κίνησης του ηλεκτρονίου και όχι μεγέθη χαρακτηριστικά του ηλεκτρονίου ως σωματίδιο – φορτίο, μάζα, τα οποία είναι παράμετροι). Για ένα σύστημα αποτελούμενο μόνο από κβαντικά αντικείμενα, θα ήταν λοιπόν τελείως αδύνατη η δόμηση οποισδήποτε λογικώς αυτοτελούς Μηχανικής. Η δυνατότητα ποσοτικής περιγραφής της κίνησης ηλεκτρονίου απαιτεί επίσης την παρουσία φυσικών αντικειμένων που υπακούν στην Κλασική Μηχανική με επαρκή ακρίβεια. Αν ένα ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρά με κάποιο τέτοιο «κλασικό αντικείμενο», η κατάσταση του τελευταίου εν γένει μεταβάλλεται. Η φύση και το μέγεθος αυτής της μεταβολής εξαρτώνται από την κατάσταση του ηλεκτρονίου, άρα μπορούν να χρησιμεύσουν για τον ποσοτικό χαρακτηρισμό του.
Σε σχέση με τα ανωτέρω, ένα «κλασικό αντικείμενο» καλείται συνήθως «συσκευή» και η αλληλεπίδρασή του με το ηλεκτρόνιο ονομάζεται «μέτρηση». Πρέπει πάντως να τονίσουμε ότι δεν πρόκειται για μια διαδικασία «μέτρησης» όπου παρεμβαίνει ο φυσικός-παρατηρητής. Ως μέτρηση, στην Κβαντική Μηχανική, εννοούμε οποιαδήποτε διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ κλασικών και κβαντικών αντικειμένων, διεξαγόμενη ανεξαρτήτως της παρουσίας κάποιου παρατηρητή. Η διαύγαση του καθοριστικού ρόλου της εννοίας της μέτρησης στην Κβαντική Μηχανική οφείλεται στον Ν. Bohr.
Ορίσαμε τη συσκευή ως φυσικό αντικείμενο που διέπεται από την Κλασική Μηχανική με επαρκή ακρίβεια. Ένα παράδειγμα είναι ένα σώμα αρκετά μεγάλης μάζας. Ωστόσο, δεν συνεπάγεται ότι μια συσκευή πρέπει απαραιτήτως να είναι μακροσκοπική. Υπό ορισμένες συνθήκες, τον ρόλο της συσκευής μπορεί επίσης να παίξει κάποιο γνωστό μικροσκοπικό αντικείμενο, διότι η έννοια «με επαρκή εκρίβεια» εξερτάται από το συγκεκριμένο πρόβλημα. Έτσι, η κίνηση ηλεκτρονίου σε θάλαμο του Wilson παρατηρείται χάρις στο νεφοειδές ίχνος που αφήνει, το πάχος του οποίου είναι μεγάλο σε σύγκριση με τις ατομικές διαστάσεις. Για τέτοιο βαθμό ακρίβειας ως προς τον προσδιορισμό της τροχιάς, το ηλεκτρόνιο είναι πλήρως κλασικό αντικείμενο.
Η Κβαντική Μηχανική κατέχει λοιπόν πολύ ιδιόμορφη θέση μεταξύ των φυσικών θεωριών: περιέχει την Κλασική Μηχανική ως οριακή της περίπτωση, ενώ συγχρόνως προαπαιτεί αυτή την οριακή περίπτωση για την ίδια τη θεμελίωσή της.
Μπορούμε τώρα να διατυπώσουμε το πρόβλημα της Κβαντικής Μηχανικής. Ένα τυπικό πρόβλημα έγκειται στην πρόβλεψη του αποτέλέσματος μιας επακόλουθης μέτρησης από γνωστά αποτελέσματα προηγούμενων μετρήσεων. Επιπλέον, όπως θα δούμε στη συνέχεια, η Κβαντική Μηχανική εν γένει περιορίζει, σε σύγκριση με την Κλασική Μηχανική, το πεδίο των δυνατών τιμών για διάφορα φυσικά μεγέθη (π.χ. την ενέργεια), δηλαδή των τιμών που μπορεί να προκύψουν ως αποτέλεσμα μέτρησης του δεδομένου μεγέθους. Οι μέθοδοι της Κβαντικής Μηχανικής πρέπει να επιτρέπουν τον προσδιορισμό των συγκεκριμένων επιτρεπτών τιμών.
Η διαδικασία μέτρησης στην Κβαντική Μηχανική έχει μια χαρακτηριστική ιδιότητα: επηρεάζει πάντα το μετρώμενο ηλεκτρόνιο και, για δεδομένη ακρίβεια της μέτρησης. η επίδραση αυτή δεν μπορεί κατ’ αρχήν να ελαχιστοποιηθεί. Όσο ακριβέστερη είναι η μέτρηση τόσο ισχυρότερη είναι η επίδραση που ασκεί και μόνο για μετρήσεις μικρής ακριβείας η επίπτωση στο μετρώμενο αντικείμενο είναι ασθενής. Η ιδιότητα αυτή της μέτρησης είναι λογική συνέπεια του γεγονότος ότι τα δυναμικά χαρακτηριστικά του ηλεκτρονίου εμφανίζονται μόνο ως αποτέλεσμα της ίδιας της μέτρησης. Αν η επίδραση της μέτρησης μπορούσε να καταστεί αμελητέα, αυτό θα σήμαινε ότι η μετρούμενη ποσότητα έχει αφ’ εαυτής καθορισμένη τιμή, ανεξαρτήτως της μέτρησης.
Μεταξύ των διαφόρων μετρήσεων, θεμελιώδη ρόλο παίζει η μέτρηση της θέσης του ηλεκτρονίου. Στο πλαίσιο της Κβαντικής Μηχανικής, η μέτρηση των συντεταγμένων του ηλεκτρονίου μπορεί πάντα να διεξαχθεί (…) με οποιαδήποτε ακρίβεια.
Ας υποθέσουμε ότι, σε τακτά χρονικά διαστήματα Δt, εκτελούνται διαδοχικές μετρήσεις των συντεταγμένων του ηλεκτρονίου. Τα αποτελέσματά τους δεν σχηματίζουν εν γένει κάποια λεία καμπύλη. Απεναντίας, όσο ακριβέστερες είναι οι μετρήσεις, τόσο περισσότερο ασυνεχή και άτακτα προκύπτουν τα αποτελέσματά τους, σε συμφωνία με την απουσία της εννοίας τροχιάς για ένα ηλεκτρόνιο. Μια περίπου ομαλή τροχιά μπορεί να εμφανιστεί μόνο αν οι συντεταγμένες του ηλεκτρονίου μετρώνται με μικρό βαθμό ακριβείας, επι παραδείγματι ως νέφος σωματιδίων ατμού σε θάλαμο του Wilson.
Aν μειώσουμε τα διαστήματα Δt, διατηρώντας την ίδια ακρίβεια μέτρησης, οι διαδοχικές μετρήσεις δίνουν φυσικά εγγύτερες τιμές συντεταγμένων. Ωστόσο, τα αποτελέσματα μιας σειράς τέτοιων μετρήσεων, αν και εντοπισμένα σε μικρή περιοχή του χώρου, κατανέμονται με εντελώς ακανόνιστο τρόπο που δεν έχει σχέση με ομαλή καμπύλη. Ιδιαιτέρως, όταν το Δt τείνει στο μηδέν, ουδέποτε είναι ευθυγραμμισμένα.
Στην Κβαντική Μηχανική δεν υπάρχει λοιπόν η έννοια της ταχύτητας σωματιδίου υπό την κλασική σημασία, δηλαδή ως το όριο του λόγου της διαφοράς των συντεταγμένων σε δυο στιγμές προς το μεταξύ τους διάστημα Δt. Θα δούμε όμως στη συνέχεια ότι μπορούμε, στην Κβαντική Μηχανική, να δώσουμε έναν εύλογο ορισμό της ταχύτητας σωματιδίου ούτως ώστε, κατά την μετάβαση στο όριο, να συμπίπτει με την ταχύτητα στην Κλασική Μηχανική.
Ενώ όμως στην Κλασική Μηχανική το σωματίδιο έχει καθορισμένες συντεταγμένες και ταχύτητα σε κάθε δεδομένη στιγμή, στην Κβαντική Μηχανική η κατάσταση είναι εντελώς διαφορετική. Αν, ως αποτέλεσμα μέτρησης, το ηλεκτρόνιο έχει καθορισμένες συντεταγμένες, η ταχύτητά του είναι εντελώς απροσδιόριστη. Αντιστρόφως, αν το ηλεκτρόνιο έχει καθορισμένη ταχύτητα, δεν μπορεί να έχει καθορισμένη θέση στον χώρο. Πράγματι, ο ταυτόχρονος προσδιορισμός συντεταγμένων και ταχύτητας ανά πάσα στιγμή είναι αδύνατος εφόσον η έννοια της τροχιάς απουσιάζει. Στην Κβαντική Μηχανική, λοιπόν, οι συντεταγμένες και η ταχύτητα του ηλεκτρονίου είναι ποσότητες που δεν μπορούν να μετρηθούν επακριβώς ταυτοχρόνως, δηλαδή δεν μπορούν να έχουν ταυτοχρόνως καθορισμένες τιμές. Μπορούμε να πούμε πως οι συντεταγμένες και η ταχύτητα ηλεκτρονίου συνιστούν ποσότητες που δεν μπορούν να υπάρξουν ταυτόχρόνως. (…)
Στην Κλασική Μηχανική, η πλήρης περιγραφή ενός φυσικού συστήματος προκύπτει από τη γνώση, σε κάποια δεδομένη στιγμή, όλων των συντεταγμένων θέσεων και ταχυτήτων του. Από αυτά τα αρχικά δεδομένα, οι εξισώσεις κίνησης προσδιορίζουν πλήρως τη μελλοντική συμεπριφορά του συστήματος. Στην Κβαντική Μηχανική μια τέτοια περιγραφή είναι εκ θεμελίων αδύνατη διότι οι αντίστοιχες συντεταγμένες θέσης και ταχύτητας δεν συνυπάρχουν ταυτοχρόνως. Συνεπώς, η περιγραφή της κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος βασίζεται σε μικρότερο αριθμό ποσοτήτων και είναι έτσι λιγότερο λεπτομερής από το κλασικό της αντίστοιχο.
Εκδηλώνεται έτσι μια σημαντικότατη συνέπεια για τη φύση των προβλέψεων στην Κβαντική Μηχανική. Ενώ η κλασική περιγραφή είναι ικανή να προβλέψει τη μελλοντική κίνηση ενός μηχανικού συστήματος με απόλυτη ακρίβεια, το ίδιο ασφαλώς δεν ισχύει για τη λιγότερο λεπτομερή περιγραφή στην Κβαντική Μηχανική. Αυτό σημαίνει ότι, αν η περιγραφή της κατάστασης του ηλεκτρονίου είναι η πληρέστερη δυνατή, η μελλοντική συμπεριφορά του δεν μπορεί κατ’ αρχήν να προσδιορισθεί. Στην Κβαντική Μηχανική δεν υπάρχει λοιπόν ακριβής πρόβλεψη: για μια δεδομένη αρχική κατάσταση του ηλεκτρονίου, τα αποτελέσματα επακόλουθων μετρήσεων μπορεί να είναι διαφορετικά. Το έργο της Κβαντικής Μηχανικής περιορίζεται στον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος κατά μια τέτοια μέτρηση. Σε ορισμένες περιπτώσεις, φυσικά, η εν λόγω πιθανότητα ισούται με τη μονάδα, δηλαδή το αποτέλεσμα της αντίστοιχης μέτρησης είναι εκ των προτέρων γνωστό με βεβαιότητα.
Οι διαδικασίες μέτρησης στην Κβαντική Μηχανική μπορούν να διαιρεθούν σε δυο κατηγορίες: Η πρώτη καλύπτει την πλειονότητα των μετρήσεων, κατά τις οποίες, για οποιαδήποτε κατάσταση του συστήματος, το αποτέλεσμα δεν είναι μοναδικώς καθορισμένο. Η δεύτερη περιλαμβάνει μετρήσεις κατά τις οποίες, για κάθε αποτέλεσμα, υπάρχει κατάσταση όπου η μέτρσηση οδηγεί αναπόφευκτα στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Οι μετρήσεις της δεύτερης κατηγορίας, τις οποίες μπορούμε να αποκαλέσουμε προβλέψιμες, παίζουν βασικό ρόλο στην Κβαντική Μηχανική. Τα φυσικά μεγέθη στην Κβαντική Μηχανική αντιστοιχούν στα ποσοτικά χαρακτηριστικά μιας κατάστασης που προσδιορίζονται μέσω τέτοιων μετρήσεων. Αν, σε κάποια κατάσταση, το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι γνωστό με βεβαιότητα, θεωρούμε ότι το αντίστοιχο φυσικό μέγεθος έχει καθορισμένη τιμή. Στο εξής, η έκφραση ¨φυσικό μέγεθος» (ή «φυσική ποσότητα») θα εννοείται όπως ακριβώς περιγράψαμε εδώ.
Θα διαπιστώσουμε συχνά στη συνέχεια ότι όλες οι συλλογές φυσικών μεγεθών δεν επιδέχονται ταυτόχρονη μέτρηση, ότι υπάρχουν μεγέθιη που δεν μπορούν να έχουν καθορισμένες τιμές ταυτοχρόνως (αναφερθήκαμε ήδη στο παράδειγμα της ταχύτητας και της θέσης ενός ηλεκτρονίου) …
Κατηγορίες:ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
physicsgg 
Σχολιάστε