Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Το πρώτο συνέδριο του Solvay το 1911 είχε ως θέμα την ακτινοβολία και τα κβάντα. Εκεί οι φυσικοί καθώς ασχολούνταν με τα προβλήματα της εισαγωγής κβαντικών εννοιών στη φυσική, συζητήθηκε και ένα φαινομενικά απλό πρόβλημα από την κλασική μηχανική: Θεωρούμε ένα απλό εκκρεμές, μια μικρή μάζα m δεμένη σε αβαρές νήμα το οποίο περνάει μέσα από την μικρή τρύπα στην οροφή, όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα:

Οι φυσικοί λένε ότι «ο άνθρωπος που μεταβάλλει το μήκος του εκκρεμούς μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t δεν θα πρέπει να έχει οποιαδήποτε γνώση της απομάκρυνσης της μάζας του εκκρεμούς. Είναι δύσκολο, αλλά όχι αδύνατο να δώσουμε μαθηματική διατύπωση της «απουσίας γνώσης».

Θεωρούμε ότι το εκκρεμές εκτελεί απλές αρμονικές ταλαντώσεις. Υποθέτουμε ότι το νήμα τραβιέται προς τα πάνω ή αφήνεται προς τα κάτω αργά, έτσι ώστε κατά την διάρκεια μιας περιόδου το μήκος \ell του εκκρεμούς να μεταβάλλεται πολύ λίγο. Τίθεται το ερώτημα: Τι συμβαίνει στο πλάτος της ταλάντωσης όταν το μήκος του εκκρεμούς μεταβάλλεται με πολύ αργό τρόπο;

Το πρόβλημα είχε θέσει πριν το συνέδριο του 1911 o Lorentz στον Einstein, ο οποίος όμως ήρθε προετοιμασμένος. Είχε ήδη αποδείξει πως, με δεδομένο ότι το μήκος του εκκρεμούς μεταβαλλόταν πολύ αργά σε σχέση με την περίοδό του, το πλάτος της ταλάντωσης ικανοποιούσε την σχέση A(t) \sim \frac{1}{\sqrt{\omega (t)}}, όπου \omega(t)=\sqrt{\frac{g}{\ell(t)}}. Και εξαιτίας αυτής της σχέσης, η ενέργεια του εκκρεμούς παρέμενε ανάλογη με την συχνότητα της ταλάντωσης.

Αναγνωρίστηκε ότι ο λόγος της ενέργειας προς την συχνότητα του ταλαντωτή στην ουσία ταυτιζόταν με την δρασιακή μεταβλητή J=\oint p dq =\pi \, m \, \omega\, A^{2}=E/f, όπου p η ορμή και q η απομάκρυνση του αρμονικού ταλαντωτή. Και αφού παραμένει αμετάβλητη (με τις προϋποθέσεις που αναφέρθηκαν) ονoμάζεται αδιαβατικό αναλλοίωτο.

Το αδιαβατικό αναλλοίωτο των δρασιακών μεταβλητών, με αργή μεταβολή των παραμέτρων, ήταν μια πολύ ικανοποιητική ιδιότητα για τους φυσικούς που ανέπτυξαν την κβαντική μηχανική – αρκεί να θυμηθεί κανείς την σταθερά του Planck και την ενέργεια ενός κβάντου φωτός E=hf. Ήταν η εποχή που οι περισσότεροι φυσικοί έλπιζαν πως θα εξηγήσουν τα κβαντικά φαινόμενα χρησιμοποιώντας κλασική φυσική.

Aν λοιπόν το μήκος του εκκρεμούς διπλασιάζεται αργά, η γωνία της μέγιστης απόκλισης το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται κατά \sqrt[4]{2}. Aν το μήκος του εκκρεμούς επιστρέψει στην αρχική τιμή του, το πλάτος των ταλαντώσεων επιστρέφει επίσης στην αρχική τιμή της. Το εντυπωσιακό είναι πως το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται καθόλου από τον νόμο σύμφωνα με τον οποίο πραγματοποιήθηκε η επιμήκυνση του εκκρεμούς.

Συνεπώς στο «αδιαβατικό όριο», δυο φυσικά ανεξάρτητες ποσότητες, το πλάτος και η συχνότητα του ταλαντωτή καθίστανται συναρτησιακά εξαρτημένες. Αυτό το ασυνήθιστο φυσικό φαινόμενο διακρίνει την αδιαβατική θεωρία ανάμεσα σε πολλές άλλες.

Μια παρόμοια περίπτωση είναι το εξής πρόβλημα:

Ισχύει V<<υ

Θεωρούμε μια μπάλα που κινείται μεταξύ δυο παράλληλών τοιχωμάτων με ταχύτητα v, των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι x. Θεωρούμε ότι η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τα τοιχώματα καθώς η απόσταση των τοιχωμάτων μεταβάλλεται πολύ αργά. Στην περίπτωση αυτή το αδιαβατικό αναλλοίωτο είναι το γινόμενο J=x |v|, που αλλάζει ελάχιστα με την πάροδο του χρόνου. Με άλλα λόγια, όταν η απόσταση μεταξύ των τοιχωμάτων διπλασιάζεται, η ταχύτητα της μπάλας ελαττώνεται στο μισό. Το γεγονός ότι η απομάκρυσνη των τοιχωμάτων ελαττώνει την ταχύτητα της μπάλας που αναπηδά ελαστικά μεταξύ τους είναι κατανοητό, όμως η θεωρία της αδιαβατικής αναλλοιώτητας του γινομένου x |v| μας δίνει μια αξιοσημείωτα ακριβή περιγραφή αυτής της ελάττωσης.

Η θεωρία της αδιαβατικής αναλλοιότητας αποτελεί ένα παράξενο παράδειγμα μιας φυσικής θεωρίας που φαινομενικά έρχεται σε αντίθεση με μαθηματικά αποτελέσματα τα οποία μοιάζουν να επαληθεύονται εύκολα. Παρότι διαθέτει μια τέτοια δυσάρεστη ιδιότητα, αυτή η «θεωρία» έχει οδηγήσει σε εντυπωσιακές φυσικές ανακαλύψεις από εκείνους που δεν φοβήθηκαν να χρησιμοποιήσουν τα συμπεράσματά της (αν και αυτά δεν αιτιολογούνταν από μαθηματική άποψη). Η ανάπτυξη της επιστήμης για δυο αιώνες οδήγησε τελικά σε μια κάποιου είδους συμφωνία μεταξύ μαθηματικών και φυσικών: οι μαθηματικοί απέδειξαν το θεώρημα περί της διατήρησης αδιαβατικών αναλλοίωτων» υπό συγκεκριμένες (επακριβώς καθορισμένες) παραδοχές.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες, Vladimir Igorevich Arnold: H μαθηματική κατανόηση της φύσης – 39 σύντομα δοκίμια μαθηματικών φαινομένων



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: