Κινηματική και Απειροστικός Λογισμός

Το βιβλίο «Συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής», εκδόσεις Ευρύαλος, είναι το τέταρτο κατά σειρά της μνημειώδους Πραγματείας «Στοιχεία μαθηματικής επιστήμης» του Nicolas Bourbaki. Όπως σε όλα τα Βιβλία της Πραγματείας, η έκθεση ακολουθεί την αξιωματική μέθοδο, με τη μέγιστη δυνατή γενικότητα και απόλυτη αυστηρότητα. Αν και το αντικείμενο του Βιβλίου είναι ίσως το στοιχειωδέστερο, εισαγωγικό τμήμα της Ανάλυσης, ο αναγνώστης θα ανακαλύψει πτυχές και προεκτάσεις που απουσιάζουν στα περισσότερα συγγράμματα επί του θέματος. Περιττό να παρουσιάσουμε τον συγγραφέα

ακολουθεί ένα μικρό απόσπασμα (χωρίς τις παραπομπές) από το ιστορικό σημείωμα των κεφαλαίων I, II και III):

(…) Ενώ ήδη ο Αρχιμήδης στην αρχαιότητα είχε διατυπώσει τον κινηματικό ορισμό της σπείρας του, στον Μεσαίωνα αναπτύχθηκε (χωρίς απειροστικές θεωρίες, πλην απόδειξης του εναντίου) μια εμβρυώδης θεωρία της μεταβολής των μεγεθών σε συνάρτηση με το χρόνο και της γραφικής της αναπαράστασης. Η προέλευση της θεωρίας ίσως ανάγεται στην βαβυλωνιακή αστρονομία. Το σημαντικότερο όμως για τα Μαθηματικά του 17ου αιώνα είναι ότι, εξαρχής, τα προβλήματα της διαφόρισης εμφανίστηκαν όχι μόνο με εφαπτόμενες αλλά και με ταχύτητες.

Εν τούτοις ο Galileo αναζητώντας το νόμο των ταχυτήτων κατά την πτώση των στερεών (αφού πήρε το νόμο των αποστάσεων x=at^{2}, με το πείραμα του κεκλιμένου επιπέδου), δεν χρησιμοποιεί διαφόριση. Kάνει διάφορες υποθέσεις για την ταχύτητα, αρχικώς v=dx/dt=cx, έπειτα v=ct και προσπαθεί να βρει το νόμο των αποστάσεων μ’ έναν δυσνόητο συλλογισμό για το γράφημα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. O Descartes, το 1618, επίσης εξετάζει το νόμο v=ct αλλά ως γνήσιος μαθηματικός και με όλη τη σαφήνεια που επέτρεπε η γλώσσα των αδιαιρέτων (Ο Descartes προσθέτει μάλιστα ένα ενδιαφέρον γεωμετρικό επιχείρημα βάσει του οποίου συνάγει τον νόμο x=at^{3} από την υπόθεση dv/dt=ct. Αντιθέτως, είναι ειρωνικό ότι, δέκα χρόνια αργότερα, περιπλέκεται στις σημειώσεις του και αντιγράφει, απευθυνόμενος στον Mersenne, έναν ανακριβή συλλογισμό για το ίδιο θέμα, όπου συγχέει τα γραφήματα της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο και με το διανυθέν διάστημα).

Αμφότεροι δίνουν πρωταρχικό ρόλο στο γράφημα της ταχύτητας (μια ευθεία, εν προκειμένω). Μπορούμε δε να διερωτηθούμε κατά πόσο είχαν συνείδηση της αναλογίας μεταξύ των διανυθέντων διαστημάτων και των εμβαδών των επιφανειών μεταξύ του άξονα του χρόνου και της καμπύλης της ταχύτητας. Είναι δύσκολο να αποφανθούμε, αν η γλώσσα του Descartes υποβάλλει τη γνώση της εν λόγω ιδιότητας (την οποία ορισμένοι ιστορικοί ανάγουν στον Μεσαίωνα) ενώ ο Galileo δεν κάνει κάποια τέτοια νύξη. Ο Barrow την διατυπώνει ρητώς το 1670. Ίσως δεν αποτελούσε τότε καινοτομία και ο Barrow δεν την παρουσιάζει ως νεωτερισμό. Δεν μπορούμε να χρονολογήσουμε αυτό το αποτέλεσμα, ούτε κάποιο άλλο, με βεβαιότητα. Όσο για την υπόθεση v=cx, o Galileo, που επίσης την θεώρησε, αρκείται να αποδείξει ότι είναι αστήρικτη (ή σε σύγχρονη γλώσσα, ότι η εξίσωση \frac{dx}{dx}=cx δεν έχει λύση \neq 0 που μηδενίζεται για t=0). Ο συλλογισμός του είναι ασαφής και βελτιώνεται λίγο αργότερα από τον Fermat (με το σκεπτικό ότι, αφού 2x και x είναι συγχρόνως λύσεις, για x \neq 0, παραβιάζεται η προφανής φυσική μοναδικότητα της λύσης). Όμως ο ίδιος νόμος \frac{dx}{dx}=cx χρησιμοποιείται, το 1614, από τον Neper για την εισαγωγή των λογαρίθμων του. Ο κινηματικός όρισμός που δίνει εκφράζεται ως εξής, με σημερινό συμβολισμό. Αν, σε δυο ευθείες, δυο κινητά μετατοπίζονται σύμφωνα με τους νόμους \frac{dx}{dt}=a, \, \frac{dy}{dt}=-ay/r, \, x_{0}=0, \, y_{0}=r, τότε λέμε ότι το x είναι ο «λογάριθμος» του y [με σύγχρονα σύμβολα, x=r \log (r/y)]. Eίδαμε πως η καμπύλη, λύση της \frac{dy}{dx}=\frac{c}{x}, εμφανίζεται το 1639 στον Descartes, o oποίος την περιγράφει κινηματικώς.

Η θεωρία του περιέχει λοιπόν εμμέσως έναν νέο προσδιορισμό της εφαπτομένης μιας παραβολής, τον οποίο ο Galileo δεν μνημονεύει ρητώς. Αντιθέτως, ο Torricelli επιμένει σε αυτό το σημείο και εδράζει στην ίδια αρχή μια γενική μέθοδο καθορισμού των εφαπτομένων για καμπύλες που επιδέχονται κινηματικό ορισμό. Είχε προηγηθεί, αρκετά χρόνια χρόνια πριν, η εργασία του του Roberval, ο οποίος αναφέρει ότι οδηγήθηκε σ’ αυτή τη μέθοδο από τη μελέτη της κυκλοειδούς καμπύλης. ο ίδιο πρόβλημα της εφαπτομένης κυκλοειδούς δίνει άλλωστε την ευκαιρία στον Fermat να αποδείξει τη δύναμη της διαφόρισης. Σε σχέση με το ίδιο θέμα ο Descartes αδυνατεί να εφαρμόσει την αλγεβρική του μέθοδο και επινοεί το στιγμιαίο κέντρο περιστροφής.

Με την ανάπτυξη όμως του Απειροστικού Λογισμού, η Κινηματική παύει σταδιακώς να αποτελέι αυτόνομη επιστήμη. Γίνεται όλο και περισσότερο αντιληπτό ότι, παρά τον Descartes, οι αλφεβρικές καμπύλες και συναρτήσεις δεν διαφέρουν σε τίποτε, από την «τοπική» άποψη που επιβάλλει ο Απειροστικός Λογισμός, από άλλες, πολύ γενικότερες. Οι συναρτήσεις και καμπύλες με κινηματικό ορισμό υπόκεινται στις ίδιες μεθόδους με τις αλγεβρικές. Η μεταβλητή «χρόνος» δεν είναι πλέον παρά μια παρά μια παράμετρος και ο χρονικός της χαρακτήρας απλή γλωσσική συνθήκη. Έτσι στον Huygens, ακόμη κι όταν πρόκειται για Μηχανική, η Γεωμετρία υπερισχύει. Ο Leibnitz, στον Λογισμό του, δεν αποδίδει στον χρόνο προνομιούχο ρόλο.

Αντιθέτως, ο Barrow φαντάστηκε να καταστήσει την ταυτόχρονη μεταβλητή, εννοούμενη ως «χρόνος» , το θεμέλιο ενός Απειροστικού Λογισμού γεωμετρικής χροιάς. Η ιδέα πρέπει να του ήλθε όταν προσπαθούσε να ξαναβρεί την μέθοδο σύνθεσης των κινήσεων, την ύπαρξη της οποίας γνώριζε μόνο εξ ακοής. Την εκθέτει λεπτομερώς, με μεγάλη ευκρίνεια και κάθε γενικότητα, στις τρεις πρώτες Διαλέξεις των Lectiones Geometricae. Aποδεικνύει, παραδείγματος χάριν, προσεκτικά εκεί ότι, αν οι προβολές κινητού σημείου σε δυο ορθογώνιους άξονες ΑΥ, ΑΖ είναι κινητά σημεία, εκ των οποίων το ένα κινείται με σταθερή ταχύτητα a και το άλλο με ταχύτητα v που αυξάνει με τον χρόνο, η τροχιά έχει εφαπτομένη κλίσης v/a και είναι κοίλη προς την κατεύθυνση αύξησης του άξονα ΑΖ.

Στη συνέχεια των Lectiones, ωθεί περαιτέρω αυτές τις ιδέες, συντάσοντές τες, με κάποια φιλαρέσκεια, απ’ άκρου εις ακρον σε όσο το δυνατό περισσότερο γεωμετρική και λιγότερο αλγεβρική μορφή. Πρ’ όλα αυτά, μπορούμε να διακρίνουμε εκεί, όπως και στον Jakob Bernoulli, το ισοδύναμο ενός μεγάλου μέρους του Απειροστικού Λογισμού των Newton και Leibniz. Οι ίδιες ακριβώς ιδέες χρησιμεύουν ως σημείο εκκίνησης για τον Newton: οι «ρέουσες» (fluents) είναι τα διάφορα μεγέθη, συναρτήσεις ενός «χρόνου» που δεν είναι παρά μια καθολική παράμετρος και οι «ροές» (fluxions) είναι οι παράγωγοί τους ως προς τον «χρόνο». Η δυνατότητα αλλαγής παραμέτρου που χρησιμοποιεί ο Newton είναι επίσης παρούσα στη μέθοδο του Barrow, o οποίος όμως την χειρίζεται με λιγότερη ευκαμψία (Το ζήτημα των σχέσεων Barrow και Newton είναι επίμαχο. Ο Barrow, σε μια επιστολή του 1663, αναφέρει ήδη παλαιές σκέψεις του για τη σύνθεση των κινήσεων, που τον οδήγησαν σ’ ένα πολύ γενικό θεώρημα περί εφαπτομένων. Αφετέρου, ο Newton μπορεί να ήταν μαθητής του Barrow το 1664 και το 1665 αλλά υποστηρίζει πως έφθασε ανεξαρτήτως στον κανόνα του συναγωγής, από μια σχέση μεταξύ «ρεουσών» , μιας σχέσης μεταξύ «ροών» . Ενδέχεται ο Newton να άντλησε από τον Barrow τη γενική ιδέα μεγεθών μεταβλητών σε συνάρτηση με τον χρόνο και των ταχυτήτων των μεταβολών τους, έννοιες τις οποίες στη συνέχεια διευκρίνησε χάρις στο στοχασμό του για τη Δυναμική – που δεν οφείλει τίπoτε στον Barrow).

H γλώσσα των ροών, την οποία ο Newton υιοθέτησε και επέβαλε, χάρις στο κύρος του, στους Άγγλους μαθηματικούς του επόμενου αιώνα, αντιπροσωπεύει έτσι την τελική κατάληξη, για την περίοδο που μας απασχολεί, των κινηματικών μεθόδων. Ο ρόλος τους πλέον είχε εκπληρωθεί.



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: , , ,

1 reply

  1. Καλησπέρα,
    με την ευκαιρία να παρουσιάσουμε και τους Μπουρμπαχι…!

    https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

    Nicolas Bourbaki (French pronunciation: ​[nikɔla buʁbaki]) is the collective pseudonym of a group of mathematicians, predominantly French alumni of the École normale supérieure (ENS). Founded in 1934–1935, the Bourbaki group originally intended to prepare a new textbook in analysis. Over time the project became much more ambitious, growing into a large series of textbooks published under the Bourbaki name, meant to treat modern pure mathematics. The series is known collectively as the Éléments de mathématique (Elements of Mathematics), the group’s central work. Topics treated in the series include set theory, abstract algebra, topology, analysis, Lie groups and Lie algebras.

    Bourbaki was founded in response to the effects of the First World War which caused the death of a generation of French mathematicians; as a result, young university instructors were forced to use dated texts. While teaching at the University of Strasbourg, Henri Cartan complained to his colleague André Weil of the inadequacy of available course material, which prompted Weil to propose a meeting with others in Paris to collectively write a modern analysis textbook. The group’s core founders were Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné and Weil; others participated briefly during the group’s early years, and membership has changed gradually over time. Although former members openly discuss their past involvement with the group, Bourbaki has a custom of keeping its current membership secret.

    The group’s namesake derives from the 19th century French general Charles-Denis Bourbaki, who had a career of successful military campaigns before suffering a dramatic loss in the Franco-Prussian War.[3] The name was therefore familiar to early 20th-century French students. Weil remembered an ENS student prank in which an upperclassman posed as a professor and presented a «theorem of Bourbaki»; the name was later adopted.

    The Bourbaki group holds regular private conferences for the purpose of drafting and expanding the Éléments. Topics are assigned to subcommittees, drafts are debated, and unanimous agreement is required before a text is deemed fit for publication. Although slow and labor-intensive, the process results in a work which meets the group’s standards for rigour and generality. The group is also associated with the Séminaire Bourbaki, a regular series of lectures presented by members and non-members of the group, also published and disseminated as written documents. Bourbaki maintains an office at the ENS.[4]

    Nicolas Bourbaki was influential in 20th-century mathematics, particularly during the middle of the century when volumes of the Éléments appeared frequently. The group is noted among mathematicians for its rigorous presentation and for introducing the notion of a mathematical structure, an idea related to the broader, interdisciplinary concept of structuralism.[5][6][7] Bourbaki’s work informed the New Math, a trend in elementary math education during the 1960s. Although the group remains active, its influence is considered to have declined due to infrequent publication of new volumes of the Éléments. The collective’s most recent publication appeared in 2016, treating algebraic topology.

    Bourbaki congress1938.png
    https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Bourbaki_congress1938.png/220px-Bourbaki_congress1938.png

    Bourbaki congress at Dieulefit in 1938. From left, Simone Weil,[a] Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné (sitting), Claude Chabauty, Charles Ehresmann, and Jean Delsarte.[2]

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: