Τι μας διδάσκει το απλούστερο κβαντομηχανικό πρόβλημα

Σύμφωνα με την εφημερίδα της κυβέρνησης (βλέπε ΕΔΩ) το μεταβατικό πρόγραμμα σπουδών του μαθήματος της Φυσικής της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Υγείας της Γ’ τάξης Γενικού Λυκείου, που θα ισχύσει  από το σχολικό έτος 2022-2023 (αφορά τους μαθητές που φέτος είναι στην Β’ Λυκείου) περιλαμβάνει για πρώτη φορά, την διδασκαλία Στοιχείων Κβαντομηχανικής στην μέση εκπαίδευση. Αν και τα πολύ παλιά χρόνια, το πρόγραμμα σπουδών περιλάμβανε την ακτινοβολία του μέλανος σώματος, το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, τον κυματοσωματιδιακό δυισμό, στοιχεία πυρηνικής φυσικής κ.ά., φαίνεται πως του χρόνου για πρώτη φορά στα χρονικά της μέσης εκπαίδευσης στην Ελλάδα, οι μαθητές Λυκείου θα διδαχθούν την έννοια της κυματοσυνάρτησης, της εξίσωσης Schrödinger και προβλήματα όπως σωματίδιο παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού και το φαινόμενο σήρραγος!! Στα προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα αναφέρονται μεταξύ άλλων, ότι οι μαθητές πρέπει ‘να διατυπώνουν με λόγια και με τύπους την μονοδιάστατη εξίσωση Schrodinger σε απλά πηγάδια δυναμικού και να παράγουν τις ενεργειακές στάθμες ως συνέπεια των οριακών συνθηκών’.

Έτσι, το απλούστερο κβαντομηχανικό πρόβλημα που συναντούσαν οι φοιτητές στο Πανεπιστήμιο περνάει στην διδακτέα ύλη του Λυκείου. Ποιό είναι λοιπόν αυτό το πρόβλημα;

Πρόκειται για την μελέτη της συμπεριφοράς ενός σωματιδίου μάζας m που βρίσκεται παγιδευμένο μέσα σε έναν πολύ λεπτό (μονοδιάστατο) σωλήνα μήκους L, του οποίου τα άκρα είναι κλειστά. Ή με πιο τεχνικούς όρους ένα «σωματίδιο σε πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους». Την λύση του προβλήματος μπορείτε να βρείτε ΕΔΩ. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα, ‘τι αποκομίζει κανείς μελετώντας αυτό το πρόβλημα;’

1. Η ενέργεια είναι κβαντισμένη

Aπό την λύση του προβλήματος προκύπτει ότι η ενέργεια του σωματιδίου μέσα στον σωλήνα -πέρα από την κλασική μας διαίσθηση- δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, αλλά τις συγκεκριμένες διακριτές τιμές που δίνονται από την σχέση:

E=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}n^{2}  , όπου n=1, 2, 3 \cdots \infty

Στον αριθμητή του κλάσματος εμφανίζεται η σταθερά του Planck \hbar=h/2π, και στον παρονομαστή η μάζα m του σωματιδίου και το μήκος L του μονοδιάστατου σωλήνα. Βλέπουμε λοιπόν ότι προκύπτει η κβάντωση των ενεργειακών καταστάσεων στις οποίες μπορεί να υπάρξει το σωματίδιο στο εν λόγω πηγάδι δυναμικού. Kάτι παρόμοιο συμβαίνει και στο ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου που βρίσκεται στο αντίστοιχο ‘πηγάδι δυναμικού Coulomb’, το οποίο μόνο σε ορισμένες διακριτές ενεργειακές καταστάσεις μπορεί να υπάρξει. Και η κβάντωση της ενέργειας στα άτομα, μπορεί να εξηγήσει πολλά φαινόμενα, όπως για παράδειγμα την σταθερότητα των ατόμων, συνέπεια της οποίας είναι το γεγονός ότι υπάρχουμε.

2. Η σταθερά του Planck και τα κβαντικά φαινόμενα

Η σταθερά h=6,6.10-34 J.s έκανε ντεμπούτο στην εξίσωση που αναγκάστηκε να διατυπώσει το 1900 ο συντηρητικός, αλλά σπουδαίος φυσικός Max Planck για να περιγράψει θεωρητικά το φάσμα της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος: u(\lambda,T)=\frac{8 \pi h c}{\lambda^{5} (e^{hc/ \lambda k T}-1)}. Ο Planck υπέθεσε ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (φως) συχνότητας f απορροφάται και ακτινοβολείται μόνο κατά ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας h.f, δηλαδή παρά μόνον σε διάκριτα (ασυνεχή) ποσά ενέργειας. Και έτσι γεννήθηκε η κβαντική φυσική. Ένα χαρακτηριστικό των κβαντικών φαινομένων είναι ότι οι εξισώσεις που τα περιγράφουν περιέχουν πάντα την σταθερά του Planck h. Όταν σε μια εξίσωση της κβαντικής φυσικής θεωρούμε το όριο h \rightarrow 0, τότε συνήθως προκύπτει το αποτέλεσμα που δίνει η κλασική φυσική. Για παράδειγμα στην παραπάνω εξίσωση για το μέλαν σώμα όταν hc/\lambda k T \rightarrow 0 προκύπτει ο κλασικός νόμος Rayleigh-Jeans u(\lambda,T)=\frac{8 \pi k T}{\lambda^{4}}, που για μικρά μήκη κύματος δεν συμφωνεί καθόλου με το πείραμα, προβλέποντας την αφύσικη ‘υπεριώδη καταστροφή’. Το ίδιο ισχύει και στο πρόβλημα με το σωματίδιο σε πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εκτός από την κβάντωση της ενέργειας του σωματιδίου, παρατηρούμε ότι η ελάχιστη ενέργεια (για n=1) που μπορεί να έχει το φυλακισμένο σωματίδιο είναι διάφορη του μηδενός: E_{min}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} , κάτι που δεν προκύπτει από την κλασική φυσική σύμφωνα με την οποία το σωματίδιο μπορεί να ηρεμεί. Aν λοιπόν στην εξίσωση αυτή θεωρήσουμε \hbar \rightarrow 0, τότε η ενέργειά του τείνει επίσης στο μηδέν, όπως ακριβώς προβλέπεται κλασικά. Για έναν βώλο μερικών γραμμαρίων κλεισμένο στον σωλήνα, η ελάχιστη ενέργεια που δίνει η εξίσωση είναι σχεδόν μηδενική, εξαιτίας της πολύ μικρής τιμής της σταθεράς του Planck. Όταν όμως το σωματίδιο είναι μικροσκοπικό όπως π.χ. ένα ηλεκτρόνιο, τότε η ενέργειά του δεν μπορεί να αγνοηθεί, και το ηλεκτρόνιο κινείται αδιάκοπα.

3. Η αρχή της απροσδιοριστίας

Εκτός λοιπόν από την κβάντωση της ενέργειας του σωματιδίου, είδαμε ότι η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει το φυλακισμένο σωματίδιο είναι διάφορη του μηδενός: E_{min}=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} , κάτι που δεν προκύπτει θεωρώντας κλασική φυσική, βάσει της οποίας το σωματίδιο μπορεί να ηρεμεί. Επιπλέον, η εξίσωση αυτή μας δείχνει ότι όσο μικρότερο είναι το εύρος L του πηγαδιού τόσο μεγαλύτερη είναι η κινητική ενέργειά του. Ο περιορισμός του σωματιδίου σε όλο και μικρότερο χώρο το κάνει να κινείται πολύ γρηγορότερα. Κι αυτό είναι συνέπεια της αρχής της αβεβαιότητας ή αρχή της απροσδιοριστίας, μια έκφραση της οποίας είναι η σχέση: \Delta p \cdot \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}. Το γινόμενο της αβεβαιότητας της ορμής επί την αβεβαιότητα στην θέση ενός σωματιδίο είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μισό της σταθερά του Planck. Εδώ θα κινηθούμε ανάποδα. Θα φτάσουμε στην εξίσωση της αβεβαιότητας χρησιμοποιώντας την ενέργεια του σωματιδίου στο απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού: E=\frac{p^{2}}{2m} \geq \frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} . Θεωρούμε χοντρικά ότι η αβεβαιότητα στην θέση είναι ανάλογη του εύρους του πηγαδιού \Delta x \sim L και την αβεβαιότητα στην ορμή ανάλογη της ορμής \Delta p \sim p , οπότε: \frac{\Delta p^{2}}{2m} \geq \frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m \Delta x^{2}}. Μετά από μερικές απλές πράξεις καταλήγουμε στην περίφημη εξίσωση αβεβαιότητας: \Delta p \cdot \Delta x \geq h/2.

4. Γιατί οι πυρηνικές βόμβες είναι τόσο καταστροφικές;

Το πρόβλημα του πηγαδιού απείρου βάθους μας βοηθά να εκτιμήσουμε την ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σε ένα άτομο ή έναν πυρήνα. Και να συνειδητοποιήσουμε γιατί οι πυρηνικές βόμβες είναι πολύ πιο επικίνδυνες από τις ‘ατομικές’ βόμβες. Ως ‘ατομικές’ ή χημικές βόμβες θεωρούμε εκείνες που απελευθερώνουν την ενέργεια που βρίσκεται αποθηκευμένη στα άτομα, ενώ οι πυρηνικές βόμβες βασίζονται στην ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στους πυρήνες των ατόμων.

Τα σωματίδια του μικρόκοσμου εμφανίζουν κβαντομηχανική συμπεριφορά όταν περιορίζονται σε μια μικροσκοπική περιοχή. Αυτό προκύπτει από την αρχή της αβεβαιότητας, αλλά και από τη σχέση της ενέργειας του σωματιδίου σε πηγάδι δυναμικου: E \sim \frac{\hbar}{m L^{2}} . Όσο πιο πολύ περιορίζονται τα σωματίδια L \rightarrow 0, τόσο μεγαλύτερη γίνεται η ενέργειά τους E \rightarrow \infty. Σύμφωνα με την εξίσωση αυτή ένα ηλεκτρόνιο εγκλωβισμένο σε μια περιοχή με εύρος όσο η ατομική ακτίνα Bohr (10-10m), αποκτά ενέργεια της τάξης των μερικών ηλεκτρονιοβόλτ (eV). Ένα νουκλεόνιο (πρωτόνιο ή νετρόνιο) περιορισμένο σε μια περιοχή όσο η πυρηνική ακτίνα (10-15m) θα έχει ενέργεια της τάξης των μερικών μεγα-ηλεκτρονιοβόλτ (ΜeV). Επειδή λοιπόν ο πυρήνας έχει πολύ μικρότερο μέγεθος από το άτομο γι’ αυτό περικλείει πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη ενέργεια από τα άτομα. Γι αυτό οι πυρηνικές βόμβες είναι πολύ πιο καταστροφικές από τις συμβατικές (‘ατομικές’) βόμβες, τόσο που ένας πόλεμος με πυρηνικά όπλα θα μπορούσε να αφανίσει τον πλανήτη μας.



Κατηγορίες:ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: